Résonance magnétique en champ de radiofréquence inhomogène. 1 re partie : Étude théorique

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Résonance magnétique en champ de radiofréquence

inhomogène. 1 re partie : Étude théorique

R. Barbé, M. Leduc, F. Laloë

To cite this version:

R. Barbé, M. Leduc, F. Laloë. Résonance magnétique en champ de radiofréquence inho-mogène. 1 re partie : Étude théorique. Journal de Physique, 1974, 35 (10), pp.699-725. �10.1051/jphys:019740035010069900�. �jpa-00208198�

RÉSONANCE

_MAGNÉTIQUE

EN CHAMP

DE

_{RADIOFRÉQUENCE}

INHOMOGÈNE.

1re

_{partie : ÉTUDE}

_THÉORIQUE

R.

_BARBÉ,

M. LEDUC et F. LALOË

Laboratoire de _{Spectroscopie} Hertzienne de l’E. N. S., 24, rue _Lhomond, 75231 Paris Cedex 05 (Reçu le 26 mars 1974)

Résumé. 2014 On étudie dans cet article l’effet d’un

champ de _{radiofréquence} très inhomogène

sur un ensemble de _spins en mouvement. _Lorsque le _champ magnétique statique est _balayé au

voi-sinage de la résonance, les variations de l’aimantation _{longitudinale} globale des _spins donnent des courbes de résonance nettement différentes des courbes habituelles ; elles sont en _général la

super-position de deux courbes de largeurs très différentes, la courbe _large et la _{courbe fine.} La forme de la _{première dépend} essentiellement des _{caractéristiques} du mouvement des atomes dans le _champ de _{radiofréquence inhomogène.} On étudie en détail le cas où ce mouvement est _{régi par} un _processus

de diffusion : l’étude de la _largeur à mi-hauteur de la courbe large donne alors le temps de diffusion des atomes dans la cellule, ce _qui fournit un _procédé commode de mesure des coefficients de diffusion dans les gaz. La courbe fine _peut avoir, suivant les variations _spatiales des _{inhomogénéités statique}

et de _{radiofréquence (et} notamment suivant les corrélations entre les différentes composantes de

ces _{inhomogénéités)} des formes variées : elle _peut être constituée d’une courbe _{d’absorption positive}

ou _{négative (aimantation} minimale ou maximale à _résonance), ou de la superposition d’une courbe

d’absorption et d’une courbe de _dispersion. De _plus, des _{déplacements importants} de la _position de la résonance fine sont _possibles, notamment sous l’effet de termes croisés entre _{inhomogénéités}

statiques et de _{radiofréquence.} Abstract. 2014 The effect of

a very inhomogeneous radiofrequency field on an ensemble of _moving

atoms is _{investigated theoretically.} When _sweeping the static _magnetic field and _measuring the

longitudinal magnetization, one observes a resonance curve of unusual _shape. In most cases it is

the _{superposition} of two curves _{differing substantially} in width. The _shape of the broad curve _depends

primarily on the atomic motion in the _{inhomogeneous radiofrequency} field. The case in which the

motion follows a diffusion process is _investigated in detail and the half-width of the broad curve

is then _simply related to the diffusion time of the atoms _through the cell. This _yields a sensitive

method for _measuring diffusion coefficients in gases without _requiring determination of the magni-tude of the field _gradient. The narrow curve may have various shapes according to the _spatial varia-tions of the static and _{radiofrequency} field _{inhomogeneities (and mainly} to the correlations between the different _components of such _{inhomogeneities).} The curve _may have an _{absorption shape,}

with a _positive or a _{negative sign (the magnetization being} minimum or maximum at _resonance)

and may also be a _{superposition} of an _absorption and a _dispersion curve. Furthermore, under certain

conditions, the narrow curve _{undergoes large shifts,} in particular due to crossed terms between the static and _{radiofrequency} field _{inhomogeneities.}

Classification

Physics Abstracts 8.610-6.140

Le _{principe général} des _expériences de résonance

magnétique est bien connu _{[1] :} on considère un

ensemble _d’atomes, dont chacun _possède un moment

cinétique S et un moment _magnétique m = yS

(y : rapport gyromagnétique des _{atomes) qu’un} processus _{quelconque (relaxation thermique,} pom-page optique, etc.) tend à orienter dans une

direc-tion _{Oz ;} ces atomes sont _plongés dans un _champ

statique Bo parallèle à Oz et soumis à l’action d’un second _{champ magnétique B,(t) (champ} de radio-fréquence), tournant autour de Oz avec la vitesse angulaire co ; _{lorsque B, --- - co/y,} il se _produit un

phénomène de résonance (résonance magnétique) :

le _champ de _{radiofréquence,} même faible, peut

détruire l’orientation des atomes. Les variations en

fonction de _Bo de la _{composante Mz} sur Oz de M (aimantation globale de l’ensemble des _atomes) sont

données par une courbe d’absorption de Lorentz,

centrée en _Bo = - wlr, _et dont la largeur dépend

de _{Bl ainsi que des temps} de relaxation _{longitudinale}

et transversale du _système.

En _pratique, les _{champs Bo} et _BI ne sont

évidem-ment _{jamais parfaitement homogènes,} et il se _pose

le _problème de tenir _compte de cette _{inhomogénéité.}

Si _chaque atome est _{parfaitement immobile,} on _peut

simplement calculer l’évolution de son moment

magnétique à _partir du _champ local _Bo(r) et _{B,(r, t)}

qu’il voit, quitte à sommer ensuite sur les _différents

atomes _pour obtenir l’aimantation _globale M. En

fait, dans un _grand nombre d’expériences, les atomes

se déplacent sous l’effet de _{l’agitation thermique et,}

par l’intermédiaire de leur position r, les valeurs des champs Bo et _{B, auxquels} ils sont soumis sont des

fonctions aléatoires du _temps. C’est d’ailleurs

sur-tout l’effet des _{inhomogénéités} du _{champ Bo qui} est

susceptible de se manifester _car, le _champ statique

étant _{généralement} bien _plus intense _{que le champ} de _{radiofréquence,} ses variations sur l’échantillon

étudié _peuvent être _{beaucoup plus grandes.} Ainsi l’effet des _{inhomogénéités} de _Bo a-t-il été

fréquem-ment _{étudié ; par exemple,} dans le cas où le

mou-vement des atomes est suffisamment _rapide

(condi-tion de rétrécissement _{par le} mouvement _[1]

_[2]),

ces

inhomogénéités se traduisent _simplement par un

raccourcissement des _temps de relaxation

exponen-tielle de M _{[3] [4] [5] [6]} et, par suite, par un

élar-gissement de la courbe de Lorentz donnant la

réso-nance. Des _{déplacements} de la _fréquence de

réso-nance sont _{également possibles mais,} sauf dans certains cas _particuliers

_(voir

_{par exemple}

_[7]),

ils

restent faibles devant la _largeur de raie. Toutefois,

bien que souvent _faible, l’effet des _{inhomogénéités} de _{B1 n’est pas toujours négligeable,} surtout dans les _expériences où, pour obtenir une _puissance

importante de _{radiofréquence,} on utilise des bobines

de _{petite taille pour créer B, ;} il existe d’ailleurs

des types d’expériences où, précisément pour

éli-miner les effets des _{inhomogénéités} de _Bo, on utilise

un _{champ B1} très intense _{[1] [8]}

_[9l’

_(B, doit être supérieur aux _{inhomogénéités} de _Bo sur la _cellule). Ce sont alors les _{inhomogénéités} de _{B1 qui} deviennent

gênantes et, pour s’en affranchir, on utilise

quel-quefois la _technique des _{rotary echoes [10]} ou échos

de _spin dans le _{référentiel} tournant.

