Série 5

MAT-22257 : Exercices COURS 5

Exercice 1 :

Démontrez l’énoncé suivant :

Sif :Z−→Zetg :Z−→Zsont deux applications strictement croissantes alorsf◦gest une application strictement croissante.

Rappel : étant donnée une applicationh:Z−→Z

• hest strictement croissante≡(∀x, x^! :Z|x < x^! :h(x)< h(x^!))

Exercice 2 :

Étant donnés les ensemblesA,B,CetD, que peut-on conclure sur leurs cardinalités ? a) – il existe une application bijective deAversC;

– il existe une application surjective deAversB; – il existe une application injective deAversD.

b) – il existe une application bijective deAversC; – il existe une application surjective deAversB; – il existe une application injective deAversD; – il existe une application surjective deB versD.

c) – il existe une application surjective deAversB; – il existe une application surjective deB versC; – il existe une application surjective deC versD; – il existe une application surjective deDversN. d) – il existe une application surjective deAversB, – il existe une application bijective deB versC, – il n’existe pas d’application injective deCversN,

Exercice 3 :

Rappel : l’ensemble!

x:Z, y :Z^∗ """: ^x_y #

est l’ensemble des nombres rationnels et est noté Q.

a) Démontrez queZ×Z^∗ est dénombrable en construisant en extension une application bijective.

b) Démontrez que la relationF définie par F : Z×Z^∗ −→ Q 'x, y( )−→ ^x_y

est une application surjective.

c) En utilisant a) et b), démontrez queQest dénombrable.

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