Janvier 2014

(1)

PanaMaths

[1 - 4]

Janvier 2014

Soit E un K − espace vectoriel et p et q deux projections de E telles que : p q = 0

_L _{( )}_E

1. Montrer que ϕ = + − p q q p est une projection.

2. Déterminer ker ϕ et Im ϕ .

Analyse

La première question ne pose pas de difficulté particulière : on revient à la définition d’une projection. Pour la deuxième question, on revient également aux définitions du noyau et de l’image et on exploite immédiatement le fait que p et q sont des projections. Pour autant, les résultats élégants que l’on obtient découlent fondamentalement de l’hypothèse p q=0_L_{( )}_E .

Résolution

Question 1.

L’application ϕ est linéaire comme somme de trois applications linéaires (p, q et −q p).

Pour tout vecteur x de E, on a :

( )( ) ( ( ) )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( ( ) ) ( ^{( )} ) ( ⁽ ^{)( )} )

x x

p q q p x p x q x q p x

p x q x q p x

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

=

= + −

= − −

Il vient alors, en tenant compte de p p= p, q q=q et p q=0_L_{( )}_E (que nous noterons plus simplement 0 dans la suite) :

( ( ) ) ( ) ( ) ( )

( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

p x p q q p p x

p p x q p x q p p x p p x q p x q p p x p x q p x q p x

p x

ϕ = + −

= + −

=

(2)

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[2 - 4]

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( ( ) ) ( ) ( ) ( )

( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

E E

0 0

q x p q q p q x

p q x q q x q p q x p q x q q x q p q x

q x q q x

ϕ = + −

= + −

=

( )( )

( ) ( ) ( ( )( ) )

( )( )

( ) ( ( )( ) ) ( ) ( ( )( ) )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ⁽ ^{)( )} ⁽ ^{) ( )} ( ) ( )( ) ( )

( )( )

E E

0 0

q p x p q q p q p x

p q p x q q p x q p q p x p q p x q q p x q p q p x p q p x q p x q p q p x

q p x q q p x

ϕ = + −

= + −

⎡ ⎤

= + − ⎣ ⎦

= + −

= Finalement :

(

^{ϕ ϕ}

)( )

^x ⁼ ^{p x}

( ) ( ) (

⁺^{q x} ⁻ ^{q p}

)( )

^x ⁼^ϕ

( )

^x

L’application p+ −q q p est une projection de E.

Question 2.

Commençons par déterminer kerϕ.

On a : x∈kerϕ ⇔ϕ

( )

x =0E ⇔

(

p+ −q q p

)( )

x =0E ⇔ p x

( ) ( ) (

+q x − q p

)( )

x =0E. On a alors : p x

( ) ( ) (

+q x − q p

)( )

x =0E⇒ p p x

( ( ) ( ) (

+q x − q p

)( )

x

)

= p

^{( )}

0E =0E. Mais :

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

E

E E

0 0 0

p p x q x q p x p p x p q x p q p x

p x

+ − =

⇔ + − =

⇔ =

En définitive : x∈kerϕ⇒ p x

( )

=0E.

Remarquons que cette première implication découle de l’hypothèse p q=0. De façon similaire :

( ) ( ) ( )( )

0E

( ( ) ( ) ( )( ) ) ^{( )}

0E 0E

p x +q x − q p x = ⇒q p x +q x − q p x =q =

(3)

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[3 - 4]

Janvier 2014

Mais :

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )

E E E E

0 0 0 0

q p x q x q p x q p x q q x q q p x

q p x q x q p x q x

+ − =

⇔ + − =

⇔ =

En définitive : x∈kerϕ⇒q x

( )

=0E.

Cette deuxième implication ne fait pas intervenir l’hypothèse p q=0. De x∈kerϕ⇒ p x

( )

=0E et x∈kerϕ⇒q x

( )

=0E on tire finalement :

( ) ( )

E E

ker 0 ker ker

0

x p x x p q

ϕ ^⎧⎪q x ⁼

∈ ⇒⎨⎪⎩ = ⇔ ∈ ∩

Par ailleurs, on a immédiatement :

( )

^E

( )( )

E

ker ker 0 0 ker

0

x p q p x p q q p x x

q x ⁼ ϕ

∈ ⇔⎧⎪⎨ ⇒ + − = ⇔ ∈

⎪⎩ =

∩

Ainsi : x∈ker p∩kerq⇔ ∈x kerϕ.

( )

kerϕ=ker p+ −q q p =kerp∩kerq

Déterminons maintenant Imϕ. Soit y un élément de Imϕ.

