Question 1 :
Quelle taille a le plus petit damier sur lequel il est possible de prendre, comme au jeu de dames, 10000 pièces adverses en une seule rafle ? Question 2 :
Même question avec 868, 1331 et 17971 pièces adverses.
Règles du jeu de dames : Le jeu se joue sur les cases foncées du damier. La prise d’une pièce adverse (pion ou dame) se fait en sautant diagonalement par-dessus à condition qu’une case vide soit derrière elle. Une pièce peut prendre en avant ou en arrière et changer de direction, si besoin, à chaque fois qu’une nouvelle prise est possible. Contrairement au pion, la dame peut prendre à distance et n’est pas obligée de s’arrêter juste derrière la pièce capturée. Durant la rafle, une pièce peut passer plusieurs fois sur une même case vide mais aucune pièce adverse ne peut être sautée deux fois. Les pièces capturées sont retirées du damier une fois la rafle entièrement terminée. Toutes les règles sont sur le site www.ffjd.fr.
Problème et solution proposés par Stéphane Rézel
Question 1 — Nous cherchons a(n), le maximum de pièces prenables en une rafle sur un damier de largeur n.
Les pièces situées au bord du damier sont imprenables, de même que la pièce centrale d’un « trèfle », c’est-à-dire de trois pièces groupées en V.
Pour les damiers de largeur impaire, soit aucun coin n'est jouable, soit les quatre le sont. À taille identique, ceux à coins jouables ont une case active de plus.
Nous observons qu’un simple pion peut y capturer un maximum de pièces adverses placées, suivant les conditions vues plus haut, en carré, sur toutes les cases des rangées les moins larges.
Tantôt la rafle débute et finit sur la deuxième case de bande, tantôt elle part d'un coin vers son opposé. Ce comportement se répète un nombre n impair sur deux.
Le maximum de pièces à prendre est plus précisément le carré de (n - 1)/2. Autrement dit : a(n) = a(2t+1) = t^2.
Comme nous cherchons à prendre 10000 pièces et que 10000 est le carré de 100, alors (n - 1)/2 = 100 d’où n = 201.
Le plus petit damier où il est possible de prendre en une seule rafle 10000 pièces adverses a une largeur de 201.
Nous avons exclu les damiers sans coin jouable car les pièces à prendre n’y occupent au plus que toutes les cases intérieures un rang sur deux, et sont donc au nombre de ((n - 1)/2)((n - 3)/2). D’où b(2t+1) = t^2 - t, avec b(n) le nombre record de pièces raflées en une fois sur un damier de ce type.
À valeur de n identique, nous avons bien b(n) < a(n).
La rafle finit tantôt sur la case en miroir de celle de départ, tantôt à l’opposé du même côté. Notons que le comportement se répète, là aussi, un nombre n impair sur deux.
Question 2 — 868, 1331 et 17971 ne sont pas des carrés entiers. Les rafles correspondantes ne sont donc pas les rafles les plus grandes d’un damier à quatre coins jouables.
Étude des damiers de largeur n paire :
L’agencement du maximum de pièces sans trèfle ni pièce au bord du damier est unique (figure ci-dessous). Voir la solution du problème J122. La grande rafle de la dame.
Ce maximum vaut (n/2)((n/2) - 1).
Dans cette répartition, les quatre cases adjacentes aux deux trictracs sont occupées. Or, même en commençant et en terminant la rafle sur les deux cases d’un même trictrac, il est impossible de ressortir du trictrac opposé si on y rentre.
C’est pourquoi, et comme Fabien Gigante l’a déjà prouvé en étudiant la position ci-dessous, il est impossible pour n = 10 d’avoir davantage que 19 pièces à prendre, c’est-à- dire mieux que (n/2)((n/2) - 1) - 1.
Notons la symétrie des pièces noires par rapport à la grande diagonale jouable. Quelques soient les variantes dans les prises, le départ et l’arrivée sont sur les deux moitiés opposées du damier. Pour n = 10, une recherche avec le logiciel Dam 2.2 v.7 de Harm Jetten donne comme cases de départ possibles les n°6, 11 et 16, en notation Manoury, et pour chacune d’entre elles les cases d’arrivée n°44, 49 et 50, et réciproquement.
En transposant cette position sur des damiers de largeur n = 14, n = 18 et a priori tout n de la forme 4t + 6, nous trouvons une rafle record ; contrairement aux autres damiers...
Étude des damiers de largeur n valant 4t + 8 :
Détermination du nombre maximum de pièces raflées pour n = 8 (généralisable à tout n égal à 4t + 8) :
Nous entendons par « case » une case sombre et jouable. Nous partons de la répartition unique de (n/2)((n/2) - 1) pièces noires prenables séparément, ici 12 pièces (figure 1), c’est-à-dire comme précédemment sans trèfle, ni pièce au bord du damier. Toutes les cases voisines de celles du bord sont occupées par une pièce adverse.
