L.S.Marsa Elriadh
Série 5
M : Zribi
4
èmeSc
Exercices
Exercice 1:
soit la suite U définie par
0
1 2
0 1
3
n n
n
U U U
+ U
⎧ =
⎪ +
⎨ =
⎪ +
⎩
1) montrer que pour tout n∈IN ; 0≤ Un ≤1.
2) a) montrer que pour tout n∈IN ; Un+1 ≥ 1 2
Un
+ .
b) déduire les variations de U.
c) montrer que la suite U est convergente.
3) a) montrer que pour tout n∈IN ; 0 ≤ 1‐Un+1≤ 1(1 ) 2 −Un .
b) en déduire que 1‐Un ≤ ( )1 2
n
Exercice 2:
soit la suite U définie par
0
2 1
3 4 1
n n
n
U U U
+ U
⎧ =
⎪ +
⎨ =
⎪ +
⎩
1) a) montrer que pour tout n∈IN ; 0 < Un < 4.
b) étudier la monotonie de U et en déduire qu’elle est convergente.
2) a) montrer que pour tout n∈IN ; 0< 4‐Un+1 < 4
5(4‐Un).
b) en déduire que 0 < 4‐Un < ( )4 5
n
3) pour tout n∈IN*, on pose Sn=
1
0 n
k k
U
−
∑
=Montrer que pour tout n∈IN ; 0 < 4n‐Sn ≤ 4(1‐( ) )4 5
n
![n X k=1 2 5 k Puisque la série de terme 1 k 2 5 k est majorée par la série géométrique de raison r= 25 ∈]−1](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)