Les _{inhomogénéités} du _champ de _{radiofréquence} dans une _expérience de résonance _{magnétique peuvent}

donc dans certains cas _jouer un rôle _{important ;}

c’est ce rôle que nous allons étudier ici. Nous allons

d’emblée considérer un cas _extrême, celui où la

radiofréquence est _{complètement inhomogène (à} tout

instant, la valeur _moyenne de _B1 sur la cellule

ren-fermant les atomes est _{nulle) ;} le cas où _{B, comprend}

également une _{partie homogène} sera examiné ensuite.

Nous nous limiterons _{cependant toujours} au cas où le _{champ Dl} est suffisamment faible _(ou le

mouve-ment des atomes dans la cellule suffisamment _rapide)

pour que son action soit soumise au « rétrécissement

par le mouvement », comme c’est très _fréquemment le cas en _{pratique (au} moins dans les _expériences de

résonance _magnétique sur des échantillons gazeux).

L’hypothèse du rétrécissement par le mouvement

permet de mener les calculs _jusqu’au bout en

carac-térisant l’orientation des atomes _par une aimantation

globale M, sans avoir besoin d’introduire une

aiman-tation _{M(r) dépendant} de r _{[ 11 ].} Nous verrons alors

que l’effet des inhomogénéités de la radiofréquence

peut être _plus radical _{qu’un simple changement} des caractéristiques (largeur, hauteur) de la courbe de résonance. De _fait, cette courbe _apparaîtra comme

la _{superposition} d’une courbe _{d’absorption large} (souvent beaucoup plus large que celle de résonance magnétique habituelle) et d’une courbe fine _(de largeur comparable à la _{largeur habituelle)} dont la forme peut, suivant les conditions _{expérimentales,}

être _plus ou moins compliquée : elle _peut se

pré-senter comme une courbe _{d’absorption, positive} ou

négative (Mz est minimal ou maximal à _résonance),

ou encore comme une _{superposition} d’une courbe

d’absorption et d’une courbe de _dispersion. De _plus, des _{déplacements} notables _(comparables à la _largeur) de la courbe fine sont _possibles. D’un _point de vue

pratique, de tels _{déplacements peuvent} être _importants

pour certaines expériences de haute résolution : si le champ de _{radiofréquence} n’est pas parfaitement

homogène, la faible _{composante inhomogène peut}

produire une courbe large _peu visible dans

l’expé-.

rience _{(elle apparaîtra} comme une _légère remontée

du fond _{continu) ; cependant,} lors du _pointé de la résonance _fine, le fait _qu’elle soit _déplacée et, de

plus, comprenne une courbe de _{dispersion (courbe}

asymétrique) peut conduire à des erreurs. Une

autre _{application pratique} de notre étude _provient de ce _que les _paramètres associés à la courbe _large

(forme et _{largeur) dépendent} de façon critique du

mouvement des atomes dans .la cellule ; dans le cas

où ce mouvement obéit à _{l’équation} de la _diffusion,

l’étude _{expérimentale} de ces caractéristiques _peut

conduire à des mesures de coefficients de diffusion.

Dans ce _{premier article,} nous étudierons

théori-quement l’effet des _{inhomogénéités} du _champ de radiofréquence sur l’aimantation M de l’ensemble des

atomes. Un _premier modèle _{simple (§ A)} montrera

que l’effet de la partie inhomogène se traduit par

l’existence d’un _processus de relaxation résonnante

agissant sur les atomes. Les variations en fonction

de _Bo du _temps de relaxation _{longitudinale}

corres-pondant permettent de _comprendre l’existence de la courbe _large. Nous _reprendrons ensuite _{(§ B)} le

problème de _{façon plus précise} et calculerons en

détail les _équations d’évolution des _composantes

de M, compte tenu de l’existence de _plusieurs modes de diffusion dans la cellule _sphérique, du fait que la

carte du _{champ inhomogène} sur cette cellule _peut

être _plus ou moins _complexe, etc. Pour traiter le cas

le _{plus fréquent} en _pratique, nous _envisagerons celui

où les _{champs statique} et oscillant sont tous deux

inhomogènes. Enfin _{(§ C),} nous calculerons la forme

de la courbe de résonance donnant les variations

de _M, en fonction de _{Bo ;} en particulier, dans le cas

où _Bo et _B, sont tous deux _{inhomogènes,} nous

étudierons l’influence de la relaxation résonnante

anisotrope correspondante sur la forme _plus ou

moins _complexe de la courbe fine.

compte des vérifications détaillées de ces _calculs,

effectuées au _moyen d’une _expérience d’orientation nucléaire de 3 He _gazeux obtenue _{par pompage}

optique. Signalons qu’un bref résumé des résultats

théoriques et _{expérimentaux} de ces deux articles est

donné dans les références _[12] et _[13]. Par ailleurs,

des _{expériences de pompage optique} sur

201 Hg

_[14]

et 87Rb _[15] ont _permis d’observer des effets

ana-logues sur des atomes autres que l’hélium. A. Modèle _simple. - A. 1 CHAMP

DE

RADIOFRÉ-QUENCE PARFAITEMENT _{INHOMOGÈNE ;} COURBE

LARGE.-Nous supposons ici que la cellule contenant les

atomes est _plongée dans un _{champ statique Bo,}

parallèle à l’axe Oz, d’intensité

Les atomes sont _également soumis à l’action d’un champ inhomogène oscillant _{Dl (r, t) que} nous

appel-lerons _champ de _{radiofréquence :}

où _û,(r) est une fonction vectorielle donnée variant

d’un _point r à un autre dans la cellule. La valeur moyenne sur la cellule, de volume _V, s’écrit :

Nous allons commencer _{par supposer dans} cet

article

que fl,(r) > = 0 (champ de radiofréquence

parfaitement inhomogène) ; ’par contre, bien

évi-demment :

Du fait de son mouvement _{d’agitation thermique,}

chaque atome du _{gaz voit} un _{champ qui dépend} du

temps à la fois _{explicitement} et _{implicitement,} la

dépendance implicite venant des variations aléatoires

de sa position r. Pour comprendre l’effet sur les

atomes du _champ de _{radiofréquence,} il est utile d’utiliser le référentiel tournant _{(référentiel} tournant autour de Oz à la vitesse _{angulaire m)}

_(1).

Le _champ de _{radiofréquence} devient alors un _{champ statique,}

à condition de _négliger en chaque point r de la cellule

la _composante tournante antirésonnante de _{B, (r, t)}

ainsi que sa _partie oscillante _parallèle à _{Oz ;} cette

approximation est valable _lorsque l’intensité du champ Bo n’est pas trop faible

_(il

faut notamment

que co, >

Q,(r»,

ce qui est le cas en _pratique dans

la _plupart des _{expériences.} Nous sommes alors (’) On _prend en fait en _{chaque point} r un référentiel tournant, dont l’origine reste au _point fixe r, et animé d’une rotation de vitesse angulaire w. En d’autres termes, on effectue en chaque point une transformation sur les _composantes de M et de _BI, mais pas de r.

ramenés à un _problème bien connu : celui de l’effet

d’un _{champ statique inhomogène} sur une collection

d’atomes en mouvement _{thermique ;} on sait

([3]

à

_[6])

que l’existence d’un tel champ se traduit _pour

les atomes _par une relaxation supplémentaire de

leur aimantation _globale. Nous allons _supposer ici

que la pression dans la cellule est telle que le

mouve-ment des atomes _peut être traité _{classiquement} et

qu’il obéit à _{l’équation} de diffusion

_(2).

