Signal 5 Les oscillateurs forcés

Signal 5 Les oscillateurs forcés

Lycée Vauvenargues - Physique-Chimie - PTSI 2 - 2021-2022

Contenu du programme officiel :

Notions et contenus Capacités exigibles

Impédances complexes. Établir et citer l’impédance d’une résistance, d’un condensateur, d’une bobine.

Association de deux impédances. Remplacer une association série ou parallèle de deux impédances par une impédance équivalente.

Oscillateur électrique ou mécanique soumis à une exci- tation sinusoïdale. Résonance.

Utiliser la représentation complexe pour étudier le régime forcé.

Relier l’acuité d’une résonance au facteur de qualité.

Déterminer la pulsation propre et le facteur de qualité à partir de graphes expérimentaux d’amplitude et de phase.

Mettre en œuvre un dispositif expérimental visant à caractériser un phénomène de résonance.

En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.

Table des matières

1 Le régime sinusoïdal forcé 2

1.1 Exemple du circuit RC série . . . 2

1.2 Le régime forcé . . . 2

2 La notation complexe pour l’étude des signaux 3 2.1 Rappel mathématique sur les nombres complexes . . . 3

2.2 L’amplitude complexe d’un signal . . . 4

2.3 Dérivations et intégrations en notations complexes. . . 4

3 Les impédances 4 3.1 Définition . . . 4

3.2 Impédance des dipôles usuels . . . 5

4 Lois de l’électrocinétique en régime sinusoïdal forcé 6 4.1 Lois de Kirchhoff . . . 6

4.2 Association d’impédances . . . 7

4.3 Ponts diviseurs . . . 8

4.4 Le théorème de Millmann . . . 9

5 Étude du régime forcé du circuit RC 9 5.1 Position du problème . . . 9

5.2 Détermination de l’amplitude complexe . . . 9

5.3 Utilisation de la fonction de transfert . . . 11

6 Étude des phénomènes de résonance du circuitRLC 12 6.1 Position du problème et mise en évidence expérimentale de la résonance . . . 12

6.2 La résonance en tension . . . 12

6.3 La résonance en intensité . . . 14 Dans les premiers chapitres d’électricité ou de mécanique, nous avons toujours étudié les régimes transi- toires entre deux régimes constants. Mais que se passe-t-il lorsque le régime d’excitation n’est pas constant, mais qu’il dépend du temps ? C’est la question que nous allons traiter dans ce chapitre en étudiant en détail le régime sinusoïdal forcé.

1 Le régime sinusoïdal forcé

1.1 Exemple du circuit RC série

Étudions le circuit électrique de la figure 1.

R i

e(t) =e₀cosωt C U_C(t) U_R(t)

Fig. 1 – Un générateur de tension sinusoïdale e0cosωtest branché sur un condensateur initialement déchargé en série avec une résistance.

Remarque :Le signal d’entrée est un cosinus. Cela n’empêche pas de parler de régime « sinu- soïdal » car, pour des signaux temporels, les deux sont équivalents quitte à modifier l’origine des temps.

Relations des dipôles : . loi d’Ohm U_R(t) =Ri(t) ;

. relation du condensateur i(t) = dq

dt(t) =CdU_C dt (t).

Loi des mailles : e(t) =U_R(t) +U_C(t) .

Équation différentielle : Par substitution, on trouve au final l’équation différentielle dU_C(t)

dt + 1

τU_C(t) = e₀

τ cosωt (1.1)

avec τ =RC.

Forme de la solution générale de l’équation :

. Solution homogène : U_SH(t) =Kexp(−t/τ) avec K une constante ;

. Solution particulière :le second membre de l’équation est une sinusoïde de pulsationω, ainsi la théorie générale des équations différentielles implique que la solution particulière est une fonction sinusoïdale de même pulsation, d’amplitude différente et éventuellement déphasée. On note

U_SP(t) =Ucos(ωt+ϕ)

avec U etϕdes constantes que nous ne cherchons pas à déterminer pour le moment.

. Solution générale :au final, la solution de l’équation différentielle (1.1) est de la forme

U_C(t) =U_SH(t) +U_SP(t) =Kexp(−t/τ) +Ucos(ωt+ϕ). (1.2) 1.2 Le régime forcé

La solution (1.2) est une somme de deux fonctions du temps :

. la partie exponentielle représente le régime transitoire que nous avons déjà étudié en détail dans les chapitres précédents. En particulier, nous savons que pour t >5τ, cette fonction est quasiment nulle et nous pouvons la négliger ;

. la partie sinusoïdale représente le régime permanent, au sens où cette fonction ne diminue pas d’am- plitude en fonction du temps.

