UTBM 21 Juin 2010
FINAL IN41 P10
Dur´ee : 2 heures / tous les documents sont autoris´es / Calculette simple conseill´ee Les exercices suivants sont not´es 19 points sur 20
+ 1 point pour la lisibilit´e de la pr´esentation, la rigueur de la syntaxe et de l’orthographe
Exercise 1
Consid´erant le sch´ema fonctionnel du filtre num´erique suivant:
x[n]
+
y[n]
z−1
1 1 2
2
1. Exprimer la relation de r´ecurrence donnanty[n].
2. Donner la fonction de transfert H(z) du filtre.
3. D´eterminer et tracer la r´eponse impulsionnelle h(n). De quel type de filtre s’agit-il (FIR ou IIR)?. Justifier votre r´eponse.
4. Calculer la transform´ee en z deδ(n−k) aveck6=netδ(n) l’impulsion de Dirac num´erique.
Retrouver ainsi l’expression de h(n) `a partir deH(z).
5. D´eterminer la r´eponse indicieled(n) `a partir de l’´equation aux diff´erences.
6. Retrouver cette r´eponse indicielled(n) `a partir de la fonction de transfertH(z).
7. Donner l’expression de la r´eponse fr´equentielleH(jf) en fonction def,πet de la fr´equence d’´echantillonnagefe. En d´eduire l’expression de kH(jf)ket ΦH =arg(H(jf))
8. Calculer la valeur dekH(jf)k et ΦH=arg(H(jf)) pour: f = 0,f = fe
4 et f = fe
2 9. TracerkH(jf)k et ΦH=arg(H(jf)) sur [−fe
2 ,+fe 2]
10. La fr´equence de coupurefcest g´en´eralement choisie de sorte quekH(jfc)k=
√ 2
2 . Donner l’expression de fc en fonction defe.
M.Dridi
UTBM 21 Juin 2010
Exercise 2
On consid`ere un filtre du premier ordre qui peut ˆetre r´ealis´e `a partir du montage ´electronique repr´esent´e sur la figure suivante (x(t) ´etant le signal d’entr´ee du filtre ety(t) le signal de sortie):
y(t)
x(t) R
C
1. Etude du filtre analogique :
(a) Etablir l’´equation diff´erentielle lianty(t), dy(t)
dt et dx(t) dt
(b) Exprimer la fonction de transfertH(p) en fonction dep,Ret C.
(c) Exprimer la r´eponse fr´equentielleH(j.f) en fonction deR, Cet f (d) Calculer lim
f→0H(j.f) et lim
f→+∞H(j.f). En d´eduire la nature du filtre (passe-bas, passe- haut,...).
(e) Montrer que l’expression de la r´eponse impulsionnelle du filtre est donn´ee par:
h(t) =δ(t)− 1
RC.e−RCt .Γ(t) (δ(t) ´etant l’impulsion de Dirac et Γ(t) l’´echelon unitaire)
(f) Montrer que l’expression de la r´eponse indicielle du filtre est donn´ee par : d(t) =e−RCt .Γ(t)
2. Synth`ese du filtre num´erique ´equivalent :
(a) Calculer la fonction de transfertH1(z) du filtre num´erique obtenu par la m´ethode de l’invariance impulsionnelle.
(b) Donner l’´equation aux diff´erences du filtre obtenu sous la forme : y[n] = b0.x[n] + b1.x[n−1] +a1.y[n−1]. b0,b1 eta1 sont `a determiner
(c) Calculer la fonction de transfertH2(z) du filtre num´erique obtenu par la m´ethode de l’invariance indicielle.
(d) Donner l’´equation aux diff´erences du filtre obtenu sous la forme : y[n] = b0.x[n] + b1.x[n−1] +a1.y[n−1]. b0,b1 eta1 sont `a determiner
(e) Calculer la fonction de transfert H3(z) du filtre num´erique obtenu par la m´ethode d’Euler
(f) Donner l’´equation aux diff´erences du filtre obtenu sous la forme : y[n] = b0.x[n] + b1.x[n−1] +a1.y[n−1]. b0,b1 eta1 sont `a determiner
(g) Calculer la fonction de transfertH4(z) du filtre num´erique obtenu par la m´ethode de la transformation bilin´eaire.
(h) Donner l’´equation aux diff´erences du filtre obtenu sous la forme : y[n] = b0.x[n] + b1.x[n−1] +a1.y[n−1]. b0,b1 eta1 sont `a determiner
M.Dridi