_Désignons

par rd le temps de diffusion des atomes dans la

cel-lule _(la définition _précise de _rd sera donnée dans le

§ B. 2 _{suivant) ;} id est le _temps de corrélation de la

perturbation magnétique aléatoire _agissant sur les

atomes. _{Lorsque :}

(condition

de rétrécissement par le mouvement _[1]

[2]

[16]),

le _temps de relaxation _Ti de la composante

longitudinale Mz de l’aimantation _globale M des

1 atomes est donné par

(’) :

où :

et où :

est la valeur _moyenne sur la cellule du carré de la

projection transversale du _champ de _{radiofréquence} inhomogène

(physiquement,

il est évident _que la

composante longitudinale Ql,,(r) n’agit pas sur

_Mj.

La formule _{(A. 6)} est _{classique ;} on notera seulement

que c’est Jo qui apparaît à son dénominateur, et

non _w. comme _{habituellement ;} ceci tient tout

simplement au fait que nous raisonnons ici dans le

référentiel tournant où l’intensité du _champ

sta-tique efficace le _long de Oz est _{proportionnelle} à _{d o} (et non à _coo). La _probabilité de relaxation _1/T* a

donc un _comportement résonnant dans la _région 40 = 0, et devient _beaucoup moins _importante dès que d o > 11’rd ; physiquement, ceci tient au fait

que la perturbation aléatoire _magnétique dans le

référentiel tournant _possède une densité _spectrale

notable dans une bande de fréquence centrée en zéro

et de _{largeur comparable} à _’/Td’ la _{fréquence propre} du _spin dans ce référentiel _{étant J(J/2} n.

L’effet d’un _champ de _{radiofréquence}

parfaite-ment _inhomogène est donc très notablement

diffé-rent de celui d’un _{champ homogène ;} au lieu de coupler entre elles les _{composantes longitudinale M,,}

(2) Aux faibles _pressions où le libre _{parcours moyen des} atomes

serait comparable ou _supérieur aux dimensions de la cellule, cette

hypothèse ne serait pas valable.

(3) Dans l’expression (A. 6), le facteur _{1/4 provient} de ce que

seule une des deux composantes tournantes du champ de

radio-fréquence intervient. Il faut d’ailleurs noter _que cette expression

n’est qu’approchée ; la valeur _précise de _Ti sera calculée au

et transversale _M+ =

Mx +

_iM,,,

il ne _{couple M’,}

qu’à Mz, dont l’évolution _globale s’écrit :

Dans cette _équation, le terme en

_{1 / Tp}

traduit l’action

d’un processus d’orientation _{longitudinale} des atomes (pompage optique par exemple), le terme en

IIT, + _IIT,* l’effet des autres _{processus de} relaxa-tion _{(Tr désigne} le _temps de relaxation de _Mz en

l’absence _{d’inhomogénéités} de _{radiofréquence} et du processus d’orientation des atomes). L’orientation M,

évolue donc avec une constante de _{temps globale 7B} donnée _{par :}

où :

désigne la _probabilité de relaxation de _Mz en l’absence

de _champ de _{radiofréquence inhomogène. Quant} à la valeur stationnaire limite _Mi de _Mz, on l’obtient

facilement à _partir de _{(A. 6), (A. 9)} et _{(A. 10) :}

Comme en résonance _{magnétique ordinaire,} les

variations de _Ms sont donc _{données par} une courbe

de Lorentz, centrée en _{d o} = 0, _et dont la largeur _et

la hauteur sont des fonctions croissantes de l’inten-sité du _champ de _{radiofréquence appliqué.} Des

différences _{importantes apparaissent toutefois ; par}

exemple, le _temps de relaxation transversale

_Tfl

ne

figure pas dans (A. 11), ce qui se _comprend bien

puisque Mz n’est pas couplé à _M+. La différence la

plus importante tient _cependant à la valeur de la

largeur L de la courbe _prévue par (A. 11) qui vaut,

exprimée en unités de _{pulsations (dans} tout cet

article nous _{appelons simplement largeur} des courbes

leur _demi-largeur à _{mi-hauteur) :}

Cette _{largeur, extrapolée} à intensité de _{radiofréquence}

nulle, donne _1/,r,, et non

IITO

comme en résonance magnétique ordinaire

_{(T,’ :}

_temps de relaxation transversale en l’absence de _champ R. F. inhomo-gène). Nous allons _{supposer ici que :}

La courbe _{de résonance donnée par (A. 1 1)} est alors

beaucoup plus large que celle que donnerait la

réso-nance avec un _champ de radiofréquence homogène ;

c’est _pourquoi nous _{l’appellerons} « courbe _{large ».}

Remarques :

(i) La formule _{(A. 9) prévoit} exactement la même forme de courbe que les formes habituelles de

réso-nance _{magnétique pour} un _système dont les _temps

de relaxation _{longitudinale} et transversale seraient

_Tf

et _zd.

(ii) Les courbes centrées en _úJo = _{+ co ne se}

recouvrent _{pas si :}

Dans toute la suite, nous _{supposerons que :}

L’effet de la _composante antirésonnante est alors négligeable.

A. 2 CHAMP DE _{RADIOFRÉQUENCE} COMPORTANT UNE PARTIE HOMOGÈNE ; ; COURBE FINE. -

Que se _passe-t-il

maintenant si le _champ de _{radiofréquence} n’est _pas parfaitement inhomogène, c’est-à-dire _{si ( Q,(r) >} n’est pas nul (ou parallèle à _{Oz) ?} Il est clair _que, contrairement à ce _qui se _{produisait au §} 1 _précédent,

les évolutions de _M, et de _M+ ne sont _plus

décou-plées ; on s’attend donc à une modification de la

forme de courbe de résonance.

On _{peut décomposer} tout _champ de _{radiofréquence} inhomogène en deux _{parties :} la _première

est _{purement inhomogène ;} la seconde

est au contraire _parfaitement homogène et _dépend

uniquement de la _{valeur moyenne du champ} de radiofréquence, notée _{pour simplifier :}

Le _problème est maintenant de savoir dans _quelle

mesure on _peut simplement ajouter l’effet de la

partie inhomogène du _{champ (relaxation résonnante)}

et celui de sa partie homogène. Dans tout cet _article,

nous _{supposerons que :}

Cette condition, réalisée en _pratique dans la plupart

des _expériences du fait de la _petite valeur du _temps de diffusion _(rd est couramment de l’ordre de 10-3 _s),

exprime que la partie homogène du champ de radio-fréquence n’a pas le temps d’agir pendant le _temps de

corrélation de la _{perturbation magnétique} aléatoire

à _laquelle est soumis _chaque atome. Dans ce _cas, on sait _{[1] [16]} que la relaxation associée à cette

perturbation aléatoire n’est pas modifiée par la

pré-sence du _champ de _{radiofréquence homogène}

(4).

