dans l’espace

(1)

5. FONCTION LOGARITHME | 108

Leçon 36 Droite

dans l’espace

1. Caractérisations vectorielles Droite

Étant donné un point A et u

un vecteur non nul :

• La droite passant par A et de vecteur directeur u

notée ^D

(

^A^,^u^

)

est l’ensemble des points M tels que AM =tu, t

.

• Cette droite est la droite

( )

AB lorsque AB=u. Demi-droite, segment

• La demi-droite



AB

)

est l’ensemble des points M tels que AM =tAB, t0.

• Le segment

 

^AB est l’ensemble des points M tels que AM =tAB, 0t1. 2. Droite passant par un point et de vecteur directeur

• Dans le plan muni d’un repère

(

^O^;ⁱ^^,^^j

)

, on considère un point A

(

x_A,y_A

)

et

( )

a b

u ,

un vecteur non nul.

La droite passant par A et de vecteur directeur u

est l’ensemble des points

(

x y

)

M , tels que AM =tu, t

. Nous avons :



 



=

−

=

 −

= t

b t y y

a t x u x

t AM

A

A ,

 , soit 





+

= +

= t

t b y y

at x x

A

A ,

• De même dans l’espace muni d’un repère

(

^O^;ⁱ^^,^^j^,^k^

)

, on considère un point

(

x_A y_A z_A

)

A , , et u

(

a,b,c

)

un vecteur non nul.

La droite passant par A et de vecteur directeur u

est l’ensemble des points

(

x y z

)

M , , tels que AM =tu, t

. Nous avons :



 







=

−

=

−

=

−



= t

c t z z

b t y y

a t x x u t AM

A A A

 ,

, soit 







+

= +

=

t t c z z

t b y y

at x x

A A A

,

Les deux systèmes de relation ci-dessus sont appelés représentation paramétrique de paramètre t

(

t

)

de la droite.

Exemple : Déterminer l’équation de la droite L passant par ^A

(

¹^,¹^,²

)

et de vecteur directeur u

(

2,1,3

)

. Solution

Nous avons : 







+

= +

=

t t c z z

t b y y

at x x

A A A

,

Nous obtenons donc : 





 +

= +

=

t t z

t y

t x

, 3 2 1

2 1

(2)

3. Droite passant par deux points

Dans l’espace muni d’un repère

(

^O^;ⁱ^^,^^j^,^k^

)

, on considère deux points

(

xA yA zA

)

A , , et B

(

xB,yB,zB

)

.

La droite passant par

( )

AB est l’ensemble des points M

(

x,y,z

)

tels que de





=tAB t

AM , où AB est le vecteur directeur.

Nous avons :

( )

^^







−

=

−

=

−

=

−



= t

z z t z z

y y t y y

x x t x x AB t AM

A B A

, , soit

( )

^^







− +

=

− +

=

− +

=

t z z t z z

y y t y y

x x t x x

A B A

,

Exemple : Déterminer l’équation de la droite passant par deux points

(

−2,0,2

)

A et B

(

2,1,1

)

. Solution

Nous avons :

( )

^^







− +

=

− +

=

− +

=

t z z t z z

y y t y y

x x t x x

A B A

,

Nous obtenons donc :

( ) ( )

( )

^^







− +

=

− +

=

−

− +

−

=

t t

z t y

t x

AB ,

2 1 2

0 1 0

) 2 ( 2 2 :

Soit

( )









−

=

= +

−

=

t t

z t y

t x

AB ,

2 4 2 :

4. Position relative de deux droites

Soit deux droites de représentation paramétrique :

( )









+

= +

=

0 0 0 0

0 0 0

0 : , t

t c y z

t b y y

t a x x

d et

( )









+

= +

=

1 1 1 1

1 1 1

1 : , t

t c y z

t b y y

t a x x d

A.

( )

d₀ et

( )

d1 sont coplanaires

( )

d₀ et

( )

d₁ sont concourantes si et seulement s’il existe t₀ et t₁ vérifiant :

0

2 1

4

4 2

x

y z

2

(3)



 







+

= +

+

= +

+

= +

1 0 1 1 1 0 0 0

1 1 1 0 0 0

, , t t t

c z t c z

t b y t b y

t a x t a x

•

( )

^d₀ et

( )

d1 sont parallèles si et seulement si : .

