N = n  3n  5n − 6 / 6 N = 2n  3n − 11n  18 / 6

(1)

Problème G234 – Solution de Jean Drabbe

La valeur maximum de N (en fonction de n ) est donnée par :

N=2n

³

²

Des démonstrations de ce résultat sont publiées dans [1] et sur le site internet [3] (accès gratuit).

Comme les enfants parviennent à se répartir équitablement tous les macarons, N doit être divisible par n . Par conséquent, il est

nécessaire que n divise 18 . Parmi les diviseurs de 18 supérieurs à 2 , seule la valeur n = 9 convient. Dans ce cas, N = 270 .

La valeur minimum de N (en fonction de n ) est donnée par :

³

²

si n est pair

³

²

si n est impair Une démonstration est publiée dans [2].

Pour n = 9 , la valeur minimum de N est 169.

L'économie réalisée est donc de 101 macarons.

Références :

[1] Klosinski,L. et al., The Fifty-Seven William Lowell Putnam

Mathematical Competition, The American Mathematical Monthly, 104 (1997), pp. 744-754, Problem B-3.

[2] Mihai,V. and Woltermann,M., Problem 10725, The American Mathematical Monthly, 108 (2001), pp. 272-273.

(2)

[3]

http://www.unl.edu/amc/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml (voir : Year 1996 – Problem B-3)