Par suite, tous les résultats _{du §} 1 _précédent

concer-nant l’effet de la _{partie inhomogène} sur l’évolution

de l’aimantation M restent valables. _{L’équation} d’évolution _globale de M s’obtient donc _simplement

en _ajoutant au second membre les termes _provenant

de la _présence du _champ de _{radiofréquence} homo-gène.

Nous sommes donc ramenés à un problème

clas-sique de résonance _{magnétique :} calculer l’effet d’un champ de _{radiofréquence} oscillant _homogène sur

l’aimantation M d’un ensemble _{d’atomes, compte}

tenu bien sûr du fait _que la _{partie inhomogène} du champ oscillant _produit une relaxation

supplémen-taire pour M. Au § 1 _précédent, nous avons vu _que

la modification de la relaxation _{longitudinale} conduit à _remplacer

_T°

par Tl

T? (cf.

(A.

1 Oa» ;

il faut évidemment _{envisager également} les modifications de la relaxation _{transversale,} et _remplacer le _temps

transversal

_T2

en l’absence de _{radiofréquence} par un

temps T2 plus court

_{(5) :}

( T2 :

temps de relaxation transversale associé au

champ de _{radiofréquence inhomogène}

_(6)).

Ces modifications une fois _faites, on _{peut appliquer} les classiques formules de Bloch _pour obtenir l’effet sur

la valeur stationnaire de M du _champ de

radiofré-quence homogène ; on trouve _pour la valeur

sta-tionnaire _Ms de _{M,, l’expression} habituelle

_(voir

par exemple, réf. _[1], formule ₍₃₎ du _Chap. III, p.

44) :

où _{mii désigne} le module de la _projection de _wl sur

le _{plan x0y perpendiculaire} à Oz. Si _Tl et _T2 étaient des constantes, cette formule donnerait _{pour Mi} une

courbe de Lorentz de _{largeur :}

(4) La condition (A. 18) est discutée dans la référence [17]

(Chap. VII) en termes d’atomes habillés _par le _champ de

radio-fréquence (elle exprime que les modifications des fréquences de

Bohr sont faibles devant la _{largeur spectrale} de la perturbation aléatoire).

(5) La relaxation produit également un _{déplacement àoeg} de la

fréquence propre de M+ ; ce _déplacement sera étudié au § B. _3a.

suivant.

(6) La valeur exacte de Ti sera _{précisée plus} bas (§ B. 3 . a . _{P) ;}

signalons dès ici que Ti est _comparable à Ti .

En _{fait, Tl} et _{T2 dépendent} de _A, par l’intermédiaire de _T* et _T2

_(voir

_{par exemple (A. 6)} et _(A.

_10)).

Cependant leurs variations ne sont notables _que

si _Jo varie d’une _quantité de l’ordre de _{1 /-r, ;} nous

allons supposer ici que :

hypothèse qui, sauf pour les très grandes valeurs du champ de _{radiofréquence homogène (résonance}

_très,

fortement saturée) revient à :

Dans ces conditions, les variations de T, et T2 sur

la _largeur 1 sont _{complètement négligeables} et on

peut les _remplacer dans (A. 20) par leurs valeurs pour Jo = 0 ; cette formule _prévoit alors pour la

valeur stationnaire _Mi de l’orientation _{longitudinale}

une variation lorentziénne dans la région 1 A 0 1.

Globalement, la courbe de résonance est donc la

somme de deux courbes _{d’absorption} lorentziennes

(cf. Fig. 1). Loin de la résonance

_(j

_{do > l),}

l’effet

du _champ de _{radiofréquence homogène} est

négli-geable, et la courbe de résonance est confondue avec

la courbe _{large donnée par (A. 11).} L’effet du _champ

de _{radiofréquence homogène} n’est sensible (comme habituellement en résonance magnétique) _{que si}

1 A 0 1 ;$ 1; lorsque cette condition est _réalisée, la partie homogène du _champ de _{radiofréquence} peut, suivant son _intensité, détruire une _{proportion plus} ou moins _grande de l’orientation

_{M.. T, (,J,, = 0)/ Tp}

FIG. 1. - Forme de la courbe de résonance obtenue

avec un

champ de radiofréquence partiellement inhomogène ; on _porte en fonction de _do =

coo - co les variations de la valeur

station-naire _M.’ de l’aimantation longitudinale des atomes. _{Mo Tf /Tp} est l’orientation des atomes en l’absence de radiofréquence (on

suppose ici Mo > _0). La partie inhomogène de ce _champ donne des variations résonnantes du temps Tl de relaxation longitudinale

des atomes, ce _qui entraîne l’existence d’une courbe _large de

lar-geur L (l’extrapolation de L à radiofréqueace nulle donne l’inverse

du temps de diffusion des atomes). La partie homogène donne une courbe fine, située au sommet de la courbe _large, et de largeur 1 ;

cette courbe fine peut se décrire comme une résonance _magnétique

habituelle, au cours de _laquelle est détruite une _partie de l’orien-tation Md = _{Mo T,(Ao} =

O)ITP qui aurait subsisté au sommet

qui aurait subsisté au sommet de la courbe _{large ;} il en résulte une courbe de résonance _{fine, superposée}

à la _{précédente (’).}

A. 3 DISCUSSION : DANS QUELLES CONDITIONS

EXPÉ-RIMENTALES LA COURBE LARGE APPARAÎT-ELLE ?

-Dans une _expérience où le _champ de _{radiofréquence}

est _homogène il faut, pour produire la résonance fine, un _champ d’intensité telle que :

Par contre, si le _champ de _{radiofréquence} est

par-faitement _inhomogène, la résonance _{large apparaît} lorsque :

Comme

_{TZ >}

id, l’intensité du champ oscillant nécessaire pour observer une résonance est _plus

faible

_(d’un

facteur

_",/rd/T2)

_lorsque ce _champ est

homogène que lorsqu’il est _inhomogène. On _peut

alors se poser la question suivante : dans les expé-riences réalisées en _pratique où le _champ n’est, ni parfaitement homogène, ni _parfaitement inhomo-gène, l’effet de la composante homogène du _champ de _{radiofréquence} ne suffira-t-il pas dans la plupart des cas _{à masquer} celui de la _composante inhomo-gène ? En d’autres termes, si l’on désire observer la

résonance _large, avec _{quelle précision} faut-il annuler la valeur moyenne du champ oscillant sur la cellule ?

