THÉORIE DU DÉVERSOIR

peu en aval d u p r e m i e r o u v r a g e , et o n e s s a y a v a i n e m e n t 1P constituer u n n o u v e a u barrage e n garnissant l'intervalle avec des fascinages et d e s sacs d e sable. M a i s o n n e tarda nts à reconnaître Piniitilité d e ce travail, et o n l'abandonna.

En juillet 1905, o n battit à n o u v e a u des pieux e n C, et o n les entrelaça a v e c d e s fascines d e m a n i è r e à constituer u n barrage oblique destiné à rejeter les e a u x d u Colorado dans'une branche d u fleuve située à la g a u c h e d e l'île, mais des affouillements n e tardèrent p a s à se produire et roirdut a b a n d o n n e r à n o u v e a u les travaux.

A R I Z O N A

Fis Ourle d u S a l t o n S e a , d e n n x p é r i a L V u H o y ef d e 1 e m b o u c h u r e d u C o l o r a d o

U n quatrième essai fut tenté e n n o v e m b r e 1905. O n pro- céda à la création d'un n o u v e a u barrage e n D, dont la fon- dation était constituée p a r d e s fascinages c h a r g é s d e pierres et traversés par des pieux. Il y avait à peine u n m o i s q u e ce barrage était établi qu'il fut e m p o r t é par u n e crue d u Rio NU a. Tout le Colorado se d é v e r s a alors d a n s l'Impérial Canal, se précipitant vers le Salton Sea. p e n d a n t q u e l'ancien lit devenait c o m p l è t e m e n t à sec.

F l G 1 — E m p l a c e m e n t s d e s p r i s e s d ' e a u et d e s t r a v a u x exr'cutés p o u r r a m e n e r le C o l o r a d o d a n s s o n a n c i e n lit.

On imagina alors de créer en E une dérivation et d'y établir un barrage en charpente, large de 61 m., et m u n i de PANNES On pensait ainsi faire passer, pendant les basses

«aux le débit du Colorado dans cette dérivation, de manière tS i na S On aise u n barras e -solide en travers- de la ( C P é a aussi' touJ °urs dans le m ê m e but, u n e

ludtneme prise d eau P4, en a m o n t des deux premières, et CONSTRUISIT en G un barrage en béton, m u n i de 11 vannes letaiiiques Taintor, de 3-60 de large et de 3»05 de haut. L a l«jse aeau n° 3 avait alors 549 mètres de largeur,

dénin* pa gn îe d u Southe r n Pacific, qui était obligée de V a i w î ^^{e s VOi es le l o ng d u Sa lt on Sea}'^{et d a n s} ^Impérial était J:-VANT Penvahisse m e n t des eaux, et dont le trafic

d i r P M K

V

d e basses e a u x , elle fit procéder, avec, g r a n d e activité, à rétablissement d'un barrage e n remblais r o c h e u x , établi e n H a u travers d e la brèche. C e barrage se continuait e n M par u n e digue d e 600 ni. d e longueur. O n réussit alors à faire passer l'eau p a r l a dérivation E . L e s u c c è s paraissait assuré, m a i s , s o u s l'influence d'une nouvelle crue, 36 m è t r e s d u b a r r a g e E furent e m p o r t é s , et le libre p a s s a g e était à n o u v e a u ouvert a u Colorado vers rimperial Valley-

L a digue r é c e m m e n t construite a y a n t tenu b o n , o n s o n g e a à clore la dérivation E , et, p o u r cela", o n y construis!

c o n s é c u t i v e m e n t trois barrages parallèles, 'chacun d'eux supportant u n e partie d e la c h a r g e d'eau. C e sixième essai d e clôture réussit provisoirement, et, le 4 n o v e m b r e 1906, le Colorado retournait vers le golfe d e Californie. M a i s , un.

m o i s après, u n e brèche se déclarait en K d a n s la digue M , et le Colorado retournait à n o u v e a u vers le Salton S e a .

D e u x millions d e dollars avaient déjà été d é p e n s é s vaine- m e n t , et d e s pertes incalculables causées a u x colons d e rimperial Valley. L a situation paraissant désespérée, M . H a r i m a n , président d e ia Southern Pacific C°, télégraphia- a u Président d e s États-Unis p o u r solliciter le c o n c o u r s d u G o u v e r n e m e n t fédéral. Celui ci prit alors d e s m e s u r e s en c o n s é q u e n c e .