Définition. Lerégime sinusoïdal forcécorrespond au régime permanent d’un système physique lorsque l’élément excitateur est de forme sinusoïdale. Ce régime est toujours établi après la disparition d’un régime transitoire.

Expérience 1 : Le régime forcé du circuitRC.

En pratique, on suppose toujours que le régime transitoire est suffisamment court pour pouvoir être négligé.

Remarque :L’étude des régimes transitoires a déjà été réalisée précédemment. Pour les sys- tèmes d’ordre 1, on renvoie à la lecture du chapitre E3 sur les circuits linéaires du premier ordre. Pour les systèmes d’ordre 2, le régime transitoire sera de la forme de ceux décrits dans le chapitre S4 précédent sur les oscillateurs amortis.

Propriété.Considérons un système linéaire dont le signal d’entrée est de la forme

e(t) =e0cosωt (1.3)

avec e₀ l’amplitude du signal d’entrée et ω sa pulsationimposée par l’opérateur.

Alorsen régime sinusoïdal forcé, la théorie générale des équations différentielles linéaires impose que les différents signaux mesurables en sortie seront tous des signaux sinusoïdaux de même pulsation et de la forme

s(t) =Ucos(ωt+ϕ) (1.4)

avecU l’amplitude du signal de sortie etϕle déphasage du signal de sortie par rapport au signal d’entrée.

L’objectif d’un problème en régime sinusoïdal forcé est de trouver ces deux constantes.

Attention, comme nous l’avons constaté expérimentalement, ces constantes dépendent de la pulsationω.

Le régime sinusoïdal permet d’étudier tous les régimes forcés des systèmes linéaires. En effet, si le signal d’entrée n’est pas sinusoïdal, le traitement par le théorème de Fourier permet de le décomposer en une somme de signaux sinusoïdaux, et donc de lui appliquer les règles que nous allons décrire dans ce chapitre.

En cours de mathématique, plusieurs méthodes ont étés décrites pour trouver les constantes U et ϕ.

On peut par exemple injecter cette solution dans l’équation différentielle pour en déduire des équations sur ces constantes ou, de manière équivalente, utiliser une méthode complexe. Dans le cadre de notre étude, nous présentons la méthode standard en physique, qui consiste à formaliser cette méthode complexe sur les systèmes électriques et mécaniques.

2 La notation complexe pour l’étude des signaux

2.1 Rappel mathématique sur les nombres complexes Le module d’un nombre complexez=a+ibvaut |z|=√

a²+b². L’argumentφd’un nombre complexe z=a+ibvaut φ= arctan(b/a). Ces résultats se retrouvent géométriquement par une étude dans le plan complexe. Avec ces notations, le nombre complexe peut s’écrirez=|z|e^iφ.

=z

<z O

|z|=

√ a² +b² z b=|z|cosφ

a=|z|cosφ φ

Le module d’une fraction z1/z2 vaut le rapport des modules|z₁|/|z₂|. L’argument d’une fractionz1/z2

vaut argz₁ - argz₂.

2.2 L’amplitude complexe d’un signal

Définition. Lors de l’étude des signaux, on note j le nombre complexe tel que j²=−1 .

Application 1 : Quelle est la notation exponentielle du nombrej? Et celle de1/j?

On utilise cette notation pour ne pas confondre ce nombre complexe avec le courant électrique, noté généralement i.

Propriété.Prenons la fonction réelle u(t) = Ucos(ωt+ϕ). L’application de la formule mathématique d’Euler implique que u(t) est la partie réelle d’une exponentielle complexe soit

Ucos(ωt+ϕ) =<Ue^j(ωt+ϕ) .

En s’appuyant sur la propriété précédente, plutôt que de manipuler des fonctions sinusoïdales, on utili- sera toujours la forme exponentielle complexe, plus simple à manipuler grâce à la propriété de l’exponentielle e^ae^b = e^a+b.

Définition. Soit le signal physique u(t) =Ucos(ωt+ϕ). Sa notation complexe est U(t) =Ue^jϕe^jωt . On note l’amplitude complexedu signalu(t)

U =Ue^jϕ . À partir de l’amplitude complexe, on déduit

. l’amplitude réelle du signal U =|U| ; . la phasedu signal ϕ= argU . Le soulignement permet de ne pas oublier que l’on manipule des grandeurs complexes.