Désignons par k un coefficient caractérisant

l’in-homogénéité du _champ de _{radiofréquence :}

k varie entre 0 _{(champ parfaitement homogène)} et

l’infini _(champ de _{radiofréquence} nul en valeur

moyenne sur la _cellule). Pour que l’on puisse

dis-tinguer la courbe _large de la courbe fine il faut _que,

lorsque l’intensité du _champ de _{radiofréquence} est

assez _{grande pour qu’apparaisse} la courbe _large, la courbe fine soit encore suffisamment _{peu élargie}

pour rester nettement _plus étroite que la courbe

large. Or la courbe _{large apparaît lorsque :}

(’) On _peut se demander si la condition (A. 22b) est réellement essentielle et s’il ne _{suffit pas, pour} s’en affranchir, de remplacer

dans _{(A. 20) Tl} et T2 par leurs expressions complètes sans _négliger leur dépendance en _{d o.} En fait, cette manière de faire ne serait

pas correcte : pour écrire (A. 6), nous avons _{supposé implicitement}

que, parmi les _processus d’évolution des atomes, seule l’évolution due au _{champ magnétique statique} est _capable d’agir notablement sur les atomes en un _{temps id.} De même que la condition (A. 18)

est nécessaire _pour assurer _que l’action du champ de radiofréquence homogène est négligeable pendant le _temps Zd, de même il faut

pour que (A. 6) reste valable _{qu’aucun processus} de relaxation

n’agisse efficacement sur l’atome _pendant le même temps, ce _qui

implique nécessairement _{(A. 22b).}

Pour cette intensité de _{radiofréquence,} la _largeur de la courbe étroite est, d’après (A.21) :

Compte tenu de (A. 13), on montre facilement _que

cette _largeur est très inférieure à

_{rd ’}

1

si

Donc, pour observer nettement l’effet des

inhomo-généités du _champ de _{radiofréquence} et obtenir une

courbe ayant l’allure de celle de la _{figure 1,} il faut

que l’inhomogénéité du _champ de _{radiofréquence,} repérée par le paramètre k, soit supérieure à une

quantité qui ne _{dépend que de id} et du _temps de

relaxation transversale

_T2.

_{D’après (A.22b),} cette

condition n’est pas très sévère ; si l’on pousse

suffi-samment l’intensité du _champ de _{radiofréquence,} la courbe _large doit _apparaître en fait dans la _plupart

des _{expériences.}

Remarque. -

Compte tenu de _{(A . 26), l’inégalité} (A .18) devient

condition _qui est, en _général, satisfaite si (A. 28) l’est.

B. Calcul complet : effets du _{champ inhomogène}

sur l’orientation. - Etudions

plus en détail l’effet du

champ de _{radiofréquence inhomogène} sur

l’aiman-tation des atomes _(dans tout ce _{paragraphe B,} nous

n’étudierons que le rôle de la partie inhomogène du champ de _{radiofréquence,} dont nous _supposerons

que la valeur moyenne sur la cellule est _nulle). Les

calculs que nous avons menés jusqu’ici ne sont

valables que dans le cadre d’un modèle simple, où

l’effet du _champ de _{radiofréquence peut} être

carac-térisé _par un _temps de relaxation T* dont

l’expres-sion est donnée en (A. 6). En fait, la valeur exacte

du _temps de relaxation _{longitudinale} est _plus

complexe ; elle fait intervenir _{plusieurs temps} de

corrélation _id associés aux différents modes de

diffusion dans la cellule, avec des _{poids qui dépendent} des variations _spatiales du _champ de _{radiofréquence.}

De _{plus, il n’est pas} suffisant de _{décrire le processus}

de relaxation résonnante étudié par un _temps de

relaxation _{longitudinale T*,} même en lui _adjoignant un second _temps Ti _{pour décrire la relaxation}

trans-versale : d’une _part, la relaxation _{peut également} introduire des _{déplacements} de la _fréquence de précession de l’aimantation ; d’autre _part, elle _peut

présenter un caractère _anisotrope et _coupler entre

elles différentes _composantes de l’aimantation, de

sorte _que sa _{description complète} nécessite

l’intro-duction d’une matrice 3 x 3 de relaxation _(R). Nous

que ces _{propriétés complexes} de la relaxation (ani-sotropie, déplacements de _{fréquence) peuvent} conduire à des effets _importants et facilement observables.

C’est _pourquoi nous allons _reprendre les calculs du

§ A de façon plus détaillée et _complète.

B .1 EVOLUTION DES COMPOSANTES DE

L’AIMANTA-TION DANS L’HYPOTHÈSE DU RÉTRÉCISSEMENT PAR LE MOUVEMENT. - Calculons l’effet sur la matrice densité

de l’ensemble des atomes de la _perturbation magné-tique aléatoire _{que subit chacun d’entre} eux, du fait

de son mouvement _{d’agitation thermique} dans le

gradient de _{champ magnétique (contrairement} au

§ A _précédent, nous allons ici raisonner dans le

référentiel du _{laboratoire). Nous supposons que les}

atomes étudiés ont un

spin t

et _{désignons par 6x, 6y} et _Uz les _opérateurs dans _l’espace des états d’un

spin 2

associé aux trois matrices de Pauli. L’hamil-tonien _X(t) de _couplage entre un _atome, de

posi-tion _r(t) à l’instant t, et le _champ de _{radiofréquence}

inhomogène s’écrit alors :

où _{Q,:,: = Q lx} ±

_{iQ ly}

et _SlIZ sont les _composantes

du vecteur _{01 (r) caractérisant, d’après (A.2),} le champ Bi(r, t) ; on a _{posé u, = Qx ± iQy.} Nous allons supposer ici satisfaite _{l’hypothèse} selon _laquelle

l’action de _Je(t) est soumise au « rétrécissement _par

le mouvement » _{[1] ] [2] [16] :}

(cette condition étant vérifiée en tout _point r intérieur

à la _{cellule) ; te désigne} le _{(ou les) temps} de corréla-tion de la _{perturbation JC(t),} dont la valeur exacte

sera discutée en détail dans _{le §} 2 suivant. La condi-tion _{(B.2) exprime} que, avant d’avoir eu le _temps

d’agir de façon importante sur un atome _donné, la perturbation à _laquelle il est soumis a _perdu toute

« mémoire » de sa valeur initiale. Dans ce _cas,

l’évo-lution de la matrice densité _p(t) de l’ensemble des

atomes sous l’effet du _{champ inhomogène} est donnée par [1] [16] :

Dans _{(B. 3),} la barre _{qui apparaît} au-dessus d’une partie du second membre _{signifie qu’il} faut _prendre la valeur moyenne sur l’ensemble des atomes étudiés

de _{l’expression qui} y figure ; Uo(t, t -

r) désigne l’opérateur d’évolution libre entre les instants t et

t - L _{qui, pour} des atomes _plongés dans un _champ

magnétique parallèle à Oz d’intensité - _w.1y, s’écrit :

D’autre _{part, l’expression} de la matrice densité _p(t)

en fonction des composantes M,,,

My

et _Mz de l’ai-mantation M du niveau fondamental est :

(on a posé Mt =

Mx ±

_iMy).

En reportant (B .1 )

et _(B.5) dans _{(B. 3),} on voit _apparaître un certain

nombre de doubles commutateurs des _opérateurs a,,

Q_ _{et a,,} dont le calcul ne _présente pas de difficulté ;

et, comme :

on obtient, tous calculs faits :

Dans ces _égalités, les coefficients de relaxation R

(les coefficients R dont le deuxième indice est +

ont eiroot dans _{l’intégrale} sur r, ceux dont le deuxième

indice est - ont _{e-"00", l’exponentielle} étant absente pour ceux dont le deuxième indice est _z).

