UTBM 26 Avril 2010
MEDIAN IN41 P10
Dur´ee: 2 heures / tous les documents sont autoris´es / Calculette simple conseill´ee Les exercices suivants sont not´es 19 points sur 20
+ 1 point pour la lisibilit´e de la pr´esentation, la rigueur de la syntaxe et de l’orthographe
Exercise 1 (5 pts)
On consid`ere le signal p´eriodique repr´esent´e dans la figure ci-dessous:
0 A
x(t)
t
2π
−π π
1. Quelle est la p´eriode du signalT0 ainsi que sa fr´equencef0. 2. En utilisant l’expression: X(ik) = 1
T0
Z +T20
−T20
x(t)e−i2πkf0tdt, calculer les coefficients com- plexesX(ik).
3. Tracer le spectre bilat´eral d’amplitude et de phase du signal dans l’intervalle de fr´equences [−10f0, +10f0]
4. En utilisant l’´egalit´e de Parseval (
+∞
X
k=−∞
kX(ik)k2= 1 T0
Z +T20
−T20
|x(t)|2dt), donner la valeur
de la somme : S=
+∞
X
k=1
1 k2 Exercise 2 (5 pts)
1. Donner (sans le d´emontrer) l’expression de la TF d’une porte rectangulaire ( le signal y∆t(t) de la figure ci-dessous) d’amplitude Aet de largeur ∆t en fonction deA, ∆t, π et la fr´equencef.
2. Soit le signal z(t) (voir figure ci-dessous). Donner l’expression de Z(f) = T F{z(t)} en utilisant la d´efinition de la transform´ee de Fourier (Z(f) =
Z +∞
−∞
z(t).e−i2πf tdt) 3. Exprimer tout simplementz(t) en fonction du signal y
M.Dridi
UTBM 26 Avril 2010
4. A partir des r´esultats trouv´es en 1 et 3 et en utilisant les propri´et´es de la transform´ee de Fourier, retrouver le r´esultat de la question 2.
5. Tracer les spectres d’amplitude et de phase dez(t).
0
A A
z(t)
t 0 t
π +∆t2
y∆t(t)
−∆t2
Exercise 3 (6 pts)
Soit le signal analogique suivant :
x(t) = 2 cos(2π.200.t) + 5 cos(2π.500.t)
1. Montrer que la transform´ee de Fourier du signalx(t) est donn´ee par : X(f) = 2δ(f−f1) + 5δ(f−f2) + 2δ(f+f1) + 5δ(f+f2)
2 avecf1 et f2 deux fr´equences `a d´eterminer.
2. Tracer alors le spectre bilat´eral d’amplitude du signalx(t)
3. On d´esire ´echantillonner ce signal afin de le transporter sur un r´eseau. Quelle est la fr´equence d’´echantillonnage minimale qu’il faut choisir pour respecter le th´eor`eme de Shan- non.
4. Le signal est ´echantillonn´e `a une fr´equencefe. Donner l’expression g´en´erale du spectre du signal ´echantillonn´eXe(f) en fonction defe,δ,f1,f2
5. Tracer le spectre d’amplitude du signal ´echantillonn´eXe(f) pourfe= 600 HZ.
6. Si elles existent, que valent les fr´equences apparentesfapp?
7. Si on d´esire restituer les ´echantillons x[n] `a l’aide d’un convertisseur NA suivi d’un filtre passe-bas id´eal de fr´equence de coupure fc= f2e, que vaut le signal reconstruity(t)?
Exercise 4 (3 pts)
Consid´erant la suite de quatre valeursx[n] ={0,2,4,0}.
1. Calculer les ´echantillons de la transform´ee de Fourier discr`eteX(k) 2. Tracer le spectre de la suite
M.Dridi