Entre t e m p s , la Southern Pacific 0\proiitant d'une courte période d e basses e a u x , reprit activement les travaux.

D e u x paires de d e u x r a n g é e s d e pieux furent battues et garnies d'enrochements et d e remblais. Enfin, après diverses péripéties, le Colorado reprenait à n o u v e a u s o n ancien lit, le il lévrier 1907.

L e 2 avril 1907, a e u lieu u n e forte crue, m a i s la digue et les barrages ont résisté. C o m m e les ingénieurs ont d é s o r m a i s toute "latitude p o u r c o n s o h d e r les travaux exécutés, il y a tout lieu de croire q u e le Colorado est c o n d a m n é à retour- ner d'une m a n i è r e définitive vers le golfe d e Californie, à ln condition toutefois qu'on le surveille a v e c soin

M . P.

T H É O R I E D U D É V E R S O I R

R é c e m m e n t , M , BOUSSINESQ a p r é s e n t é a l ' A c a d é m i e d e s S c i e n c e s d e u x n o t e s s u r la t h é o r i e d e l ' é c o u l e m e n t d e l'eau p a r d é v e r s o i r . C e s d e u x n o t e s s o n t d'ailleurs la suite d ' u n e s é r i e d e n o t e s q u e c e s a v a n t a d o n n é a n t é r i e u r e m e n t s u r c e t t e q u e s t i o n .

L e d é v e r s o i r é t a n t l'un d e s m o d e s d e j a u g e a g e s les p l u s e m p l o y é s , et d e s p l u s c o m m o d e s , p o u r la m e s u r e d u r e n d e m e n t d e s m o t e u r s h v d r a u h q u e s , il n o u s a p a r u i n t é r e s s a n t d e r e p r o d u i r e ici les n o t e s d e M . B b u s s i n e s q , d ' a p r è s les Comptes Rendus de r Académie, el n o u s p u b l i o n s a u j o u r d ' h u i les d e u x p r e m i è r e s d e c e s n o t e s .

S u r la théorie d e

l'écoulement

D e tous les problèmes usuels de l'hydraulique, le plus rebelle à la théorie, jusqu'à présent, a été celui de l'écoule- ment par les déversoirs, surtout par les déversoirs en mince paroi, malgré la possibilité d'y supposer établie la perma- nence du régime, d'y négliger les frottements c o m m e dans les autres p h é n o m è n e s de contraction rapide de veines et, par suite, d'y appliquer le théorôme de Bernouilli, qui y donne v

( 0

(*) Note du 4 juillet 1887.

A titre docuroenjâire, nous signalerons à nos lecteurs qu'ils pourront trouver dans les comptes rendus de l'Académie, des Sciences "de 1 8 6 1 , page I I 2>nne note ^e M . BRASCHMANN établissant sa formule,*qui est très employée en.Alternative:

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1908036

in L A H O U I L L E B L A N C H E

p d é s i g n a n t la d e n s i t é , o u ç>g le p o i d s spécifique d u liquide,

^ l'altitude d e c h a q u e p o i n t a u - d e s s u s d u n i v e a u d u seuil, V la vitesse q u ' o n y o b s e r v e , p l'excédent d e la p r e s s i o n q u i s'y e x e r c e s u r celle d e l ' a t m o s p h è r e , enfin h l'altitude, c o n s t a n t e et d o n n é e , d e la s u r f a c e libre à q u e l q u e d i s t a n c e e n a m o n t d u d é v e r s o i r , d a n s les r é g i o n s d ' o ù p a r t e n t a v e c u n e vitesse s u p p o s é e n é g l i g e a b l e t o u s les filets fluides.