Nous avons donc calculé la matrice de

relaxa-tion _{(R) qui permet} d’écrire l’évolution de M due

au champ de radiofréquence inhomogène sous la forme :

,

Les éléments de matrice de (R) dans la base _M+, Mz, M_ apparaissent explicitement dans _(B.7). Cependant, pour la suite, il nous sera commode

d’utiliser _{l’expression} de _(R) dans la base _M,,,

_My,

M,,, expression qui est, bien sûr, réelle. Dans _(R), les termes _{indépendants} du _{champ Bo s’expriment} en

fonction des coefficients réels :

où _{x,, xj} =

x, y ou z ; les K, qui dépendent de co

mais pas de co., seront _appelés coefficients non

résonnants. Pour les coefficients de la relaxation

dépendant de co(,, nous introduisons les _quantités

réelles C et S définies paru :

(l’expression de S étant _simplement obtenue en

remplaçant cos _{mo i par sin coo i) que} nous

appel-lerons « coefficients résonnants » _(ils deviennent importants si mo = co). On montre _{aisément que :}

d’où l’on déduit _{l’expression} suivante de la matrice _(R), dans la base Ox, Oy, Oz :

Lorsque la condition de rétrécissement par le

mouvement est satisfaite, les _{équations que} nous avons obtenues sont _générales et donnent l’évolution de l’aimantation _{M, quelle que} soit la loi _{qui régit}

le mouvement aléatoire des atomes dans la cellule ;

cette loi n’interviendra _que dans le calcul des valeurs

moyennes sur tous les atomes, qui sont _symbolisées

par des barres horizontales dans l’expression des

coefficients R. En _{effet, désignons par F(r, t ; r’, t’)} d’r

la _{probabilité pour} que, sachant qu’un atome se

trouve en r’ à l’instant _t’, il soit à un instant t ultérieur dans un volume d’r centré en _{r ;} un raisonnement

simple montre alors que :

où _{f (r, t)} est la densité

_{relative I}

des atomes à l’instant t

_(des

formules semblables à (B. 13) peuvent immédiatement être écrites _{pour les}

autres _composantes de

_{01 (r)).}

Si nous connaissons la

fonction _{F(r, t ; r’, t’),} nous _pouvons calculer

l’in-tégrale figurant dans _{(B. 13), puis} les coefficients R

grâce à _{(B. 8),} et le _problème est en principe résolu.

Dans le _paragraphe suivant, nous allons effectuer

ces calculs dans le cas _particulier où le mouvement

des atomes est _{régi par l’équation} de diffusion. B. 2 APPLICATION A LA DIFFUSION D’ATOMES DANS UN CHAMP INHOMOGÈNE OSCILLANT. - Pour

un

ensem-ble d’atomes diffusant dans une cellule _sphérique de rayon Ro, dont les _parois sont _supposées

parfaite-ment réfléchissantes (elles ne _produisent aucune

ne _dépend que de r = t - t’ et vaut _{(voir appendice,}

formule

_{(18)) :}

où V = 4

nR’13

est le volume de la cellule,

qJn,l,m(r)

la fonction _spatiale associée au mode _{repéré par les}

indices n, 1, m, de temps de diffusion _zn,l. Les

expres-sions _précises de _qJn,l,m et de _1’n,1 sont

_{(8) :}

D étant le coefficient de diffusion des atomes dans la _{cellule, Ym(O, lfJ) l’harmonique sphérique} d’ordres 1

et _{m, j1} la fonction de Bessel _sphérique d’ordre 1 et

fin’

le n-ième zéro de sa dérivée :

(an,l

i est un coefficient de normalisation défini dans

l’appendice ; cf.

_(10)).

_Compte tenu de _(B.13) et en

supposant que :

(densité uniforme des atomes), il _apparaît dans les

coefficients de relaxation R des _intégrales de la forme :

qui s’écrivent _{Q, ,}

_{1 (p.@l@. >}

_(p.@l@.

_{1 Q, , >} en

uti-lisant la notation _{simplifiée :}

(l’intégrale étant étendue à toute la _cellule). Nous

supposons ici que la valeur moyenne ( 121(r) > est

nulle _(champ de _{radiofréquence purement} inhomo-gène) ; c’est la raison _{pour laquelle} le terme en _{1 / V}

dans _{(B. 14) disparaît lorsqu’on} le _reporte dans (B. 13)

(9).

(8) Au lieu des fonctions _{Pn.l.m(r) qui} sont complexes (sauf

si m = 0), on _{peut prendre} des fonctions réelles n _.(r) propor-tionnelles à _{Pn.l.m(r):I: Pn.l. -m(r).}

(9) Si le _champ de radiofréquence comportait une _partie

homo-gène, il ne serait évidemment pas suffisant d’en tenir compte dans le cadre du _présent calcul en gardant simplement la contribution

du terme en _{1 / V :} la _{partie homogène} du _{champ agit} sur les atomes

non _pas comme une _{perturbation aléatoire,} mais certaine, et ne donne pas une relaxation de M (en d’autres termes, pour cette

partie homogène, le temps de corrélation serait infini, ce _qui exclut

qu’elle puisse satisfaire la condition de rétrécissement par le

mou-Les _{valeurs moyennes} sur l’ensemble des atomes

ayant ainsi été calculées dans les _{expressions (B. 8)} des coefficients R, il reste à effectuer _{l’intégration}

sur i des _{quantités obtenues, multipliées par} cos

_{[CO(t - 1’)].}

Un calcul élémentaire donne alors :

R+z ayant la même _{expression, après remplacement}

de .

921. 1

_{(p.,,,. >’par}

Q, - 1 (p.,,,. >. De _même, il vient :

[les

notations id _{(- mo) signifient qu’il} faut dans chacun des crochets _ajouter, ou _retrancher, la même expression où le _{signe de coo} a été

changé].

Les

expres-sions _complètes de _R,,, et _{R+ +} sont semblables à celle de _{R - ,} la seule différence étant que Q, , 1

{Jn,l,m >

est _{remplacé par D1z 1}

_{{Jn,l,m >}

dans

le _{premier cas, ( Q, - 1}

_{(p.,,,. >}

dans le second cas.

Les _égalités ainsi _{obtenues, reportées} dans _{(B. 7),} permettent donc de connaître exactement l’effet du champ de _{radiofréquence inhomogène. Nous pouvons} d’ailleurs à ce stade _préciser la condition de

rétré-cissement _{par le} mouvement _qui fournit une limite

de leur validité. La _{perturbation subie par} les atomes

possède en fait une infinité de _temps de corrélation

’qui sont les _temps de _{diffusion in,l,} de sorte _que la

condition de rétrécissement par le mouvement devient :

Les modes de diffusion de _{temps ’en,l} les _{plus longs}

sont les 3 modes _{dégénérés n = l =1, m = 1, 0, -} 1 vement). La façon correcte de tenir _compte de la _{partie homogène} du _champ de _{radiofréquence} est de la traiter à part de la

partie inhomogène, et d’écrire directement sous la forme

dM/dt = _yM x _B(t) l’évolution _{correspondante} de M (c’est bien ce _qui a été fait au § A. 2 où, de plus, ont été discutées les conditions dans lesquelles la _{partie homogène} ne modifie pas la relaxation

(cf. Appendice) ; par suite, (B. 23a) se réduit à :

comme :

(et des _égalités semblables _{pour les} autres compo-santes de _Qi), on voit que tous les _{coefficients R}

satisfont :

L’hypothèse du rétrécissement _par le mouvement

entraîne donc que les probabilités de relaxation sont

faibles devant

_I/’rl,l’

B.3 DISCUSSION : PROPRIÉTÉS DE LA RELAXATION

RÉSONNANTE ANISOTROPE PRODUITE PAR UN CHAMP R. F.