Remarque : Si le signal est un sinus au lieu d’un cosinus, cela rajoute un déphasage de π/2 dans l’exponentielle qui ne change rien au raisonnement global.

Propriété.Les deux inconnuesU etϕde la solution du régime forcée (1.4) sont contenues dans la grandeur complexeU. L’objectif d’une étude d’un oscillateur forcé est donc de trouver cette grandeur.

2.3 Dérivations et intégrations en notations complexes Calculons la dérivée du signal complexe U(t). On a

dU

dt(t) = d dt

Ue^jωt=Ude^jωt

dt =U jωe^jωt=jωU(t).

Propriété.La dérivation du signal complexe U(t) correspond à une multiplication par jω.

Cette propriété permet de simplifier grandement tous les calculs de dérivée, et même d’intégrales.

Application 2 : Comment manipuler une dérivée d’ordre 2 ? Et une intégration ?

3 Les impédances

3.1 Définition

Une impédanceest une grandeur physique définie comme un rapport de proportionnalité entre deux grandeurs physiques dont le produit a une signification énergétique.

Définition. Enélectricité, on définitl’impédanceZ d’un dipôle comme le rapport entre la tensionU(t) et le couranti(t) en convention récepteur, soit laloi d’Ohm généralisée en régime sinusoïdal forcé

U(t) =Z i(t) .

L’impédance électrique Z a la dimension d’une résistance, l’unité de son module est l’ohm. On définit l’admittance Y par la relation Y = 1

Z.

Z

i(t) U(t)

Fig. 2 – Une impédance en convention récepteur.

Le régime sinusoïdal forcé en électricité est donc l’étude des tensions ou courants en notation complexe.

La notion d’impédance permet d’exprimer toutes les grandeurs électriques en notation complexe, et donc permet l’étude des régimes sinusoïdaux forcés.

Propriété.Comme pour les résistances, l’impédance

. Z= 0 impose une tension nulle quel que soit le courant, c’est un fil;

. |Z| →+∞ impose un courant nul quelle que soit la tension, c’est uninterrupteur ouvert.

3.2 Impédance des dipôles usuels

ILes résistances

On a en régime réel la loi d’Ohm U(t) =Ri(t), soit en régime complexe, on a donc U(t) =Ri(t).

Propriété.L’impédance Z_R d’une résistanceR vaut Z_R=R . Déphasage : Si U_R(t) = Ue^jωt, on a donc i_R(t) = U

Re^jωt. Il n’y a pas de déphasage entre courant et tension. C’est dû au fait que l’impédance d’une résistance est réelle.

Le courant traversant une résistance et la tension à ses bornes sont en phase.

ILes condensateurs

On a en régime réel la loi i(t) =CdU

dt(t), soit en régime complexei(t) =CdU

dt (t) =jCωU(t).

Propriété.L’impédance ZC d’un condensateur C vaut Z_C = 1

jCω .

Déphasage : SiUC(t) =Ue^jωt, on a donci_C(t) = U

Z_Ce^jωt = jCωUe^jωt = CωUe^j(ωt+^π₂). Il a un dé- phasage de π/2 entre courant et tension. C’est dû au fait que l’impédance d’un condensateur est un imaginaire pur.

Le courant traversant un condensateur est en avance de phase de π

2 par rapport à la tension

à ses bornes.

=z

<z O

U_C(t) i_C(t)

ωt

Fig. 3 – Schématisation dans le plan complexe de la tension aux bornes d’un condensateur et du courant le traversant.

Comportement fréquentiel : Pour un condensateur d’impédanceZ_C = 1

jCω, on a

. aux basses fréquences, soit ω → 0, il vient |Z_C| → +∞, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert;

. aux hautes fréquences, soitω →+∞, il vient|Z_C| →0,le condensateur est équivalent à un fil.

Remarque :Le régime basses fréquences en régime forcé est équivalent au régime permanent en régime temporel. En effet, un signal de fréquence nulle correspond bien à un signal constant.

ILes inductances

On a en régime réel la loi U(t) =Ldi

dt(t), soit en régime complexe U(t) =Ldi

dt(t) =jLωi(t).

Propriété.L’impédance Z_L d’une bobine L vaut Z_L=jLω .

Déphasage : Si UL(t) = Ue^jωt, on a donc iL(t) = U

Z_Le^jωt = U

jLωe^jωt = U

ωLe^j(ωt−^π₂). Il a un dépha- sage de π/2 entre courant et tension. C’est dû au fait que l’impédance d’une bobine est un imaginaire pur.

