E40160. Le jeu de l’´ et´ e 2004
Jules et Romain jouent selon la r`egle suivante : chacun pioche `a son tour dans un tas de jetons, en prenant un ou plusieurs jetons, mais pas plus de 5 et pas le nombre que vient de prendre son partenaire. Le joueur qui ne peut plus jouer selon cette r`egle a perdu.
Le tas contient au d´epart 500 jetons. Jules a-t-il int´erˆet `a jouer le premier ? Quel sera son premier coup ?
Solution
Je note les coups (a > b) par le nombre de jetons du tas avant et apr`es.
M’int´eressant aux coups appartenant `a la strat´egie gagnante, j’´ecris en abr´e- g´e (a > b, c) pour (a > b) et (a > c), de mˆeme que (a, b > c) pour (a > c) et (b > c).
Pour faire la liste des coups gagnants, je pars de la fin : le dernier coup est (1,2,3,4,5 > 0) ou (2 > 1). Si (a > b) est gagnant, il ne peut y avoir de coup gagnant (d > a) que si d– a=a– b.
Si (a > b, c), il ne peut y avoir aucun coup gagnant (d > a). J’obtiens ainsi la liste
(1>0),(2>0,1),(3>0),(4>0),
(5 > 0), (6 > 3), (8 > 4,7), (9 > 6,7), (10 > 5,7), (11 > 7), (12 > 7), (14>13), (15>11,13,14), (16>13), (17>12,13),
(18>13), (19>16), (21>17,20), (22>19,20), (23>18,20), . . .
o`u on voit que la derni`ere partie reproduit une partie pr´ec´edente avec des nombres augment´es de 13. Le mode de construction ´etant bas´e sur les diff´erences, cette p´eriodicit´e des restes modulo 13 se poursuit ind´efiniment.
Comme 500 = 13×38 + 6, le joueur en premier a une strat´egie gagnante et son premier coup doit ˆetre de prendre 6 – 3 = 3 jetons.
Si le tas de d´epart avait 0 ou 7 pour reste modulo 13, c’est le joueur en second qui aurait une strat´egie gagnante, et son premier coup d´ependrait du premier coup de son partenaire.
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