INHOMOGÈNE. - Dans

(B.7), on _peut distinguer,

parmi les coefficients R, deux _types de coefficients de _{couplage :} ceux _qui donnent des termes

diago-naux de la matrice _(R), reliant _M+ à _{M+, Mz} à _MZ ou M- à _M-, et ceux _qui donnent des termes non

diagonaux couplant entre elles des _composantes différentes de M. Dans un _{champ magnétique}

sta-tique Bo, les _{fréquences propres} d’évolution de _M+, Mz et M- sont _{différentes ;} les termes non _diagonaux

sont non séculaires et leur effet est donc _{négligeable,}

sauf pour certaines valeurs de Bo (résonances) qui

seront discutées _plus bas _{(§ 3. b. f3).} Par _contre, les

termes _{diagonaux correspondent toujours (au} moins pour leur partie indépendante du temps) à des termes

séculaires ; c’est _pourquoi nous allons commencer

par les étudier.

B. 3 . a Termes diagonaux de la relaxation. -

Consi-dérons tout d’abord le terme de _couplage de _Mz avec

lui-même _{(relaxation longitudinale) ;} le terme

dia-gonal concernant _{M+ (relaxation transversale)} sera

étudié ensuite.

B . 3 . a . a Relaxation _{longitudinale.} - On voit

sur

la deuxième _{égalité (B.7) que} le coefficient du terme

de _couplage de _Mz avec lui-même est :

D’après (B. 22), ce terme _comprend deux _parties,

l’une _constante, l’autre oscillant à la _pulsation 2 m.

Seule la _première de ces deux _parties est en fait

importante, puisque les termes oscillants sont non

séculaires _lorsque m » R, condition _qui est

effecti-vement satisfaite _puisque co »

_{1 /i 1,1}

1

[cf.

(A.

1 5a)]

et

_{» R}

_{[cf. (B.25)].}

L’effet du terme _diagonal

(B.26) est donc de créer une relaxation

supplémen-taire, caractérisée par un _{temps T*} tel que :

avec :

On montre _{d’ailleurs,} en utilisant des modes de

diffusion réels

_[cf.

note

_{(8)] d.)ue :}

les _composantes sur Ox et _Oy de _{l’inhomogénéité} fl,(r) jouent donc un rôle _symétrique dans _Ti.

Les formules (B.27) et _(B.28) sont _{à comparer}

avec _{l’expression approchée (A. 6)} de _IITt. On remarque tout d’abord que, dans les deux cas, IIT,*

présente un _comportement résonnant au _voisinage

de _Wo = co ; la formule _{(B. 27) prévoit} d’ailleurs

également une résonance en _Wo = - w _(terme

anti-résonnant), ce qui n’est pas étonnant puisque nous avons _pris un _champ linéaire _{oscillant ; cependant,}

si _wo est _positif comme co, et si _{co, >}

_{lit 1) [cf.}

(A.

.15)],

on _{peut négliger} le terme antirésonnant dans le

cro-chet de _{(B. 27). L’expression} exacte de _{1 / Tl} ressemble alors nettement à _{l’expression approchée (A. 6).} En

effet, remplaçons dans _{(B. 27)} tous les _{temps par}

un seul _{temps de diffusion rd (rd} est _{par exemple} le temps tn,l associé aux modes n, 1, m dont les _poids

sont les _{plus grands) ;} il _apparaît alors _{l’expression :}

(l’intégrale étant étendue à toute la _cellule) et _{(B. 27)}

se réduit à _{(A. 6). Cependant,} l’intérêt de la formule

(B . 27) est de faire intervenir de façon exacte les différents _temps de corrélation de la _{perturbation (et}

nous verrons dans la _{partie expérimentale} que plu-sieurs d’entre eux _peuvent être nettement _visibles) en

donnant leurs _{poids, qui dépendent} de la carte du champ de _{radiofréquence} comme le montre _{(B. 28).}

Examinons de _{façon plus précise} comment les

variations _spatiales de _{Q, , (r)} affectent le _temps de

relaxation _Ti. La fonction _{Q 1 , (r) étant, d’après} les

équations de Maxwell, harmonique

(10) :

elle peut être _développée sous la forme :

(10) Nous supposons ici _qu’aucun des fils _{parcourus par} des

[nous

excluons ici le terme 1 = 0 qui correspondrait

à une partie homogène du _champ de _{radiofréquence ;}

cf. note

_(9)].

Il vient _{alors, d’après (B. 15) :}

L’intégrale de normalisation

_Qn"

est définie dans l’appendice

[éq. (II)].

Posons d’autre _{part :}

Pour _finir, il vient :

Notons que, si la carte du _{champ (c’est-à-dire} les

coefficients

_c"m)

est _modifiée, on _change bien sûr les

poids des modes associés à des valeurs différentes

de 1 ou de m, mais pas le poids relatif de tous les

modes ne différant _{que par} les valeurs de n. De plus,

les formules _{(B. 34) permettent} de savoir comment

varie _Ti en fonction du rayon Ro de la cellule, lorsque les _{coefficients c"m} sont fixés _{(c’est-à-dire pour} une

configuration donnée des fils créant le _champ RF inhomogène, et des intensités données _les

parcou-rant). A résonance _{(coo = co),} la contribution

_{(1 / T*),,@l@.}

de _chaque mode _{{ n, 1, m;} à la _probabilité de relaxa-tion est telle _{que :}

Par contre, loin de la résonance

_[j

_{W - Wo 1}

_{» 1],}

on a :

Si seul le mode le _plus bas ₍₁ = 1) _est pratiquement

présent, on a une _probabilité de relaxation

propor-tionnelle à

_Rô

à résonance, loin de la résonance

une relaxation _{indépendante} de _Ro. Dans le cas

opposé où la carte du _champ de _{radiofréquence} est

suffisamment _{complexe pour qu’apparaissent} des modes de diffusion de 1 élevés, la _probabilité de

relaxation varie très vite avec _Ro

[rappelons

_que

toute cette discussion _{suppose que Ro} ne _dépasse

pas le domaine où la condition (B. 23b) reste

satis-faite].

B. 3. a. _f3 Relaxation _{transversale ; déplacement} de

la _fréquence de résonance. - On voit

sur _{(B. 7)} que

le terme de

_couplage

de _M+ avec lui-même a _pour

coefficient :

RzZ est un coefficient réel, mais _{R + -} est en _général

complexe ; par suite, ce terme _correspond non

seulement _(pour sa _{partie réelle)} à une probabilité de

relaxation transversale _IIT2*, mais _{également (pour}

sa _{partie imaginaire)} à un déplacement de la

fré-quenee propr d’oscillation de M +’. Commençons

par l’étude de T2 ; nous avons :

où

_{RO ,}

est donné _{par les} termes constants de _(B.2I) [comme dans le § a _précédent, nous _négligeons

l’effet des termes oscillants dans la _{relaxation, qui}

sont non séculaires]. On remarque tout d’abord que seul le terme en IIT,* a un _comportement résonnant

lorsque coo - w, alors que

R,

est _{indépendant de (00 ;}

en _fait,

RI

reste _négligeable tant _{que co » 1 co - coo 1,}

1

et : .

ce qui signifie que la relaxation transversale est

deux fois _plus lente que la relaxation longitudinale.

