E5903. Le coût minimal ***
Cent cartes numérotées de 1 à 100 sont alignées dans cet ordre sur une même rangée.
La permutation de deux cartes adjacentes coute un euro tandis que la permutation de deux cartes avec exactement k cartes placées entre elles est gratuite.
Déterminer le coût minimal du classement des cartes dans l’ordre inverse de 100 à 1 avec a) k = 3 et b) k = 4.
PROPOSITION Th Eveilleau PREMIER essai 75€ et 100€
AMÉLIORATION 50€ et 80€
1°) k=3
Nous allons grouper les cartes par paquets de quatre ainsi :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 93, 94, 95, 96 , 97 , 98, 99, 100 On ‘remonte’ de droite à gauche, gratuitement de 4 en 4 les nombres.
Choisissons comme exemple la suite de 1 à 12 = donnant 3 groupes de 4.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 9, 10, 11, 8
1, 2, 3, 12, 5, 6, 7, 4, 9, 10, 11, 8 1, 2, 3, 12, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 4 1, 2, 3, 12, 5, 6, 11, 8, 9, 10, 7, 4 1, 2, 11, 12, 5, 6, 3, 8, 9, 10, 7, 4 1, 2, 11, 12, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 3, 4 1, 2, 11, 12, 5, 10, 7, 8, 9, 6, 3, 4 1, 10, 11, 12, 5, 2, 7, 8, 9, 6, 3, 4 1, 10, 11, 12, 5, 6, 7, 8, 9, 2, 3, 4 1, 10, 11, 12, 9, 6, 7, 8, 5, 2, 3, 4 9, 10, 11, 12, 1, 6, 7, 8, 5, 2, 3, 4 9, 10, 11, 12, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4
Chaque groupe de 4 entiers peut être réordonné pour 3€, en uilisant le groupe immédiatement à sa droite.
Nous obtenons :
9, 10, 11, 12, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4
Pour chaque groupe, nous allons utiliser son groupe voisin de droite immédiat, pour le réordonner.
9, 10, 11, 12, 5, 6, 7, 8 9, 10, 11, 5, 12, 6, 7, 8 (coût 1€) 12, 10, 11, 5, 9, 6, 7, 8 (gratuit) 12, 11, 10, 5, 9, 6, 7, 8 (coût 1€) 12, 11, 10, 9, 5, 6, 7, 8 (coût 1€)
On recommence avec le groupe 5, 6, 7, 8 en utilisant son groupe voisin immédiatement à drotie.
Ainsi pour un coût de 3€, chaque groupe de 4 ayant un groupe voisin à sa droite va être réordonné.
Nous avons 24 tels groupes ayant un groupe voisin à droite avec les entiers de 1 à 100.
Coût de 72€ : 24*3=72.
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Restera le groupe de droite 1, 2, 3, 4 qui est juste à droite du groupe ordonné 8, 7, 6, 5, 1, 2, 3, 4 En utilisant le 5, on va le remttre en ordre pour un coût de 3€.
5, 1, 2, 3, 4 1, 5, 2, 3, 4 (1€) 4, 5, 2, 3, 1 (gratuit) 4, 5, 3, 2, 1 (1€) 5, 4, 3, 2, 1 (1€)
Avec 12 nombres de 1 à 12, soit trois groupes de quatre, le coût est de 9€ : 12 = 3*3
ET avec 100 cartes, soit 25 groupes de quatre, le rétablissement de l’ordre coûte 25*3 = 75€.
2°) k=4
Nous adopterons la même stratégie que précédemment mais avec des paquets de cinq.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ..., 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100
On ‘remonte’ de droite à gauche, gratuitement de 5 en 5 les nombres.
La configuration avec 100 donne 20 groupes de 5.
Choisissons comme exemple la suite de 1 à 15 = donnant 3 groupes de 5.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 12, 13, 14, 10 1, 2, 3, 4, 15, 6, 7, 8, 9, 5, 11, 12, 13, 14, 10 1, 2, 3, 4, 15, 6, 7, 8, 14, 5, 11, 12, 13, 9, 10 1, 2, 3, 14, 15, 6, 7, 8, 4, 5, 11, 12, 13, 9, 10 1, 2, 3, 14, 15, 6, 7, 13, 4, 5, 11, 12, 8, 9, 10 1, 2, 13, 14, 15, 6, 7, 3, 4, 5, 11, 12, 8, 9, 10 1, 2, 13, 14, 15, 6, 12, 3, 4, 5, 11, 7, 8, 9, 10 1, 12, 13, 14, 15, 6, 2, 3, 4, 5, 11, 7, 8, 9, 10 1, 12, 13, 14, 15, 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, 13, 14, 15, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 En poursuivant, nous arrivons gratuitement à 11, 12, 13, 14, 15, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4, 5
Pour chaque groupe, nous allons utiliser son groupe voisin de droite immédiat, pour le réordonner.