C e p e n d a n t B é l a n g e r , e n c o n s i d é r a n t le c a s particulière- m e n t s i m p l e d ' u n seuil é p a i s et é v a s é à s o n entrée, a u - d e s s o u s d u q u e l les filets fluides, t o u s rectilignes et h o r i z o n - taux s u r u n e petite l o n g u e u r , d o n n e r a i e n t H e u à u n e distribution h y d r o s t a t i q u e d e s p r e s s i o n s , a r e c o n n u , p a r c o m p a r a i s o n a v e c l'expérience, q u e la h a u t e u r ^ d e la l a m e d ' e a u paraissait s'y régler d e m a n i è r e à r e n d r e m a x i m u m le débit q p a r u n i t é d e l o n g u e u r d u d é v e r s o i r , te! qu'il se d é d u i t alors d e l à f o r m u l e ( i ) ; car/? s'y r é d u i s a n t à pg (r^t— la f o r m u l e (i) y d o n n e d ' a b o r d :

p u i s

V=\/ig (A —yj)

. / A

e x p r e s s i o n nulle a u x d e u x limites rt = o, vj = h et m a x i m a p o u r rt — * h, cas o ù elle atteint la v a l e u r :

h l/2gh =

o,385

à p e u p r è s c o n f o r m e a u x résultats d e l'observation.

E t l'on sent, e n effet, q u e le r é g i m e d ' u n c o u r s d ' e a u , d a n s u n lit d é t e r m i n é , n e doit d e v e n i r stable q u e l o r s q u e la m a s s e fluidey c o u l e p a r t o u t le p l u s b a s possible, c'est-à-dire, e n particulier, q u a n d , à l ' a m o n t d ' u n d é v e r s o i r , le n i v e a u g a r d e la h a u t e u r s t r i c t e m e n t suffisante p o u r q u e les vitesses V régies p a r la f o r m u l e ( i ) f o u r n i s s e n t le débit obligé d u c o u r s d ' e a u . L'altitude d ' a m o n t h est d o n c m i n i m a p o u r u n e v a l e u r d o n n é e d e q, ce q u i r e v i e n t é v i d e m m e n t à p r e n d r e q m a x i m u m , si c e n'est a u contraire la h a u t e u r h q u e l'on d o n n e .

L e p r i n c i p e d e débit m a x i m u m d o n t B é l a n g e r a e u l'idée étant ainsi r e g a r d é c o m m e a c q u i s , je m e p r o p o s e , d a n s cette n o t e , d'en faire l'application a u x d é v e r s o i r s e n m i n c e p a r o i , et à n a p p e libre, c'est-à-dire e n contact a v e c l'air a t m o s - p h é r i q u e , i n t é r i e u r e m e n t c o m m e s u p é r i e u r e m e n t , p o u r le cas très u s u e l o ù il n'y a p a s d e contraction latérale, le d é v e r s o i r s'étendant p a r e x e m p l e à t o u t e la l a r g e u r d u réservoir d u lit d ' a m o n t , et les m o l é c u l e s fluides se m o u v a n t d e la m ê m e m a n i è r e d a n s les p l a n s verticaux p e r p e n d i c u - laires à l'arête d u seuil. A l o r s , il y a, u n p e u e n aval d e d e celui-ci, u n e section contractée, s e n s i b l e m e n t verticale, o ù t o u s les filets fluides p e u v e n t être s u p p o s é s parallèles, m a i s1

n o n p l u s rectilignes, c o m m e a u - d e s s o u s d ' u n seuil h o r i - zontal é p a i s ; car la p r e s s i o n p, nulle s u r la face inférieure d e la n a p p e d e d é v e r s e m e n t , n e varie p l u s d ' a p r è s la loi h y d r o s t a t i q u e entre cette face et la face s u p é r i e u r e .

L ' h y p o t h è s e la p l u s s i m p l e q u ' o n p u i s s e faire s u r les f o r m e s respectives d e s filets, p r è s d e la section contractée est, v u la c o u r b e p l u s forte d e s filets inférieurs, qu'ils y a d m e t t e n t t o u s u n c e n t r e c o m m u n d e c o u r b u r e , et, p a r suite, u n r a y o n R e x p r i m é p a r R0 - f * — €.

Si R* d é s i g n e le r a y o n d e c o u r b u r e le p l u s b a s , et e LaltU t u d e d e c e fiiet a u - d e s s o u s d u seuil, c'est-à-dire le relèvement m a x i m u m total é p r o u v é à partir d u seuil p a r la face inférieure d u jet liquide f o r m é e d e particules q u i o n t glissé c o n t r e la surface d ' a m o n t d u d é v e r s o i r et q u i , p a r consé- q u e n t , à l'instant o ù elles quittent le seuil, p o s s è d e n t une vitesse a s c e n d a n t e , verticale m ê m e d a n s le c a s d ' u n déver«

soir vertical. C e r e l è v e m e n t £ est é v i d e m m e n t fonction de l'inclinaison d u d é v e r s o i r , et je s u p p o s e r a i s o n r a p p o r t à la h a u t e u r h d e c h a r g e f o u r n i d i r e c t e m e n t , c o m m e donnée p o u v a n t s u p p l é e r à la c o n n a i s s a n c e d e l'inclinaison dont il s'agit.