Physiquement, ceci _peut se _{comprendre par} un

passage dans le référentiel tournant, où seules les deux _composantes transversales du _champ de

radio-fréquence deviennent _statiques, la _composante lon-gitudinale restant oscillante _{(ce qui permet} de _négliger

son _{effet) ;} les deux _{composantes statiques} contribuent

alors à la relaxation de _Mz, alors _qu’une seule d’entre elles _peut contribuer à la relaxation _{de la}

compo-sante _{Mx par exemple (OX} étant un axe du référentiel

tournant _{perpendiculaire} à _{OZ) :} la _{composante Qi} y

sur l’axe OY _{perpendiculaire} à OX. Par _suite, il

n’est pas étonnant que M., relaxe deux fois _plus vite que Mx.

Le terme en

R’

_correspond à ce que l’on nomme

souvent le terme _adiabatique dans la relaxation de la cohérence du _système. Pour un _{champ inhomogène}

statique, ce terme _adiabatique serait de l’ordre de (

DfJ.. > ’rd

[comme

le montre _{(B.21) lorsqu’on y}

porte w =

0],

tandis _que 1 /Tl* serait de l’ordre

de (

1 -L

rd/[’

1 + _(mo

_{’rd)2] ;}

_{pour un champ} inho-mogène statique, le terme _adiabatique est donc presque toujours le terme dominant dans la _relaxation transversale (ce n’est _{qu’en champ} très faible, lorsque mo ’rd ;5 l, que le terme en _IIT* devient _comparable au terme _{adiabatique).} Par contre, pour un _champ

de _{radiofréquence inhomogène} comme celui étudié

ici, il en va autrement : le fait que la composante 5212

soit modulée réduit le terme _adiabatique dans un

facteur

_{(1 /(Ord) ’,}

alors que 1/Tl prend toujours une

valeur maximale de l’ordre _de

_{Q’ >}

_{ia ; par}

suite, c’est le terme _{adiabatique qui} est _{généralement}

pour un _{champ inhomogène statique,} le terme

adiabatique redevient dominant).

La _{partie imaginaire} de _R,- donne un

déplace-ment _ôco*/2 n de la fréquence d’évolution de _{M + :}

D’après (B. 22), on a _{(comme plus haut,} nous ne

gardons dans R que la partie constante des termes

résonnants pour mo ri m) :

Dans _{l’approximation} où tous les _temps de diffusion

sont _{remplacés par} un _{temps unique id,} cette

expres-sion devient _{simplement :}

La relaxation _produite par le champ de radiofré-quence inhomogène entraîne donc l’existence d’un

déplacement de la _fréquence de résonance de M. Ce

déplacement, nul pour Wo = _co,

peut devenir notable

lorsque coo e m ; dès que 1 Wo - (0 1 ’rd » 1, il est en

fait _{beaucoup plus important que l’élargissement} de la résonance lié au raccourcissement de _T2*; c’est

pourquoi il est aisément observable _{expérimentalement}

(ce qui n’est _pas le cas _{lorsque l’inhomogénéité} est statique, l’élargissement de la résonance _provenant du

terme _adiabatique de la relaxation transversale étant

toujours comparable, ou _supérieur, au _{déplacement).}

Contrairement à la _probabilité de relaxation _IIT*,

qui est due aux transitions réelles subies _par les

atomes sous l’effet du _{champ magnétique aléatoire,}

le _{déplacement bco* provient} des transitions vir-tuelles induites _par ce même _{champ [16] :} ces

tran-sitions virtuelles font apparaître un _couplage entre

-les deux niveaux non _perturbés des _{spins, d’énergies} ± _{hco012, couplage} qui change leurs _énergies.

Remarques. -

(i) Nous avons _négligé le terme

antirésonnant dans Im _{{ R + 1 pour} obtenir _{bwô .}

D’après (B.22), lorsque mo ri m et m »

_l/Ln",

ce

terme vaut :

ômg’ est _analogue au _déplacement de _{Bloch-Siegert [18]}

qui, pour un ensemble de _spins soumis à l’action d’un champ linéaire _homogène oscillant _{d’intensité - co, /y,}

vaut

_co’/4

_{coo. Cependant} la formule (B. 40) montre

que, pour un ensemble de _spins se déplaçant

rapide-ment dans un _champ oscillant _{inhomogène, àmg’} n’est pas simplement la moyenne sur la cellule des

dépla-cements de _{Bloch-Siegert} en _{chaque point r,} mais sa

moitié seulement.

ii) L’expression (B. 14) de la fonction F que nous

avons _prise n’est certainement pas valable _{pour les}

temps r très courts. Cette _{expression ayant} été obtenue à _partir de _{l’équation} de _{diffusion, elle suppose}

implicitement que i est _grand devant le _{temps Ait}

qui sépare deux collisions _cinétiques successives subies _par un atome donné

_(par

_exemple, pour un

gaz d’hélium à 1 torr, Ar,,, - 10-’ s

_[4]).

En effet, le

mouvement très _rapide des atomes entre deux

colli-sions n’obéit évidemment pas à l’équation de diffu-sion : ce n’est que sur des temps longs (r > ArJ

que ces mouvements _rapides se _{moyennent pour}

donner un _processus de diffusion. Tant que les

intégrales sur i _{qui figurent} dans les coefficients R

sont _peu sensibles aux valeurs de F _pour 1 5 !e’

les calculs que nous avons _{développés jusqu’ici} sont

valables ; c’est effectivement le cas _{lorsque OJo} Ai « 1.

Par contre, si _{OJo ;:}

_(Aïg)’

la relaxation devient sensible au mouvement _rapide des atomes et ses

caractéristiques peuvent être très différentes

_(Ar,,,

_joue le rôle d’un temps de corrélation court _{de la}

per-turbation). C’est ce _{qui explique pourquoi} les réfé-rences _[4] et _[5] donnent des _expressions de _T*,

valables en _champ très fort seulement, très différentes des nôtres _{(elles dépendent de Ar,,,,} mais pas de Ro). Bien _sûr, les deux théories doivent donner le même résultat dans le domaine intermédiaire

c’est bien ce _{que l’on constate,} du moins si on ne

retient de _{l’expression (B. 34)} de _IIT* que la

contri-bution du mode 1 = 1 (dont _{nous avons}

effective-ment noté _plus haut _qu’elle est _{indépendante} de _Ro

en _{champ fort).}

B. 3. b Termes non diagonaux. - Comme le

montre _{(B. 7),} l’effet de la relaxation _{produite par} le, champ de _{radiofréquence inhomogène} n’est pas simplement de modifier les _{caractéristiques} de l’évo-lution _{propre de chacune des composantes M+,}

M, et M- _prise isolément ; la relaxation introduit

également un couplage entre les différentes

compo-santes de M. _Jusqu’ici, nous n’avons étudié _que les

éléments _diagonaux de la matrice _{(R) qui, d’après}

(B . 9), caractérise l’effet de la relaxation sur M. Mais,

nous le verrons _{plus bas,} les éléments non _diagonaux

de _(R) peuvent avoir un effet important sur la

pola-risation M _lorsque le _{champ Bo passe par certaines}

valeurs _(coo = 0, _{co ou} 2 co). C’est pourquoi _nous

allons étudier de _{façon plus} détaillée la matrice _(R),

ce _qui nous _permettra de mieux _dégager les