11, 12, 13, 14, 15, 6, 7, 8, 9, 10
11, 12, 13, 14, 6, 15, 7, 8, 9, 10 (coût 1€) 15, 12, 13, 14, 6, 11, 7, 8, 9, 10 (gratuit) 15, 12, 13, 14, 11, 6, 7, 8, 9, 10 (coût 1€) 15, 13, 12, 14, 11, 6, 7, 8, 9, 10 (coût 1€) 15, 13, 14, 12, 11, 6, 7, 8, 9, 10 (coût 1€) 15, 14, 13, 12, 11, 6, 7, 8, 9, 10 (coût 1€) Le coût est de 5€ par groupe.
DONC le coût sera de 19*5 = 95€ pour les 19 groupes aynt un voisin de droite.
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Enfin le dernier groupe de droite 1, 2, 3, 4, 5 sera réordonné en 5, 4, 3, 2, 1 avec un coût de 5€ en utilis nt le groupe de gauche bien rangé :
10, 9, 8, 7, 6, 1, 2, 3, 4, 5 1, 6, 2, 3, 4, 5 (1€)
5, 6, 2, 3, 4, 1 (gratuit) 6, 5, 2, 3, 4, 1 (1€) 6, 5, 2, 4, 3, 1 (1€) 6, 5, 4, 2, 3, 1 (1€) 6, 5, 4, 3, 2, 1 (1€)
Avec 12 nombres de 1 à 15, soit trois groupes de cinq, le coût est de 15€ : 15 = 3*5
ET avec 100 cartes, soit 20 groupes de cinq, le rétablissement de l’ordre coûte 20*5 = 100€.
AMÉLIORATION
Si maintenant, on autorise le placement des cartes sur une circonférence, on peut économiser.
k=3
Choisissons comme exemple la suite de 1 à 8 = donnant 2 groupes de 4.
Je double, quand c’est utile pour la compréhension, en vert certains entiers pour bien voir les voisinages sur la circonférence.
En rose, ceux qui ont été échangés, comme indiqué au début du document.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Le 8 sera donc voisin de 1 Sur le cercle, la situation in initiale est identique à celle-ci 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
Les opérations suivantes sont gratuites 7, 8, 1, 6, 3, 4, 5, 2
7, 8, 5, 6, 3, 4, 1, 2
On a maintenant des groupes de quatre ‘presque’ ordonnés.
Ce serait identique avec 100 cartes : 99, 100, 97, 98... 3, 4, 1, 2
Il suffit de deux permutations dans chaque groupe pour ordonner le paquet de quatre cartes..
7, 8, 5, 6
8, 7, 5, 6 (coût 1€) 8, 7, 6, 5 (coût 1€)
IL suffit d’étendre le principe aux 100 cartes.
Pour chaque groupe de quatre cartes, nous avons un coût de 2€.
FINALEMENT le coût sera de 25*2 = 50€ pour les 100 cartes.
--- k=4
Choisissons comme exemple la suite de 1 à 10, donnant 2 groupes de 5.
Sur le cercle, la situation initiale est identique à celle-ci 5, 6, 7, 8 9, 10, 1, 2, 3, 4
Les opérations suivantes sont gratuites 5, 1, 7, 8 9, 10, 6, 2, 3, 4, 5
5, 1, 7, 3, 9, 10, 6, 2, 8, 4, 5 5, 1, 2, 3, 9, 10, 6, 7, 8, 4, 5 SOIT 9, 10, 6, 7, 8, 4, 5, 1, 2, 3
Dans chaque groupe de 5 cartes, il faut 4€ pour réordonner : 9, 10, 6, 7, 8
1€ : 10, 9, 6, 7, 8 1€ : 10, 9, 6, 8, 7 1€ : 10, 9, 8, 6, 7 1€ : 10, 9, 8, 7 , 6
FINALEMENT le coût sera de 20*4= 80€ pour les 100 cartes.
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