Il existe donc un vecteur x tel que ^y⁼^ϕ

( ) (

^x ⁼ ^p^{+ −}^q ^{q p}

)( )

^x ⁼ ^{p x}

( )

⁺^{q x}

(

⁻^{p x}

( ) )

^.

Ainsi, on en déduit immédiatement que y appartient à Imp+Imq. Ainsi : Imϕ ⊂Imp+Imq.

Soit maintenant y un élément de Imp+Imq.

Il existe donc deux vecteurs x et 'x tels que : ^y⁼ ^{p x}

( ) ( )

⁺^{q x}^' ^.

On a alors :

( ) ( ( ) ( )

^'

) ( ( ) ) ( ( )

^'

) ( )( ) ( )( )

^'

( )

p y = p p x +q x = p p x + p q x = p p x + p q x = p x . Et :

( ) ( ( ) ( )

^'

) ( ^{( )} ) ( ^{( )}

^'

) ⁽ ^{)( ) (} ^{)( ) (}

^'

^{)( ) ( )}

^'

q y =q p x +q x =q p x +q q x = q p x + q q x = q p x +q x Mais comme ^{p y}

( )

⁼ ^{p x}

( )

^{, on a}

(

^{q p}

)( ) (

^y ⁼ ^{q p}

)( )

^x ^.

Donc : ^{q y}

( ) (

⁼ ^{q p}

)( ) ( ) (

^x ⁺^{q x}^' ⁼ ^{q p}

)( ) ( )

^y ⁺^{q x}^' ^.

(4)

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( ) ( )

p y = p x et ^{q y}

( ) (

⁼ ^{q p}

)( ) ( )

^y ⁺^{q x}^' donnent, en additionnant membre à membre :

( ) ( ) ( )( ) ( )

^'

( )

y

p y q y q p y q x p x

=

+ = + +

Finalement : ^y⁼ ^{p y}

( ) ( ) (

⁺^{q y} ⁻ ^{q p}

)( ) (

^y ⁼ ^p^{+ −}^q ^{q p}

)( )

^y ⁼^ϕ

( )

^y ^.

D’où Imy∈ ϕ.

Ainsi : Imp+Imq⊂Imϕ. Finalement : Imϕ=Imp+Imq. On peut cependant être plus précis.

En effet, considérons y dans Imp∩Imq.

Il existe donc deux vecteurs x et 'x tels que : ^y⁼ ^{p x}

( )

⁼^{q x}

( )

^' ^.

On en déduit :

• D’une part : ^{p y}

( )

⁼ ^{p p x}

( ( ) )

⁼

⁽

^{p p}

^{)( )}

^x ⁼ ^{p x}

^{( )}

⁼ ^y^.

• D’autre part : p y

( ) (

= p q

)( )

x' =0E.

Finalement : y=0_E.

Ainsi Imp∩Imq=

{ }

0E et la somme Imp+Imq est directe.

Imϕ=Imp+Imq=Imp⊕Imq

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Soit E un K − espace vectoriel et p et q deux projections de E telles que : p q = 0

1. Montrer que ϕ = + − p q q p est une projection.

2. Déterminer ker ϕ et Im ϕ .

Analyse

Résolution

Question 1.

( )( ) ( ( ) )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( ( ) ) ( ( ) ) ( ( )( ) )

( ( ) ) ( ) ( ) ( )

( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

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( ( ) ) ( ) ( ) ( )

( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ( )( ) )

( )( )

( ) ( ( )( ) ) ( ) ( ( )( ) )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

(

)( )

( ) ( ) (

)( )

( )

Question 2.

( )

(

)( )

( ) ( ) (

)( )

( ) ( ) (

)( )

( ( ) ( ) (

)( )

)

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( ( ) ( ) ( )( ) ) ( )

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( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )( )

( )

( ) (

)( )

( )

(

( ) )

( ) ( )

( ) ( ( ) ( )

) ( ( ) ) ( ( )

) ( )( ) ( )( )

( )

( ) ( ( ) ( )

) ( ( ) ) ( ( )

( ( ) ) ( ^{( )} ) ( ⁽ ^{)( )} )

( ) ( ) ( ) ⁽ ^{)( )} ⁽ ^{) ( )} ( ) ( )( ) ( )

^{( )}

( ( ) ( ) ( )( ) ) ^{( )}

) ( ^{( )} ) ( ^{( )}

) ⁽ ^{)( ) (} ^{)( ) (}

^{)( ) ( )}

⁽

^{)( )}

^{( )}