C e l a a d m i s , le l o n g d ' u n c h e m i n fd%, n o r m a l a u x filets fluides d a n s la section [contractée, l'accélération d e s molé- c u l e s a u r a , p o u r projection s u r ce c h e m i n , sa composante centrifuge 5-^ o u —

R R + 7 — z

1 dp

et l'équation c o n n u e - = — g- - w y sera F2

Substituons y la valeur de - ^ que donne la différentia-

P dp n

tion de (1), et qui est

— g- V àV

11 viendra, en multipliant par (R⁰ + \ — s), divisant par V et transposant :

£[r<*» + T - « > ] = °

o u , p a r u n e intégration i m m é d i a t e d a n s le p l a n d e la section c o n t r a c t é e :

V(R0 + ? — e) = C o n s t a n t e (3)

relation q u i , jointe à (1), t i e n d r a é v i d e m m e n t lieu delà p r é c é d e n t e (2). D o n c , a u x p o i n t s o ù ils t r a v e r s e n t la section contractée, les filets fluides p o s s è d e n t ( c o m m e d a n s les t o u r b i l l o n s à a x e vertical) d e s vitesses V i n v e r s e s de la d i s t a n c e (R0 + % — e) à leur c e n t r e d e c o u r b u r e . O r , pour ï = £, c'est-à-dire à la s u r f a c e libre inférieure, la p r e s s i o n ; s ' a n n u l e , et l'équation (1) d o n n e V = \/2g (h — s), valeur q u i , p o r t é e a v e c celle e d e \ d a n s la f o r m u l e ( 3 ) , y déter- m i n e la c o n s t a n t e . Il vient, a u lieu d e ( 3 ) , e n divisant par Ro + ? - e :

E t c o m m e d'ailleurs cette v a l e u r d e V doit, à la surface s u p é r i e u r e , o ù p — o , se r é d u i r e d ' a p r è s ( i ) à j / 2g (h—&

il e n résulte u n e relation e n t r e l'épaisseur 73 — \ —• e delà n a p p e d é v e r s a n t e et le r a y o n R0 d e c o u r b u r e d u filet infé- rieur. S i l'on p r e n d , e n effet, 7 = t + rt d a n s (4) et pat suite :

V = [/ 2 ^ (h — e

on obtient la proportion :

1)

l/h — t — r, Ra

Rn

d'où :

Rⁿ = r,

{/ h — e — ^ \/h^— e ' — y

Appelons, p o u r a b r é g e r , i — k$ le r a p p o r t d e la h a u t e u r

r de la section c o n t r a c t é e à la h a u t e u r h — e, d u n i v e a u 'd'amont a u - d e s s u s d u b o r d inférieur d e cette s e c t i o n , o u

posons : ^

T r = ( r - ^ ) ( / ^Z - s ) ( 6 ) I

et par c o n s é q u e n t , v u (5) : k(i — &2)

Un (h-*) = (k + ïfi)(h-£) (7)

Le r e l è v e m e n t s d u b a s d e la n a p p e étant s e n s é d o n n e r (avec la h a u t e u r h d e c h a r g e ) , l'expression (7) d e Ro, celle (4) de, V et enfin l'expression.xle p, r é s u l t a n t d e l'équation ( x ) , rie d é p e n d r o n t p l u s , q u e d e l'ipaisseur e n c o r e i n c a n n u e r^t d e là nappe sur la section c o n t r a c t é e , c'est-à-dire,* e n définitive, du n o m b r e A*'; et cette v a l e u r d e p. s ' a n n u l e r a b i e n a u x d e u x limites .j = s el ^ = s + r⁽ d ' a p r è s la m a n i è r e d o n t o n en a déduit d e (1); ~à c e s l i m i t e s , les v a l e u r s s i m p l e s

f / Â G T / ^ ^ E ) d e V' i n d i q u é e s p a r les f o r m u l e s (4), (5) ou (7)

Il est b o n d ' o b s e r v e r q u e ia relation (2), o ù V décroît ôû

lorsque { g r a n d i t , fournit u n e d é r i v é e ^ - e l l e - m ê m e d é c r o i s - ai

santé q u a n d ç croît et q u e , p -s'annulait a u x d e u x limites

» = a, ç = - e v j , s a d é r i v é e s ' a n n u l e d a n s l'intervalle, d e manière à être d ' a b o r d positive, .puis n é g a t i v e , o u à r e n d r e la pression p positive c o m m e d a n s tout-l'intérieur d e la section contractée.

