arithmétique : 240 problèmes numérotés de 1 à 240

Enoncé G1912 (Diophante) Surf sur Mathspourtous.com

Zig et Puce surfent sur le site de Mathspourtous.com qui propose à la manière de Diophante.fr des problèmes mathématiques classés selon cinq catégories :

– arithmétique : 240 problèmes numérotés de 1 à 240, – algèbre : 200 problèmes numérotés de 1 à 200, – géométrie : 220 problèmes numérotés de 1 à 220, – combinatoire : 30 problèmes numérotés de 1 à 30, – logique : 20 problèmes numérotés de 1 à 20.

Zig choisit au hasard une catégorie puis à l’intérieur de cette catégorie choisit au hasard un problème.

De son côté Puce indépendamment de Zig fait de même.

Zig est amené à résoudre un problème qui a le n°7 et Puce un problème qui a le n°77.

Soientp la probabilité pour que l’un et l’autre aient choisi deux catégories distinctes et m/nla fraction irréductible la plus proche possible de pavec m etn entiers<99. Calculer 100m+n.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

L’événement “tirage d’un problème n°7” par tirage successif d’une catégo- rie et d’un de ses problèmes a pour probabilité

1 5 · 1

240+1 5 · 1

200+1 5· 1

220+ 1 5· 1

300+1 5 · 1

20 = 1281 5·13200

De même, le tirage d’un problème n°77 par Puce vient d’une des trois premières catégories, avec la probabilité

1 3 · 1

240+1 3 · 1

200+1 3· 1

220 = 181 3·13200

Ces résultats de tirage ont globalement pour probabilité 181·1281 3·5·13200² Mais s’ils ne provenaient pas de catégories distinctes, leur probabilité serait

1

3·5·240² + 1

3·5·200² + 1

3·5·220² = 10981 3·5·13200².

J’admets que le tirage des problèmes, tout comme le tirage des catégo- ries, est non exhaustif, Zig et Puce disposant tous deux de l’ensemble des problèmes de la catégorie.

La probabilité que les problèmes tirés proviennent de la même catégorie est donc 1−p= 10981

181·1281 = 10981 231861 Ainsip= 220880

231861, qu’il s’agit d’approcher par une fractionm/n à termes

<99. La méthode des fractions continues fournit des approximations op- timales en taille des termes. Les réduites successives sont :

1/1, 20/21, 161/169, 181/190, 523/549, . . ., alternativement par excès et par défaut. Une approximation meilleure que 20/21 est de la forme (20q+ r)/(21q+r), elle vaut

p+231861(20q+r)−220880(21q+r)

231861(21q+r) =p+ 10981r−1260q 231861(21q+r)

Pour réduire l’écart, il faudrait prendre r = 1 et q au moins 5, ce que le plafonnementm < n <99 ne permet pas.

Ainsim/n= 20/21 et 100m+n= 2021.