Le courant traversant une inductance est en re- tard de phasede π

2 par rapport à la tension à ses bornes.

=z

<z O

U_L(t)

i_L(t) ωt

Fig. 4 – Schématisation dans le plan complexe de la tension aux bornes d’une bobine et du courant la tra- versant.

Comportement fréquentiel : Pour un condensateur d’impédanceZ_L=jLω, on a

. aux basses fréquences, soitω→0, il vient |Z_C| →0,l’inductance est équivalente à un fil; . aux hautes fréquences, soit ω → +∞, il vient |Z_C| → +∞, l’inductance est équivalent à un

interrupteur ouvert.

ILes impédances en mécanique

On utilise les équivalence électriques et mécaniques décrites en fin de chapitre précédent.

Électricité Mécanique Impédance mécanique

Capacité 1/C Raideur du ressort k k

jω RésistanceR Coefficient de frottement λ λ

InductanceL Masse m jmω

4 Lois de l’électrocinétique en régime sinusoïdal forcé

L’intérêt des impédances est qu’elles vérifient la loi d’Ohm. Ainsi, tout se passe en régime sinusoïdal forcé comme si tous les dipôles étaient des résistances. Les lois de l’électricité en continu des chapitres E1 et E2 se retrouvent donc toutes.

4.1 Lois de Kirchhoff

Les lois de Kirchhoff restent vraies dans le cadre de l’ARQS (voir chapitre E1), c’est-à-dire qu’on peut négliger les phénomènes de propagation des courants et tensions électriques. Théoriquement, cela impose une fréquence limite dépendant de la vitesse de propagation et de la taille du circuit. En pratique, cette fréquence sera toujours beaucoup plus grandes que les fréquences utilisées.

Propriété.La loi des mailles et laloi des nœuds restent valables en régime sinusoïdal forcé dans le cadre de l’ARQS.

4.2 Association d’impédances

IAssociation en série

Considérons deux impédances Z₁ et Z₂ en série, donc parcourues par un même courant i(t). On note U(t) la tension aux bornes des deux impédances.

Z1 i(t) Z2

U1(t) U2(t) U(t)

On a par la loi d’Ohm U₁(t) = Z₁ i(t) et U₂(t) = Z₂ i(t). Par ailleurs, par définition, il vient U(t) = U1(t) +U2(t) et donc on a U(t) = (Z1+Z2)i(t). Tout se passe donc comme si U(t) était la tension aux bornes d’une impédance équivalenteZeq.

Propriété.En série, les impédances s’ajoutent

Zeq=Z1+Z1 .

Application 3 : Que vaut l’impédance d’une résistanceR en série avec un condensateurC?

IAssociation en parallèle

Considérons deux impédancesZ1etZ2 en parallèles, donc ayant une même tensionU(t) à leurs bornes.

On note i(t) le courant total parcourant le dispositif.

Z1

Z2

U(t)

i(t) i₁(t)

i₂(t)

On a par la loi d’Ohm U(t) = Z1 i1(t) et U(t) = Z2 i2(t). Par ailleurs, par la loi des nœuds, il vient i(t) =i₁(t) +i₂(t) = 1

Z₁ + 1 Z₂

!

U(t). Tout se passe donc comme siU(t) était la tension aux bornes d’une impédance équivalenteZ_eq.

Propriété.En parallèle, les inverses des impédances s’ajoutent 1

Z_eq = 1 Z₁ + 1

Z₂ .

Application 4 : Quelle est l’impédance équivalente de l’ensemble ci-dessous.

R

L

C

4.3 Ponts diviseurs

Les ponts diviseurs restent valables en régime sinusoïdal forcé et ils vont prendre une grande importance dans les études électriques.

ILe pont diviseur de tension

On est confronté à la situation de la figure 5 où U(t), Z₁ et Z₂ sont connus et on cherche U₂(t) (ou U₁(t)). Les deux impédances sont en série, on a donc U(t) = (Z₁ +Z₂)i(t) et de même U₂(t) = Z₂ i(t).

Ainsi, i(t) = U(t)

Z₁+Z₂ = U₂(t) Z₂ .

Propriété.Lepont diviseur de tensionindique que U1(t) = Z₁

Z₁+Z₂U(t) et U2(t) = Z₂

Z₁+Z₂U(t) . Z₁ i(t) Z₂

U₁(t) U₂(t) U(t)

Fig. 5– Le pont diviseur de tension.

