G1912. Surf sur Mathspourtous.com **
Zig et Puce surfent sur le site de Mathspourtous.com qui propose à la manière de Diophante.fr des pro- blèmes mathématiques classés selon cinq catégories :
— arithmétique : 240 problèmes numérotés de 1 à 240,
— algèbre : 200 problèmes numérotés de 1 à 200,
— géométrie : 220 problèmes numérotés de 1 à 220,
— combinatoire : 30 problèmes numérotés de 1 à 30,
— logique : 20 problèmes numérotés de 1 à 20.
Zig choisit au hasard une catégorie puis à l’intérieur de cette catégorie choisit au hasard un problème.
De son côté Puce indépendamment de Zig fait de même.
Zig est amené à résoudre un problème qui a le no7 et Puce un problème qui a le no77.
Soientpla probabilité pour que l’un et l’autre aient choisi deux catégories distinctes etm/n la fraction irréductible la plus proche possible depavecmetnentiers<99. Calculer 100m+n.
Solution de Claude Felloneau La réponse est 2021
On numérote les catégories de 1 à 5 dans l’ordre donné par l’énoncé. SoientC1etN1(respective- mentC2etN2) le numéro de la catégorie et de l’exercice choisi par Zig (respectivement Puce).
Compte tenu de l’indépendance des choix de Zig et Puce, on a : p=1−P(C1=C2,N1=7,N2=7)
P(N1=7)P(N2=77) . P(N1=7)=
X5 k=1
P(C1=k,N1=7)=1 5
µ 1 240+ 1
200+ 1 220+ 1
30+ 1 20
¶
= 10248
24×22×20×50 P(N2=77)=
X5 k=1
P(C1=k,N1=7)=1 5
µ 1 240+ 1
200+ 1
220+0+0
¶
= 1448
24×22×20×50 P(C1=C2,N1=7,N2=7)=
X5 k=1
P(C1=k,N1=7)P(C2=k,N2=77)= 1 52
µ 1 2402+ 1
2002+ 1 2202
¶
d’oùP(C1=C2,N1=7,N2=7)= 702784 502×242×202×222. Ainsi
p=1− 702784
10248×1448=1− 10981
1281×181=1−qavecq= 10981 231861 On a 4
85<q< 1
21donc 20
21<p<81
85d’où20 216m
n 681 85. On ne peut pas avoir20
21<m n <81
85 sinon en posantk=n−m, on aurait 20k<m<20k+k
4 donck>4 et 20k<99 d’où 4<k<5, ce qui est impossible.
On vérifie quep−20 21<81
85−p, ce qui permet de conclure quem n =20
21soitm=20 etn=21 car la fraction m
n est irréductible.
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