Déterminer le nombre pair n qui a les deux propriétés suivantes :
P1 : c’est le seul entier inférieur à 2012 et supérieur à 17 tel que les huit entiers qui l’encadrent : n – 17, n – 11, n – 7, n – 1, n + 1, n + 7, n + 11 et n + 17 sont tous premiers.
P2 : c’est le plus grand entier tel que les nombres entiers inférieurs à lui et premiers avec lui, sont tous premiers.
Justifier votre réponse pour chacune des deux propriétés.
P1
On cherche n ∈ [17 ; 2012] pair (de fait, n+1 est impair puisque premier) ; n est divisible par 3, car n+1 et n-1 ne le sont pas. Enfin, le dernier chiffre de n ne peut être ni 2 (sinon n-7 serait multiple de 5) ; ni 4 (n+1 serait multiple de 5) ; ni 6, ni 8 (idem pour n-1 et n+7). Donc n est en fait multiple de 10.
Il existe donc p entre 1 et 67 tel que n=30p.
De plus, n est premier avec 7, 11 et 17 ; par conséquent, p l'est aussi.
Division euclidienne par 7 :
n = 7q+r avec r ∈ [1 ; 6] (r non nul car (n;7)=1).
n-1 et n+1 premiers donnent : r ≠ 1 et r ≠ 6
n-11 et n+11 premiers donnent : r ≠ 4 et r ≠ 3 (n-11 ≡ n-4 ≡ r-4 (7) non nul) Finalement n est congru à 2 ou 5 modulo 7.
D'où : 30p ≡ 2p ≡ 2 ou 5 (7). On rappelle que /7 est un corps, ses éléments sontℤ ℤ inversibles. Finalement p ≡ 1 ou 6 (7)
Division euclidienne par 11 : n = 11q+r avec r ∈ [1 ; 10].
n-1 et n+1 premiers donnent : r ≠ 1 et r ≠ 10
n-7 et n+7 premiers donnent : r ≠ 7 et r ≠ 4 (n-7 ≡ r-7 (11) non nul) n-17 et n+17 premiers donnent : r ≠ 6 et r ≠ 5
Finalement n est congru à 2, 3, 8 ou 9 modulo 11.
D'où : 30p ≡ 8p ≡ 2, 3, 8 ou 9 (11). Dans /11 , ℤ ℤ 7×8=1 ; on en déduit les solutions pour p : p ≡ 3 ; 10 ; 1 ou 8 (11)
Valeurs restantes :
Les valeurs possibles pour p entre 1 et 67, congrues à 1 ou -1 modulo 7 sont en première ligne ; en dessous, leurs restes modulo 11 et 17 :
On élimine les éléments de la première ligne dont le reste modulo 11 n'est ni 1, ni 3, ni 8, ni 10, ou qui sont multiples de 17 ; il reste :
Comme on s'y attend, 30 marche mais pas les autres. En effet : - 13, 19, 23, 29, 31, 37, 41 et 47 sont premiers
- 240+7=13×19 - 1080+1=23×47 - 1230+11=73×17 - 1290−17=19×67
Le seul entier vérifiant la première propriété P1 est donc 30.
p 1 6 8 13 15 20 22 27 29 34 36 41 43 48 50 55 57 62 64
1 6 8 2 4 9 0 5 7 1 3 8 10 4 6 0 2 7 9
1 6 8 13 15 3 5 10 12 0 2 7 9 14 16 4 6 11 13
p mod 11 p mod 17
p 1 8 36 41 43
n=30p 30 240 1080 1230 1290
P2On s'intéresse à l'ensemble des entiers ayant la propriété : "∀p<n, (p,n)=1 p premier"⇒
Cet ensemble n'est pas vide : en effet, par exemple, les nombres premiers avec 12 sont : 1 ; 5 ; 7 et 11 qui sont tous premiers.
Soit donc n>1 ayant la propriété. Il existe un nombre premier p tel que n soit strictement supérieur à p², et on peut même choisir pour p le plus grand entier premier tel que n>p².
Alors p divise n : en effet, sinon, p serait premier avec n, donc p² serait aussi premier avec n, ce qui contredit l'hypothèse (p² n'est pas premier). Ainsi, tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à p divisent n.
Si p=7 : n>49, alors n est supérieur à 4, 9 et 25 ; d'où n est divisible par 2, 3, 5 et 7 : n 2 x 3 x 5 x 7 ⇒ n 210.
Alors n>121 notamment, ce qui contredit le fait que p soit plus grand premier tel que p²<n.
En pratique, comme la suite des produits des k premiers nombres premiers croît plus vite que la suite des entiers premiers au carré, si p est plus grand que 7, on aura la même contradiction : n 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x... x p entraîne n>p'² avec p'>p.
on voit que jusqu'à p=5 le produit est plus petit que le carré suivant (49) ; à partir de p=7, le produit des premiers est supérieur au carré suivant (121).
Finalement p<7. Si p=5, n sera compris entre 26 et 49 et divisible par 2 x 3 x 5 : la seule valeur possible est 30.
Il existe d'autres entiers vérifiant la propriété, mais 30 est bien le plus grand.
Les autres sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 18 et 24.
p produit p²
1 1 1
2 2 4
3 6 9
5 30 25
7 210 49
11 2310 121
13 30030 169
17 510510 289
19 9699690 361