Application 5 :Quelle est l’expression de la tensionUL(t) dans le circuit ci-dessous en fonction de la tension U(t)?

R L

U_L(t) U(t)

ILe pont diviseur de courant

On est confronté à la situation de la figure 6 où i(t), Z₁ et Z₂ sont connus et on cherche i₂(t) (ou i1(t)). Les deux impédances sont en parallèle, on a donc U(t) =Zeq i(t) avec Zeq = Z₁ Z₂

Z₁+Z₂ et de même U(t) =Z2 i2(t). Ainsi,U(t) = Z₁ Z₂

Z₁+Z₂i(t) =Z2 i2(t).

Propriété.Lepont diviseur de courant indique que i1(t) = Z₂

Z₁+Z₂i(t) et i2(t) = Z₁

Z₁+Z₂i(t) .

Z1

Z₂ U(t)

i(t) i₁(t)

i₂(t)

Fig. 6 – Le pont diviseur de courant.

4.4 Le théorème de Millmann

On cherche le potentiel électrique V à un nœud du circuit comme sur le schéma ci-dessous.

Z₃

V3

Z4

V4

Z1

V1

Z₂

V2

V

Les potentiels affichées correspondent aux tensions par rapport à la masse du système.

On applique la loi d’Ohm sur chaque résistance. D’où, en prenant comme convention que les courants se dirige vers le nœud, il vientik= (Vk−V)/Zk pour k= 1,2,3,4.

On part ensuite de la loi des nœuds ^P4_k=1i_k = 0 avec la définition des courants donnée à la question précédente. Il vient la loi des nœuds en tension

V −V1

Z1

+V −V2

Z2

+V −V3

Z3

+V −V4

Z4

= 0. On isole ensuiteV dans l’expression précédente

V

4

X

k=1

1 Zk

−

4

X

k=1

V_k Rk

= 0 d’où le théorème de Millmann

V = P4

k=1

Vk

Zk

P4 k=1

1 Z_k

.

Ce théorème est très utile en électronique. Toutefois, il n’est pas au programme, son utilisation nécessite donc de reproduire les étapes de démonstration explicitées ci-dessus.

Ce théorème se généralise à un nombre quelconque de dipôles.

5 Étude du régime forcé du circuit RC

5.1 Position du problème

Reprenons le problème du circuit RC étudié en début de chapitre figure 1.

On étudie la tension aux bornes du condensateur en régime sinusoïdal forcé. Nous supposons donc que le régime transitoire est achevée. Ainsi, on aUC(t) =U0cos(ωt+ϕ).

En notations complexes, on a

e(t) =e₀e^jωt=e e^jωt et U_C(t) =U₀e^jϕe^jωt=U_C e^jωt. On cherche les constantesU₀ etϕcontenue dans la grandeur complexeU_C.

5.2 Détermination de l’amplitude complexe IÀ partir de l’équation différentielle

Établir la solution du régime forcé à partir de l’équation différentielle :

1. établir l’équation différentielle à l’aide de théorèmes physiques et la mettre sous forme canonique ; 2. passer l’équation en complexe :

(a) remplacer cosωt(ou cosωt) par e^jωt; (b) remplacer les dérivées temporelles parjω;

(c) remplacer les signaux temporels inconnuss(t) par leurs équivalents complexesse^jωt; 3. simplifier par e^jωt et extraire sen fonction des paramètres du problèmes ;

4. prendre la partie réelle despour obtenir l’amplitude et l’argument pour obtenir la phase des(t).

Repartons de l’équation (1.1)

dU_C(t)

dt + 1

RCU_C(t) = e₀

RC cosωt que nous pouvons réécrire en grandeurs complexes

dUC(t)

dt + 1

RCU_C(t) = e₀ RCe^jωt soit

jωU_Ce^jωt+ 1

RCU_Ce^jωt= e₀ RCe^jωt. On peut isoler U_C et l’on constate que

U_C = e₀ 1 +jRCω . IÀ partir du circuit électrique

Établir la solution du régime forcé à partir de l’équation différentielle :

1. sur le schéma électrique, sur lequel apparaissent les courants et tensions avec les bonnes conventions, remplacer les dipôles électriques par leurs impédances ;

2. réaliser des impédances équivalentes pour pouvoir réaliser un pont diviseur pour obtenirs(t) ; 3. prendre la partie réelle despour obtenir l’amplitude et l’argument pour obtenir la phase des(t).

