G 139 Antoine Verroken
1. G = D gagne ; P = D perd ;
(1 – y ) : probabilité que D gagne de H ; y : probabilité que H gagne de D (1 – x ) : probabilité que T gagne de D ; x : probabilité que D gagne de T
Séquence possibilités de recevoir probabilité le gros lot
T -H-T T H T
G G P x * (1 – y) * (1 – x) G G G x * (1 – y) * x P G G (1 – x) * (1 – y) * x
--- 2 * x * (1 – y) * (1 – x) + x^2 *(1 – y)
H -T-H H T H
G G P (1 – y) * x * y G G G (1 – y) * x * (1 – y) P G G y * x * (1 – y)
--- 2 * y * x * (1 – y) + x * (1 – y)^2 Probabilité de gagner le gros lot en prenant la séquence T-H-T :
2 * x * (1 – y) * (1 – x) + x^2 * (1 – y) > 2 * y * x (1 – y) + x * (1 – y)^2 ou 1 – x > y
Probabilité de gagner le gros lot en prenant la séquence H-T-H : 1 – x < y
ou la probabilité que H gagne de D doit être plus grande que la probabilité que T gagne de D.Comme H est le plus fort des trois joueurs,D a plus de chance de gagner le gros lot en prenant la séquence H-T-H.
2. D peut gagner (n + 1) parties en jouant (n + 1) parties ou (n + 2) parties ou … 2n parties.
Comme la probabilité de gagner (n + 1) parties est indépendante du nombre de parties qu’on joue,la probabilité de gagner au moins (n + 1) parties sera égale à la somme des probabilités des différents cas :
nombre probabilité de gagner (n + 1) parties par D
parties
n + 1 0.45^( n + 1 )
n + 2 0.45^( n + 1 ) * 0.55 *
[ ( n + 2 )! / ( n + 1 )! / 1! - ( n + 1 )! / ( n + 1 )! / 0! ] ‘
2n 0.45^( n + 1 ) * 0.55^( n – 1 ) *
[ ( 2*n )! / ( n + 1 )! / ( n – 1 )! – ( 2*n – 1 ) / ( n + 1 )! / ( n – 1 )! ] 3. Formule paragraphe 2 :
Exemple : 2n = 10 , nombre de parties jouées ( n + 4 ) = 9 D = diophante gagne ; H = hyppolite gagne
a. nombre de combinaisons de DDDDDDHHH est égal au coëfficiënt multinomi-
nal 9! / 6! / 3!
b. les résultats DDDDDDHHH DHDDDDDHH
DDHDDHDDH et les combinaisons des lettres noires sont déjà comptées dans les cas des nombre de parties (n+1),(n+2),(n+3) =8! / 6! / 2!
4. un programme Maple ( 7 ) donne :
nombre parties 2n probabilité que D gagne ( n + 1 ) parties
4 0.24148125
6 0.2552639062
8 0.2603807174
10 0.2615627007
12 0.2606850781
14 0.2586370829
Donc D a la plus grande probabilité de gagner au moins ( n + 1 ) parties en jouant
10 parties en total.