1 0 1 0 1 0

c c b b a

a = = ou les vecteurs directeurs u

(

a₀,b₀,c₀

)

et v

(

a1,b1,c1

)

sont colinéaires.

B.

( )

d₀ et

( )

d1 ne sont pas coplanaires

( )

d₀ et

( )

d₁ ne sont pas concourantes, ni parallèles.

Exemple 1 : Soit deux droites de représentation paramétrique. Étudier la position relative de ces deux droites.

( )







 +

=

= +

=

t t z

t y

t x

d ,

5 1

6 3 1

1 : et

( )







 +

=

−

= +

=

t t z

t y

t x

d ,

7 1

2 6

4 3

2 :

• Nous avons :

Le vecteur directeur de

( )

d₁ : u=

(

3,6,5

)

Le vecteur directeur de

( )

d2 : ^v^⁼

(

⁴^,⁻²^,⁷

)

u

et v

ne sont pas colinéaires donc ces deux droites ne sont pas parallèles.

• Nous supposons :

( )







 +

=

= +

=

1 1 1

1

1 ,

5 1

6 3 1

: t

t z

t y

t x

d et

( )







 +

=

−

= +

=

2 2

2 ,

7 1

2 6

4 3

: t

t z

t y

t x

d

On a :







=

−

= +

=

−

 







=

−

= +

=

−

 







+

= +

−

= +

) 3 ( 0 7 5

) 2 ( 12 4 12

) 1 ( 2 4 3

0 7 5

6 2 6

2 4 3

7 1 5 1

2 6 6

4 3 3 1

2 1

t t

t t t

t t











=

 





=

 =





=

− + =

1 2 1

1 2 1 2

1 1

7 5 15 14

5 7

15 14 0

7 5

14 : 15

) 2 ( ) 1 (

t t t t t t t

t t









=



=

3 2 15 14 7 5 15 14

2 1

t t

Reporter t₁ et t₂dans (1), on obtient :

3 4 2 15 3

3 14 1 4 3 3

1+ t₁ = + t₂  +  = +  3

17 5 19 3 3 8 5

1+14= +  

Ces deux droites ne sont pas concourantes.

Donc ces deux droites ne sont pas coplanaires.

Exemple 2 : Soit deux droites de représentation paramétrique. Montrer que les droites

( )

d1 et

( )

d2 sont concourantes en déduire les coordonnées de son point d’intersection.

(4)

( )









+

−

=

−

=

t t z

y t x

d ,

1 1 2

1 : et

( )









−

=

−

= +

−

=

t t z

t y

t x

d ,

2 5

2 1

2 4

2 :

Solution

.

( )

d₁ et

( )

d₂ sont concourantes si et seulement s’il existe t₁ et t₂ vérifiant :





=

 =







−

= +

−

= +

−

=

−

6 0 2

5 1

2 1 1

2 4 2

1 2

2 1

2 2 1

t t t

t

t t t

. Soit M

(

x₀,y₀,z₀

)

, le point d’intersection de

( )

d1 et

( )

d2 . Reporter t₁=6 dans

( )









+

−

=

−

=

t t z

y t x

d ,

1 1 2

1 :

Ou t₂ =0 dans

( )









−

=

−

= +

−

=

t t z

t y

t x

d ,

2 5

2 1

2 4

2 :

On obtient : 







=

−

=

t z

y x

, 5 1 4

Donc les droites

( )

d1 et

( )

d2 sont concourantes en M

(

−4,1,5

)

. 5. Distance d’un point à une droite

Soit A un point et une droite L passant par P et de vecteur directeur v

.

Lorsque le point A n’appartient pas à la droite L, tout se passe dans le plan

(

^A,^L

)

. En premier lieu, la distance de Aà L est la distance AH où H est le projeté

orthogonal de A sur L.