Reprenons le circuit de la figure 1 que nous réécrivons en terme d’impédances.

ZR

Z_C

e(t) UC(t)

Fig. 7 – Représentation du circuit de la figure 1 directement en grandeurs complexes à l’aide des impédances.

On reconnaît un pont diviseur de tension, soit U_C(t) = ZC

ZC+ZR

e(t) = 1/(jCω)

1/(jCω) +Re(t) = 1

1 +jRCωe(t)

soit en simplifiant par e^jωt pour se ramener uniquement aux amplitudes complexes, il vient à nouveau UC = e0

1 +jRCω .

Cette méthode est beaucoup plus rapide que la précédente, car l’établissement de l’équation différentielle est un raisonnement qui peut prendre du temps.

ILa fonction de transfert

Définition. La fonction de transfertd’un système H(ω) est définie par H(ω) = s(t)

e(t) = s e

avec s(t) le signal complexe de sortie du système (s son amplitude complexe) et e(t) le signal complexe d’entrée du système (eson amplitude complexe).

On appellegain la fonction définie par le module de la fonction de transfert G(ω) =|H|(ω) .

Remarque :Comme les signaux sont juste une amplitude complexe multipliée par le facteur e^jωt, la fonction de transfert se réduit au rapport des amplitudes complexes avec les exponen- tielles se simplifie. Cela est possible car toutes les grandeurs oscillent à la même pulsation, ce qui est imposé par le fait que nous cherchons des solutions particulières d’équations différentielles avec second membre sinusoïdale.

La fonction de transfert contient toutes les informations recherchées sur la phase et l’amplitude de UC. En effet, dans le problème du circuitRC, le signal d’entrée est le signale(t) tandis que le signal de sortie est le signalU_C(t), soit donc U_C =H(ω)e₀=H(ω)e₀.

Ainsi, à l’aide des calculs précédents, on a montré que la fonction de transfert du circuit RC vaut Dans le circuit RC, on a

H(ω) = 1 1 +j ω

ω₀ où l’on a poseω0 = 1

RC. On constate que cette grandeur est bien une fonction de la pulsation ω.

5.3 Utilisation de la fonction de transfert On sait que U_C =U₀e^jϕ =H(ω)e₀.

IAmplitude du signal de sortie Propriété.On a par définition

U₀ =|H(ω)|e₀ .

L’amplitude du signal de sortie dépend de la pulsation du signal d’entrée.

On définitgain la norme de la fonction de transfert|H(ω)|.

On peut calculer le gain qui vaut

|H(ω)|= 1

1 +j ω ω₀

= 1

s 1 +ω²

ω₀² .

IDéphasage du signal de sortie par rapport au signal d’entrée

La phase du signal d’entrée e(t) valaitωt. Par construction, celle du signal de sortie vautωt+ϕ. Ainsi, ϕreprésente bien le déphasage entre le signal d’entrée et le signal de sortie.

Propriété.On a par définition

ϕ= argH(ω) . Le déphasage dépend de la pulsation du signal d’entrée.

On peut calculer l’argument de la fonction de transfert en utilisant le rappel sur les nombres complexes du paragraphe 2.1, c’est-à-dire que la tangente de la phase d’un nombre complexe vaut la partie imaginaire divisée par la partie réelle, soit

argH(ω) = arg 1−arg

1 +j ω ω0

=−arctan ω ω0

.

ISolution finale

Ainsi, avec un signal d’entrée de pulsationωfixée et choisie par l’opérateur, on peut calculer la fonction de transfert puis, à l’aide du module et de l’argument de celle-ci, on peut en déduire l’amplitude et le dé- phasage du signal de sortie par rapport au signal d’entrée. On peut manipuler les fonctions correspondantes sur l’animation[1].

Schématiquement, on a

e(t) =e0cosωt Circuit RC s(t) =|H(ω)|e₀cos (ωt+ argH(ω))

6 Étude des phénomènes de résonance du circuit RLC

6.1 Position du problème et mise en évidence expérimentale de la résonance On souhaite maintenant étudier le circuitRLC série représenté figure 8.

À l’aide de l’animation[2], on constate que, pour certaines valeurs des composantsR,LetC, l’amplitude de la tension de sortie peut être supérieure à celle de la tension d’entrée.

Nous allons réaliser une étude détaillée en régime sinusoïdal forcé pour le mettre en évidence.

i(t)

R L C

e(t) =e0cosωt

uC(t) uR(t)

Fig. 8 – Un circuitRLC série est alimenté par une tension sinusoïdale. On s’intéresse à la tension aux bornes du condensateur ou aux bornes de la résistance.