La valeur m a x i m a d e p s è p r o d u i t d e k sorte d ' a p r è s (2)

PDILR ;

V*=g(R⁰ + ;-£)

c'est-à-dire, vu'(4), p o u r : et il faut, e n v e r t u d e ( 1 ) :

#lh - « + R⁰)

= = 1 ^ 1 »

Si nous i n t r o d u i s o n s , d a n s c e s résultats, l'expression (7) feR, nous a u r o n s , p o u r calculer cette v a l e u r d e \ — e t la pression m a x i m a p c o r r e s p o n d a n t e , les d e u x f o r m u l e s :

(k + Je*

3

£ ^ , ( * ± * ) ]

_ .

|

U n e reste p l u s q u ' à d é t e r m i n e r l ' i n c o n n u p d e m a n i è r e à

rendre m a x i m u m le débit :

q=l VM

A Cet effet, la v a l e u r (4) d e ^ m u l t i p l i é e p a r d ç , et i n t é g r é e ' k ^ s à ^ — e-fy) d o n n e , e n s u b s t i t u a n t à *j et à R⁰ l e u r s

•alcurs (6) et (⁷) :

l/^gih-eyR.iog¹^^-

q = ₍₉₎

L e débit q p a r u n i t é d e l o n g u e u r d u d é v e r s o i r se*- t r o u v e d o n c , q u a n d o n fait varier k p r o p o r t i o n n e l à la f o n c t i o n (k -f- £²) log -jjpessentiellement positive e n t r e les d e u x limites k — o et k — i ; m a i s nulle à ces d e u x limites, et p a r c o n s é q u e n t m a x i m a p o u r u n e certaine v a l e u r i n t e r m é - diaire d e k. L a d é r i v é p d e cette f o n c t i o n est, a p r è s s u p p r e s - s i o n d u facteur positif (t + 2k) :

T 1 1 + k

k positif.

p o u r sa

(IO)

p r o p r e d é r i v é e q u a n t i t é a y a n t ,

1

+

• ^ - 7 — ' 'essentiellement n é g a t i v e : e n sorte q u elle n e s ' a n n u l e o u d o n n e b i e n à la fonction u n m a x i m u m u n i q u e p a r f a i t e m e n t d é t e r m i n é . O r , la v a l e u r d e A: p o u r laquelle

Î ï 4 - À*

o n a ainsi log ^T = — — e s t de. 0,46854; et il e n résulte rt t -P- 2 n

p o u r rⁿ R^&1 q, d ' a p r è s (G), (/) et (q) les v a l e u r s : rt — 0,7805 Çl — e),

/ ?^{f t}= 0,6881 {h — e) _{( 1 1 )}

= o ,5 21-6 2g {h

—

Q u a n t à la s e c t i o n - m a x i m a d a n s la section c o n t r a c t é e , et à la h a u t e u r ^ — e o ù celte p r e s s i o n se p r o d u i t , elles s o n t d ' a p r è s les f o r m u l e s (8) :

P = -0,2 r5i pg(h — z) !

~ — e =zz 0,2939 (h — s) S ^{( 1 2 )}

"Celle d e s f o r m u l e s p r é c é d e n t e s q u i i m p o r t e le p l u s d a n s ia p r a t i q u e est l'expression (1 i ) d u d é b i t q à laquelle o n p e u t d o n n e r la f o r m e . :

q — mh{/ %gh-

e m p l o y é e d e p u i s D u B u a t p a r les h y d r a u l i c i e n s , e n attri- b u a n t a u x coefficient d e d é p e n s e m la v a l e u r :

;/j = 0,52

lt>.

