Question 1
Une urne contient 8 boules bleues et deux boules rouges.
Un jeu consiste à tirer deux boules, l’une après l’autre sans remise.
a)Déterminer la probabilité pour que la seconde boule tirée soit bleue. (On notera, par exemple, B2 l’événement : « la seconde boule tirée est bleue ») (sur 2 points)
b) Déterminer la probabilité pour que les deux boules tirées soient de couleurs différentes.
(sur 2 points)
c)Déterminer la probabilité que la première boule tirée ait été rouge sachant que la seconde est bleue. (sur 2 points)
Une boule bleue rapporte 1 point et une boule rouge rapporte k points (où k est un nombre réel strictement supérieur à 1).
On note G le gain total d’un joueur résultant des deux boules.
d) Exprimer en fonction de k les valeurs possibles du gain G. (sur 1 points) e) Donner la loi de probabilité de G. (sur 1 points)
f) Déterminer, en fonction de k, l’espérance de gain puis calculer pour quelle valeur de k cette espérance est égale à 4 points. (sur 2 points)
On prendra pour toute la suite k = 6.
g) Tracer le graphe de la fonction de répartition de G. (sur 2 points)
On dit qu’un joueur gagne une partie si son gain est au moins égal à 3 points.
h) Montrer que la probabilité de gagner est environ égale à 0,37778. (sur 1 points)
50 joueurs jouent à ce jeu (avec bien sûr remise des boules dans l’urne avant que chaque joueur ne fasse sa partie)
i) Déterminer la probabilité pour qu’exactement un joueur sur deux gagne. (sur 2 points) j) Déterminer la probabilité pour que le nombre de joueurs à gagner soit compris entre 15 et 25 (15 et 25 compris) (sur 3 points)
Question 2
Calculer, étape par étape, en détaillant bien les calculs, les intégrales suivantes : I1 =
1
2 (2x – 3)e2xdx (sur 3 points)
I2 =
1
3 6
3x – 1 dx (sur 3 points)
I3 = dx
03319x² 2
(sur 3 points)
I4=
0
1 x² + 4x – 3
x + 4 dx (sur 3 points)
Question 3
Une personne engagée dans une société se voit offrir le choix entre deux formules différentes pour son augmentation mensuelle de salaire :
La première formule prévoit un salaire de 1000 euros le premier mois et une
augmentation de salaire de 6 euros par mois : 1000 euros le premier mois, 1006 le deuxième mois, 1012 le troisième mois, etc.
La seconde formule prévoit aussi un salaire initial de 1000 euros mais l´augmentation est une augmentation de 0,55% chaque mois.
a) Déterminer au bout de combien de mois le salaire mensuel prévu par la seconde formule dépassera pour la première fois celui prévu par la première formule. (sur 6 points)
b) Déterminer au bout de combien de mois le total des salaires cumulés, calculés en suivant la seconde formule, dépassera pour la première fois le total des salaires cumulés, calculés en suivant la première formule. (sur 6 points)
Question 4
On considère la suite (un) définie pour n 0 par : u0 = 8
un+1 = 3
5un – 3 pour n 0
a) Tracer, dans un repère allant de -9 à +9 en abscisses et en ordonnées : la droite d´équation y = 3
5x – 3 et la droite d´équation y = x,
puis déterminer graphiquement, en laissant les traits de construction, des valeurs approchées à 0,5 près des termes u1, u2, et u3 de cette suite. (sur 4 points)
b) Donner les valeurs exactes fractionnaires puis arrondies à 0,01 près des termes u1, u2, u3 et u4 de cette suite. (sur 2 points)
c)On admettra que la suite (un) est strictement décroissante et que tous ses termes sont plus grands que - 10.
Que peut-on en conclure quant à l´existence d´une limite éventuelle pour la suite (un) ? (Rappeler la propriété utilisée.)
d) Donner, sous la forme d´une fraction irréductible, p
q, la valeur vers laquelle la suite (un) semble converger. (sur 2 points)
e) On définit une suite (vn) en prenant, pour tout entier n 0 : vn = un – p
q (où p
q est la valeur proposée comme limite vraisemblable de la suite (un)).
Monter que (vn) est une suite géométrique et préciser sa raison. (sur 4 points)
f) Déterminer la limite de la suite (vn) lorsque l´entier n tend vers + et en déduire si (un) tend ou non effectivement vers la valeur p
q proposée comme limite. (sur 2 points)
Question 5
Pour toute valeur du paramètre k ] - 2
1 ; + [, on considère une fonction fk définie par sur IR par :
fk(x) = 2
2k+1 (x² – kx) ex.
On note Fk la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormé d´unité le cm.
Dans les questions a), b) et c) on ne s´intéressera qu´à la fonction f1 correspondant à la valeur 1 du paramètre k. On note alors S la surface située entre la courbe de f1 et l´axe des abscisses.
a) Déterminer l´aire de la surface S. (sur 2 points)
b) Déterminer le volume du cylindre de révolution engendré par la rotation de la surface S autour de l´axe des abscisses. (sur 2 points)
c) déterminer, à 0,01 cm près, la longueur de la partie de la courbe F1 située entre les abscisses 0 et 1. (sur 2 points)
Dans les questions d), e) et f), k peut être n´importe quel nombre supérieur à - 2 1.
d) Démontrer que chaque fonction fk admet deux extrema dont on donnera l´expression exacte des coordonnées en fonction de k. (Il se peut que l’expression de ces coordonnées ait un aspect un peu compliqué) (sur 3 points)
e) Tracer dans un même repère les courbes F-0,3 F0 et F3.
(Veiller à placer soigneusement les extrema ainsi que les points d´intersection des courbes avec les axes du repère) (sur 3 points)
f) Trouver graphiquement, ou par calcul ou par tout autre moyen (en expliquant rapidement la démarche utilisée) une valeur approchée à 0,1 près de la valeur du paramètre, pour laquelle la fonction fk présente une différence minimale entre l´ordonnée de son maximum et celle de son minimum. (sur 2 points)
