D370 – Une part de Brie
Problème proposé par Michel Lafond
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Posons O' : milieu du diamètre AB . Le fromage est donc coupé selon un angle OCO' = Ø . Angle du plan de base (xOy) avec le plan de coupe (ABC).
Posons la part de brie sur sa base demi-ronde ; et parallèlement au diamètre AB , à une distance x de AB , on peut couper une infinité de tranches fine verticales d'épaisseur dx .
Ces parts ressembleront à un parallélépipède rectangle de côtés : 2y , x.tanØ , dx . y = ²V(r² - x² ) . x & y sont des variables .
Le volume d'une quelconque de ces tranches sera donc : dV = 2.²V(r² - x²) . x.tanØ . dx . Sortons r² du radical :
dV = 2r.tanØ.²V(1 - x²/r²) . x.dx . ( ²V est la racine carrée )
Posons x/r = sin t . Et t est un angle variant de 0 à pi/2 balayé par un rayon O'M . ( M appartenant à l'arc AB ) .
On effectue un changement de variable x --> t . x = r.sin t & dx = r.cos t .dt
Maintenant : dV = 2r.tanØ .²V(1 - sin²t).r.sin t . r.cost dt . dV = 2r³ . tanØ . cos²t . sin t . dt En intégrant de 0 à pi/2 , et avec U = cos²t , dU = - sin t . dt
V = Int0pi/2 { 2r³ . tanØ . cos² t . sin t . dt } = [ - 2r³/3 . tan Ø . cos³ t ] 0pi/2 = 2/3 r³ tanØ . ( Intégration de 0 à pi/2 )
Mais comme h = r.tanØ ; et peu importe la valeur de r ; alors : V = 2/3 r² h
Comme le volume du Brie entier est VB = pi . r² h ; le rapport (petite part / Brie) : V / VB = 2 / 3pi . On a donc prélevé 21,22066 % du fromage . ( environ 1/5 ) .
On partage un Brie en deux parts par une coupe plane. [Voir Figure ci-contre]
Le plan de coupe est (ABC) où (AB) est un diamètre du disque supérieur et C le point du disque de base tel que CA = CB situé en avant.
Que représente la petite part en pourcentage ?