La rafle débute et finit forcément dans un trictrac, c’est pourquoi nous retirons une des pièces jouxtant le trictrac opposé.
La longueur théorique de la rafle passe de 12 à 11. Une des cases voisines de celles du bord est maintenant vide.
L’agencement des pièces impose toujours le début et la fin de la rafle. Ici en haut à gauche. Il est donc impossible de finir la rafle ailleurs et en particulier dans les coins inférieurs gauche et droit. C’est pourquoi, et pour tout damier de largeur 4t + 8, le nombre impair de pièces noires sur la rangée du bas rend irréalisable la prise de toutes les pièces de cette rangée.
Pour éviter cette impasse, tout en conservant 11 pièces à prendre, il faut déplacer l’une d’entre elles vers l’intérieur du damier. Une seconde case voisine de celles du bord est maintenant vide. Cela a aussi pour conséquence l’apparition d’un trèfle et donc d’une pièce imprenable.
Il est alors nécessaire de déplacer à son tour cette pièce imprenable et ainsi de suite jusqu’à trouver une disposition de 11 pièces noires, toutes séparément prenables, laissant deux cases vides voisines de celles du bord, dont une au moins est voisine d’un trictrac.
La position correspondante (figure 2) est unique, à la symétrie près, et n’impose plus le départ et la fin de la rafle.
Toutes les prises possibles partant de la case supérieure gauche forment un ensemble cantonné à la moitié supérieure droite du damier : Ces prises ne peuvent jamais atteindre la moitié inférieure gauche et ne peuvent pas constituer une partie de la rafle. De même pour la prise du coin inférieur gauche (figure 3).
Seules les autres possibilités de prises peuvent convenir mais nous identifions parmi elles au moins quatre impasses : deux aboutissent aux coins de la grande diagonale, et deux autres sont causées par l’impossibilité de continuer les prises au niveau des pièces groupées par deux (figure 4). Or, il est impossible d’avoir plus de deux impasses, constituant le début et la fin de la rafle. Nous en déduisons qu’il est impossible de rafler 11 pièces pour n = 8.
Compte tenu des rafles de 10 pièces illustrées plus bas, le nombre maximal de pièces prenables vaut donc (n/2)((n/2) - 1) - 2. Il diffère du maximum trouvé pour n = 4t + 6.
Dès n = 8, une des positions trouvées pour la rafle maximale est symétrique. Contrairement aux damiers avec n = 4t + 6, l’axe de symétrie passe par les deux trictracs.
Autre différence : la rafle débute et termine sur la même moitié du damier. Nous retrouvons donc, comme précédemment quand n était impair, un comportement identique un nombre n pair sur deux.
La position symétrique n’est pas la seule possible, mais elle est facilement transposable et donne des solutions pour n = 12, n = 16, n = 20 et pour tout n de la forme 4t + 8.
Le damier de largeur 4, trop petit, fait en effet exception.
Conclusion :
Nous avons : a(n) = (n/2)((n/2) - 1) - 1 avec n = 4t + 6 et a(n) = (n/2)((n/2) - 1) - 2 avec n = 4t + 8.
Ce qui donne : a(4t+6) = 4t^2 + 10t + 5 et a(4t+8) = 4t^2 + 14t + 10.
La résolution par encadrements successifs nous indique quelle équation s’applique ou se rapproche supérieurement le plus du nombre de pièces recherché et donne : a(4t+8) = 4t^2 + 14t + 10 = 868 avec t = 13 d’où n = 60.
a(4t+6) = 4t^2 + 10t + 5 = 1331 avec t = 17 d’où n = 74.
Pour 17971 pièces adverses à prendre, nous trouvons une valeur supérieure : a(4t+6) = 4t^2 + 10t + 5 = 18089 > 17971 avec t = 66 d’où n = 270.
La rafle recherchée est de 118 pièces plus courte que la rafle maximale sur un damier de largeur 270.
Le damier n = 269 suffit-il pour prendre 17971 pièces ?
a(269) = a(2t+1) = t^2, d’où t vaut 134 et a(269) vaut 17956. Le damier de largeur 269 est donc trop petit.
Remarque : a(n) est rarement un palindrome comme l’énoncé pouvait le suggérer.
Les plus petits damiers n X n sur lesquels il est possible de prendre, comme au jeu de dames, 868, 1331 et 17971 pièces adverses en une seule rafle sont respectivement de largeur n = 60, 74 et 270.