6.2 La résonance en tension

On s’intéresse à la tension aux bornes du condensateur u_C représentée figure 8.

ILa fonction de transfert du système

À partir de la figure 8, on passe directement en régime forcé et, à l’aide d’un pont diviseur de tension, on obtient immédiatement

U_C(t) = ZC

Z_C+Z_R+Z_Le(t) soit, en remplaçant les impédances par leurs valeurs

U_C(t) = 1/(jCω)

1/(jCω) +R+jLωe(t).

On met ce terme sous la forme d’une fonction rationnelle en ω, et il vient H(ω) = U_C(t)

e(t) = 1

1− ω² ω²₀

! +j1

Q ω ω₀

. (6.1)

Par identification, on constate que

Q= 1 R

s L

C et ω0= 1

√ LC . On retrouve le facteur de qualité et la pulsation propre de l’oscillateur amorti.

Comme pour l’étude du circuit RC, schématiquement, on a

e(t) =e0cosωt Circuit RLC s(t) =|H(ω)|e₀cos (ωt+ argH(ω))

Les différentes fonctions sont tracées figure 9. À partir du graphe du déphasage, on peut en mesurer la pulsation propre du système.

On constate sur la relation (6.1) que, pour ω = ω₀, la fonction de transfert est un imaginaire pur, le déphasage entre la tension aux bornes du condensateur et la tension aux bornes du générateur vaut alors

−π 2.

ω G(ω) =|H(ω)|

Q= 0.6

0

Q= 1.5 Q= 3

ω₀ 1

ω argH(ω)

−π 2

−π

Q= 0.6 0

Q= 1.5 Q= 3 ω₀

Fig. 9 – Effet du facteur de qualité Q sur l’allure de la réponse en tension du circuit RLC série. Selon sa valeur, un maximum existe ou non pour la tension aux bornes du condensateur. Ce maximum n’a pas lieu pour la pulsation propreω0. Par contre, le déphasage de −π/2a toujours lieu pour ω0.

ILe phénomène de résonance

Définition. Le phénomène derésonancecorrespond à l’existence d’une pulsationω_rtelle que l’amplitude du signal de sortie soit maximale.

La pulsation ω_r pour laquelle le signal de sortie est maximal est la pulsation de résonance.

Ce phénomène correspond à l’excitation du système à sa pulsation naturelle. Pour celle-ci, lors du régime transitoire, à chaque période, de l’énergie est accumulée par le système. Les phénomènes dissipatifs augmentent petit à petit avec l’amplitude des signaux. Au bout d’un moment, l’énergie stockée à chaque période correspond exactement à l’énergie dissipée durant la même période, ce qui permet une stabilisation du phénomène. Le nombre adimensionné Q traduisant le rapport des phénomènes oscillants et dissipatifs (cf chapitre S3), on comprend bien que celui-ci doit être proche de 1 pour observer un phénomène de résonance.

Remarque : Ce phénomène peut être très impressionnant, et dangereux, en mécanique. Le pont de Tacoma [3] filmé en résonance en est un exemple frappant. La résonance mécanique est un problème majeur à éviter dans les constructions. Les excitations régulières proviennent souvent de l’effet du vent sur la construction.

Pour calculer la pulsation de résonance, il faut commencer par calculer le gainG(ω) =|H(ω)|. En effet, la fonction de transfert étant le rapport de la tension d’entrée et de la tension de sortie, lorsque son module est maximal, la tension de sortie est d’amplitude maximale.

On a, en posant x= ω ω0

,

G(x) = 1

s

(1−x²)²+ 1 Q²x²

.

Cette fonction est maximale lorsque son dénominateur est minimal, et en particulier lorsque la fonction sous la racine est minimale. On cherche donc le minimum de la fonctionf(x) = 1−x²²+ 1

Q²x².

On calcule donc

0 = df(x) dx

_x=x

r

= 21−x²_r d(1−x²) dx

_x=x

r

+ 2x_r Q²

= −41−x²_rx_r+ 2xr

Q² . En simplifiant, il faut donc résoudre

21−x²_r= 1 Q² soit, en ne gardant que la solution positive

x_r = s

1− 1 2Q² .

