Cent cartes numérotées de 1 à 100 sont alignées dans cet ordre sur une même rangée.
La permutation de deux cartes adjacentes coute un euro tandis que la permutation de deux cartes avec exactement k cartes placées entre elles est gratuite.
Déterminer le coût minimal du classement des cartes dans l’ordre inverse de 100 à 1 avec a) k = 3 et b) k = 4.
Les échanges gratuits conservent le rang de la carte modulo k+1. Il faudra donc faire autant d’échanges payant que nécessaire pour passer au rang opposé modulo k+1.
Pour k=3, il faut passer, modulo 4 de 1, 2, 3, 0, 1, ... à 0, 3, 2, 1, 0, ... ; donc procéder aux inversions payantes des nombres de rang 0 et 1, ainsi que 2 et 3 (modulo 4), les
inversions gratuites permettant de mettre côte à côte les éléments à inverser, puis de les ordonner : soit 50 inversions, pour un coût de 50 euros.
Si k=4, il faut passer, modulo 5, de 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, ... à 0, 4, 3, 2, 1, 0, 4, 3, ...
les nombres de rang 3 modulo 5 ne bougent pas, tandis que l’on doit échanger ceux de rang 0 et 1, et 2 et 4 , les inversions gratuites permettant comme ci-dessus, de les rapprocher puis de les ordonner.
Pour les nombres de rang 2 et 4, on transforme 1, 2, 3, 4, 5 en 1, 3, 4, 2, 5 (2 inversions) puis on échange gratuitement 4 et 8 et on transforme 6, 7, 4, 9, 10 en 6, 4, 9, 7, 10 (2 inversions), et ainsi de suite jusqu’à la transformation de 96, 97, 94, 99, 100 en 96, 94, 99, 97, 100 soit après 40 inversions ; il reste enfin à inverser 3 et 99 qui sont alors aux rangs 2 et 3 pour que chacun puisse trouver sa place par des inversions gratuites : on a donc utilisé 41 inversions payantes. Pour les nombres de rang 0 et 1, qui sont voisins, 20 inversions sont nécessaires. Soit un total de 61 inversions et un coût de 61 euros.