La distance d du point A à la droite L est donc calculée par :

( )

v v PA v

PA v PA PA PA

L A

d 



 

 =

=

= sin ,

Exemple: Soit un point ^A

(

^{1, 2,1}

)

et la droite L définie par :



 







=

−

= +

=

t t z

t y

t x

, 2 3 1

. Calculer d, la distance de A à la droite L. Solution

La droite L a pour vecteur directeur v

(

1,−1,2

)

. Soit P, un point de L.

On suppose t=0, on a : ^P

(

^{1, 3, 0}

)

, PA

(

0,−1,1

)

et

H L

(5)

0 1 1

1 1 2

i j k

PA v = − = − + +i j k

−

On obtient donc :

( )

2 2 2

1 1 1 3 2

6 2

1 1 2

PA v d

v

 − + +

= = = =

+ − + unité de longueur.

Exercices

1. Dans l’espace muni d’un repère

(

^O^;ⁱ^^,^^j^,^k^

)

. Donner une représentation paramétrique passant par A et de vecteur directeur v

de chacun des cas suivants.

a. ^A

(

^{1, 2, 1 ,}⁻

)

^v⁼ ^2,1,3 b. ^A

(

^{4, 0,8 ,}

)

^v⁼ ^{1, 0,1} c. ^A

(

^{1, 0, 2 ,}

)

^v⁼ ^{7, 0, 4} ^d.^A

(

^{2,3,1 ,}

)

^v⁼ ^{2,1, 2}⁻

(

^O^;ⁱ^^,^^j^,^k^

)

. Donner une représentation paramétrique passant par A et B de chacun des cas suivants.

a. ^A

(

^{1,1,1 ,}

)

^B

(

^{3, 5, 2}⁻

)

b. ^A

(

⁻^{2, 0, 2 ,}⁻

)

^B

(

^{4, 3, 7}

)

c. ^A

(

⁻^{1,1, 0 ,}

)

^B

(

^{5, 2, 2}⁻

)

d. ^A

(

^{0,1, 2 ,}⁻

)

^B

(

^{2, 2,1}⁻

)

(

^O^;ⁱ^^,^^j^,^k^

)

. Donner une représentation

paramétrique passant par ^P

(

^1,1,1

)

et parallèle à la droite

( )

AB avec ^A

(

^{2, 0, 1}⁻

)

et

(

^{4,1, 3}

)

B .

4. Déterminer le point d’intersection de deux droites L₁ et L₂ tel que :

( )

^^







=

= +

=

t z

t y

t x

L ,

0 3 1

1 :

( )







 +

=

t t z y

t x

L ,

1 1 2

2 :

5. Montrer que deux droites L₁ et L₂ ne sont pas coplanaires.

( )







 +

=

−

= +

−

=

t t z

t y

t x

L ,

2 2 2

4 1

1 :

( )







 +

=

t t z y

t x

L ,

1 1 2

2 :

6. Vérifier que deux droites L₁ et L₂ sont concourantes en déduire son point d’intersection.

( )







 +

=

−

=

t t z y

t x

L ,

1 1

4 2

1 :

( )









−

= +

−

=

t t z

t y

t x

L ,

2 5 1

2 4

2 :

7. Calculer la distance du point d’origine O à la droite L telle que :

(6)

( )









−

= +

−

= +

=

t t z

t y

t x

L ,

2 2

2 1 :

8. Soit un triangle ABC de sommet ^A

(

^{0, 1, 2 ,}⁻

)

^B

(

^{5, 0, 2 ,}

) (

^C ^{1, 3, 0}

)

. Calculer la hauteur issue du sommet B.

9. Soit un tétraèdre OACD de sommet ^O

(

^{0, 0, 0 ,}

)

^A

(

^{4, 0, 0 ,}

) (

^C ^{0, 5, 0 ,}

) (

^D ^{1, 3, 3 .}

)

Calculer la hauteur issue du sommet D.

10. Soit une pyramide de volume 5 et d’un sommet ^A

(

^{2, 3,1 ,}

)

déterminer le sommet D

sachant que D est sur l’axe

( )

Oy .