Propriété.On constante que le phénomène de résonance en tension n’apparaît que siQ >1/√

2. De plus, la pulsation de résonance est distincte de la pulsation propre.

ILa bande passante

Définition. La bande passante[ω₁, ω₂] d’un système correspond à l’ensemble des pulsations telles que ω∈[ω₁, ω₂] =⇒ G(ω)> G_max

√2 .

Plus le facteur de qualité est élevé, plus la bande passante est petite. On parle de résonance aïgue.

Remarque :On utilise un facteur1/√

2sur la bande passante pour se ramener aux grandeurs énergétiques. En effet, la puissance est proportionnelle au carré du signal, donc à deG²(ω). La bande passante correspond donc à l’ensemble des fréquences pour lesquelles au moins la moitié de l’énergie maximale transmissible passe du générateur vers la grandeur étudiée.

Remarque : Les pulsations de résonance se calculent dans ce cas, mais le résultat est peu intéressant comparativement à la technicité du calcul.

Les différentes notions sont visualisée figure 10. Il faut être capable de mesurer la pulsation de résonance sur un graphique de ce type. Si le graphe n’a pas de résonance, c’est que Q <1/√

2.

6.3 La résonance en intensité

On s’intéresse à la tension aux bornes du condensateur u_R représentée figure 8. Ainsi, on a la mesure de l’intensité dans le circuit en utilisant la loi d’Ohm.

ILa fonction de transfert du système

À partir de la figure 8, on passe directement en régime forcé et, à l’aide d’un pont diviseur de tension, on obtient immédiatement

UR(t) = Z_R

Z_C+Z_R+Z_Le(t) soit

H(ω) = U_R(t)

e(t) = 1

1 +jQ ω

ω₀ −ω₀ ω

. (6.2)

avec toujoursQ= 1 R

rL

C etω₀ = 1

√ LC .

ω(rad·s⁻¹) G(ω)

0 ω_r

G_max

ω₂ Gmax/√

2

ω₁

∆ω

Fig. 10– Pulsation propre et bande passante pour la résonance en tension. Plus le facteur de qualité est grand, plus la résonance est aïgue.

IPulsation de résonance et bande passante

Commençons par calculer le gain en tension, on a, en posant x= ω ω₀, G(x) =|H(x)|= 1

s 1 +Q²

x− 1

x 2 .

Cette fonction est maximale quand son dénominateur est minimal. En particulier, quand

x−1 x

2

est minimal. Cette fonction positive atteint la valeur nulle pour x= 1, on a donc x_r= 1.

Pour calculer la bande passante, commençons par remarquer queG_max=G(x_r) = 1. Les pulsations de coupures sont donc données par l’équation

G_max

√

2 = 1

s 1 +Q²

x−1

x 2 ,

soit par l’équation polynômiale

2 = 1 +Q²

x− 1 x

2

que l’on peut écrire comme

x− 1 x =±1

Q

avec le symbole± permettant de manipuler les deux équations simultanément.

On arrive aux deux polynômes du second degré x²± 1

Qx−1 = 0 de discriminants ∆_± = 1

Q² + 1>0. Il y a donc quatre solutions avec toutes les combinaisons possibles de signes

x= 1 2 ±1

Q± s 1

Q² + 1

! .

On ne conserve que les deux solutions physiquement acceptables, à savoir les racines positives, et donc x₁ = 1

2 −1 Q+

s 1 Q² + 1

!

et x₂ = 1 2

1 Q +

s 1 Q² + 1

! .

La largeur de la bande passage ∆x est donnée par l’écart entre les deux pulsations de résonance, à savoir ici ∆x=x₂−x₁ = 1

Q.

Propriété.La résonance en intensité a toujours lieu, quelle que soit la valeur de Q, pourω_r =ω₀. Pour la résonance en intensité, on peut montrer que la bande passante vaut ∆ω = ω0

Q .Ainsi, plus le facteur de qualité est élevé, plus la résonance est aïgue.

On arrive au final aux courbes de la figure 11.

ω

|H(ω)|

0

Q= 1.5 Q= 3 Q= 0.6

ω0 =ωr

1

ω argH(ω)

−π 2 π 2

Q= 0.6

0

Q= 1.5 Q= 3

ω0

Fig. 11– Effet du facteur de qualitéQsur l’allure de la réponse en intensité du circuitRLC série. La résonance a toujours lieu pour la pulsation propreω0. À la résonance, les signaux sont en phase.

Références

[1] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Elec/Alternatif/

transfert1RLC.php

[2] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Elec/Alternatif/

transfert2RLC.php

[3] https://www.youtube.com/watch?v=Rmfl2kFeNPM