E40064. Calculs de strat`ege a) Etudier la suite d’entiers

E40064. Calculs de strat` ege

a) Etudier la suite d’entiers un d´efinie paru1 = 1,un+1 =un+up, o`u up

est le premier terme de la suite qui soit au moins ´egal `a u_n/2.

b) J’appelle U-d´ecomposition d’un entier N l’ensemble u_a, u_b, . . . , u_i de termes de la suite, ayant pour somme N =ua+ub+. . .+ui, en utilisant par priorit´e les plus grands termes :uaest le plus grand terme au plus ´egal

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a N,u_b le plus grand terme au plus ´egal `a N−u_a, etc. Montrer que siu_f et ug sont deux termes cons´ecutifs d’une U-d´ecomposition, uf > 2ug. Le nombre de termes de la U-d´ecomposition deN est sa U-taille.

c) Deux joueurs prennent tour `a tour des jetons dans un tas, selon la r`egle suivante : `a chaque coup, le joueur prend au moins un jeton et au plus le double du nombre que vient de prendre son adversaire. Le gagnant est celui qui ´epuise le tas en prenant le ou les derniers jetons. En d´ebut de partie, le premier joueur peut prendre le nombre qu’il veut, `a condition de ne pas prendre tout le tas.

J’appelle “coup S” le coup consistant `a prendre le plus petit terme de la U-d´ecomposition du nombre de jetons restant dans le tas.

Montrer que, si mon adversaire joue le coup S `a partir du tas qu’il re¸coit, r´eduisant de 1 la U-taille du tas, je ne pourrai pas jouer `a mon tour le coupS, ni r´eduire la U-taille, et il pourra de nouveau jouer le coupS avec le tas r´esultant de mon coup.

En d´eduire que “jouer le coupS” est la strat´egie gagnante.

Application : si la partie commence avec un tas de 2003 jetons, quel coup initial doit jouer le premier joueur ?

d) G´en´eraliser au jeu o`u le joueur prend au plus F(k) jetons, k ´etant le nombre que vient de prendre son adversaire, et F une fonction non d´ecroissante.

Solution

a) On a un+1 ≥ 1,5un, un+2 ≥ 1,5un+1 ≥ 2,25un, donc un−2 < un/2 et dans la relation u_n+1 = u_n+u_p, u_p ne peut ˆetre que u_n ou un−1. Il en r´esulte u_n+1 ≤ 2u_n, et donc u_n+1−u_n est un−1 sauf si n= 1, cas o`u u2−u1 =u1= 1, u2 = 2.

La suite obtenue est 1, 2, 3, 5, 8, . . . : c’est la c´el`ebre suite de Fibonacci.

b) Si u_f et u_g sont deux termes cons´ecutifs d’une U-d´ecomposition, on ne peut pas avoir g ≥ f −1 car cela entraˆınerait ug ≥ uf−1, uf +ug ≥ u_f +u_f−1 = u_f+1, et u_f ne serait pas le plus grand terme de la suite contenu dans u_f +u_g +. . ., contrairement `a la r`egle de formation de la U-d´ecomposition.

Doncg≤f −2 et u_f ≥2,25u_f−2>2u_g.

c) Mon adversaire a jou´e le coup S en prenant u_j jetons dans un tas de ua+ub+. . .+ui+uj. Pour jouer `a mon tour le coupS, je devrais prendre u<sub>i</sub> jetons, mais la r`egle me limite `a 2u<sub>j</sub>, et on vient de voir que 2u<sub>j</sub> < u<sub>i</sub>. Quoi que je joue, il restera quelque chose du termeu<sub>i</sub>, et apr`es mon coup la U-taille du tas sera au moins celle du tas que j’ai re¸cu.

Mon coup peut-il empˆecher mon adversaire de jouer le coup S? Si mon coup produit un tasN ayantu_m comme dernier terme de sa U-d´ecompo- sition, et que mon adversaire ne peut pas jouer le coup S (prendre um), c’est que j’ai pris x < u_m/2. Alors u_m+x < u_m+1 et le tas N +x avant mon coup a une U-d´ecomposition qui commence par les mˆemes termes que celle deN, jusqu’`a um inclus. Mon coup a donc r´eduit la U-taille du tas.

Mais on vient de voir que ce n’est pas possible si mon adversaire a jou´e le coupS `a son coup pr´ec´edent.

Le coup qui clˆot la partie en prenant les derniers jetons est un coup qui r´eduit `a 0 la U-taille. Un tel coup finit toujours par arriver, puisque le nombre de jetons du tas diminue constamment (pas de partie nulle). Le joueur qui joue constamment le coupSgagnera, puisque son adversaire ne pourra jamais jouer de coup qui r´eduise la U-taille. Cela d´efinit la strat´egie gagnante.

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Application :

La U-d´ecomposition de 2003 est 1597 + 377 + 21 + 8. Le coup S consiste

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a prendre 8 jetons.

Cependant, parce que beaucoup de termes interm´ediaires manquent, on ne compromet pas le gain en prenant 29 ou 406 jetons au premier coup.

Plus pr´ecis´ement, si je prends la partie terminale x=u_h+u_i+. . . d’une U-d´ecomposition N =u_a+. . .+u_g+u_h+u_i+. . .,x < u_h+1,2x < u_h+3 et le coup x est gagnant sih+ 3≤g.

Si refaire `a chaque coup la U-d´ecomposition vous rebute, une calculatrice programmable convenablement programm´ee la fera pour vous.

d) Avec une limitation `a F(k) jetons, il suffit de modifier la d´efinition de la suite u<sub>n</sub> en : u<sub>n+1</sub> =u<sub>n</sub>+u<sub>p</sub>, o`u u_p est le premier terme de la suite tel queF(u_p)≥u_n. On d´eroule ensuite un raisonnement exactement parall`ele au pr´ec´edent pour montrer que le coupS est la strat´egie gagnante.

Exemple : F(k) = k+ 1. La suite est 1, 2, 3, 5, 10, 20, . . ., chaque terme apr`es 5 ´etant le double du pr´ec´edent.

Autre exemple :F(k) =F constante. La suite est 1, 2, . . .,F,F+ 1 et ne se poursuit pas au-del`a. La U-d´ecomposition de N comporte des termes (F + 1), compl´et´es par un terme ´egal au reste du tas modulo F + 1. Le coupS consiste `a prendre ce dernier terme, produisant un tas multiple de F + 1.

Avec diverses fonctions F, vous pourrez observer que la suite se poursuit en doublant les termes successifs si F(un−1) < un ≤F(un). Elle s’arrˆete si F(u_n)< u_n.

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