Série n° 5

(1)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Série n° 5 d’exercices Corrigés sur « les intégrales et 2éme Bac S.M les sommes de Reimann »

Exercice 1

1 - Montrer que, si ^f ^:

 

^{a b}^; ^^IR est une fonction intégrable au sens de Riemann, on a :

 

1

1 1

lim

b n

a n

k

f t dt f a kb a

b a ^n _ n

  

   



 

 ^.

2 - En déduire les limites suivantes : a)

1

lim 1 tan

n

n k

k

n n

 

  



  b) ₂ ₂

1

lim

n

n k

n n k





  c)

1

lim ln

n n

n k

n

  n k

 

  

 



Correction de l’exercice 1

1 - Voir démonstration dans le cours (Intégrale de Reimann ) a) On a :

1 1

lim tan lim

n n

k k

n n n f n

   

   

   

   

 

^où ^{f x}^: ^tan

^{ }

^x

D’après la question 1) on obtient : ₀¹

 

1

lim 1 tan tan

n

n k

k t dt

n n

 

  

  

 

1 0

sin cos

ln cos ln cos1 t dt t

t



  

 



b) On a : ₂ ₂ ₂ ₂

1 1

lim lim 1

1

n n

k k

n n

n k n k

n

   

   

   

 

2 1

1

1 1

lim 1 lim 1

n

n k

n

n k

n f k

n n

 

    

 

    



où : ¹ ₂

f x 1

x

D’après la question 1) on obtient : ₂ ₂ ¹ ₂

1 0

lim 1

1

n

n k

n dt

n k t

 

  

 



^{Arc tan}



¹₀

4

x





c) On a :

1

1 1

lim ln lim 1ln

n n n

n n

k k

n n

n k n n k

   

    

     

   

 

, 1

lim ln

n

n



1 n

1

n

k k

n



 

 

 

   

  

 



(2)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 ¹

1

1 1

lim ln

1 lim 1

n

n k

n

n k

n f k

n n

 

 

 

  

  

 

    



où : ln ¹

f x 1

x

 

  

 

D’après la question 1) on obtient :

1 1 1 0

lim ln ln 1

1

n n

n k

n dt

n k t

 

    

     

   

 

Procédons par une intégration par partie pour calculer ¹

0

ln 1

1 dt

t

 

  

 



On pose :

1 1

ln1 1

1

u u

x x

v v x

   

  

   



Alors :

1

1 1

0 0

0

1 1 1

ln ln

1 dt x 1 t 1 dt

t x t

  

      

       

    

 

 

1 0 1 0 1 0

1 0

ln 1

2 1

1 1 1

ln 2 1

ln 2 1 1 1

ln 2 ln 1

ln 2 1 ln 2 2 ln 2 1

t dt t

t dt

t tdt

x x

     

   

    

   



     

   

  



Donc

1

lim ln 2 ln 2 1

n n

n k

n

  n k

    

  

 



Exercice 2

1. Montrer que si ^f ^:

 

^{a b}^; ^^IRest Riemann-intégrable,

alors : ^b

 

^b

 

a f x dx a f a b x dx

 

^.

2. Déduire les intégrales suivantes :

a) ₂

0

sin 1 cos

x x

xdx





 b)



₀^⁴^{ln 1 tan}



^ ^{x dx}



^.

Rappel :

     

   

tan tan

tan 1 tan tan

 

   

  



(3)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 Correction de l’exercice 2

1. on pose le changement de variable : t   a b x ; alors dt dx ; d’où :

   

 

b a

a b

b a

f a b x dx f t dt

f t dt f x dx

   



 



.

2. a) soit : ^sin₂ 1 cos

x x

f x  x ; on a d’après la question 1) ^b

 

^b

 

a f x dx a f a b x dx

 

^{; donc :}

   

 

2 2

0 0

0 2

2 2

0 0

2

sin sin

1 cos 1 cos

sin

1 cos

sin sin

1 cos 1 cos

sin

1 cos

x x

I dx dx

x x

x dx

x x x

dx dx

x x

 



 



 

 

  

 



 

 

 

 



 

0^ dxI



D’où : ₂

0

sin 2 1 cos

I x dx

x

 







Posons le changement de variable : ucosx ; alors

2

1 1

sin 1

dx du du

x u

   

 Donc :

1 2

2

I  u₂

2

1

1 u 1 u

   

1

1^ du

 

 

 



1 2 1 2

1

2 1 du 4

u

 

  





b) ₀⁴^{ln 1 tan}

 

₀⁴^{ln 1 tan}

J x dx 4 x dx

    





 



    

 

4 0

tan tan

1 tan t

4

4 an ln 1

x d x

x

 



   

    

 

 

   

    

 







   

 

4 0

tan

1 tan

1 ta ln 1 1

1 ln 2

n

x dx x

x dx



 

    

 

 



 



 



   

 

4 0

1 ta ln 2 ln ln 2 ln 2

n

4

dx

x J

J

x





 









D’où : 2 ln 2 J _4

; et par suite : ln 2 J _8