14 L A H O U I L L E B L A N C H E

d e s traits, les u n s h o r i z o n t a u x , les a u t r e s verticaux, il a p u , n o n s e u l e m e n t c o n s t a t e r le fait d u r e l è v e m e n t d e la face inférieure d e la n a p p e , q u i avait, paraît-il, é c h a p p é jusqu'ici a u x h y d r a u l i c i e n s , m a i s e n c o r e e n m e s u r e r très a p p r o x i m a - t i v e m e n t la v a l e u r e. Il a ainsi t r o u v é q u e le r a p p o r t ~ était à fort p e u p r è s d e o,i3 d a n s le c a s d ' u n d é v e r s o i r a y a n t s a face d ' a m o n t verticale. L a v a l e u r t h é o r i q u e (i3) d e m s e r a d o n c o,52i(5. (0,87)^ o u 0,423, et c'est b i e n , e n effet, à q u e l q u e s m i l l i è m e s p r è s , le coefficient d e d é b i t q u e d e

^ n o m b r e u s e s o b s e r v a t i o n s , d a n s les c o n d i t i o n s les p l u s diverses, o n t d o n n é p o u r ces d é v e r s o i r s .

S u r la théorie d e s déversoirs e n m i n c e paroi et à n a p p e , soit d é p r i m é e , soit soulevée, c'est-à-dire s o u m i s e intérieurement à u n e pression constante, plus petite o u plus g r a n d e q u e celle d e l'atmosphère exercée au-dessus C).

I. — J'ai m o n t r é , d a n s u n e n o t q d u 4 juillet, c o m m e n t la théorie d e s d é v e r s o i r s e n m i n c e p a r o i , s a n s c o n t r a c t i o n latérale et à nappe libre, p e u t être édifiée s u r ia s u p p o s i t i o n naturelle d e filets parallèles à l'endroit o ù ils traversent la section c o n t r a c t é e , c'est-à-dire y a y a n t s u r t o u t e l'épaisseur d e la n a p p e u n c e n t r e c o m m u n d e c o u r b u r e , a v e c a s s i m i l a - tion d u r e l è v e m e n t total s q u ' é p r o u v e , p r è s d e la p a r o i d o n t elle s'est d é t a c h é e , la face inférieure d e la n a p p e , à la

c o n t r a c t i o n d ' u n e v e i n e issue d ' u n orifice ; e n sorte q u e le r a p p o r t d e ce r e l è v e m e n t s à îa h a u t e u r h ( a u - d e s s u s d u seuil) d u n i v e a u d ' a m o n t , h a u t e u r q u i m e s u r e e n q u e l q u e sorte le d i a m è t r e c o r r e s p o n d a n t d e l'orifice p r o p o s é , soit, p o u r c h a q u e f o r m e d u b a r r a g e , u n véritable coefficient c o n s t a n t d e contraction, à d é t e r m i n e r p a r l'expérience.

T o u t e f o i s , p o u r é v a l u e r l'épaisseur r, d e l à n a p p e , c'est-à- dire la h a u t e u r d e la section c o n t r a c t é e et, p a r suite, le débit q d e l'unité d e l o n g u e u r d u d é v e r s o i r , il faut, à l'expression d e <7, d e la f o r m e q = F (h, r,), d é d u i t e a u m o y e n d e c e s h y p o t h è s e s d e l'équation d e D . B e r n o u l l i , a p p l i q u e r u n p r i n c i p e d e débit m a x i m u m , i m a g i n é p a r B é l a n g e r , q u i d o n n e , c o m m e relation e n t r e r^k et h, l'égalité à z é r o d e la d é r i v é e d e q e n rr

J e c o m m e n c e r a i ici p a r m o t i v e r ce p r i n c i p e , o u plutôt ce postulat um, e n i m a g i n a n t q u e , s u r le c o u r s d ' e a u à débit

c o n s t a n t d o n t il s'agit, le n i v e a u d'aval ait été, d ' a b o r d , t e n u assez h a u t p o u r n o y e r le d é v e r s o i r , et p u i s , a b a i s s é p e u à p e u J u s q u ' à p r o d u c t i o n , s u r le b a r r a g e , d u r é g i m e d é s o r - m a i s invariable q u e l'on é t u d i e , c'est-à-dire j u s q u ' a u p o i n t à partir d u q u e l les a b a i s s e m e n t s ultérieurs cessent d e s e p r o p a g e r s u r la section c o n t r a c t é e et, surtout, d e r e m o n t e r la c h u t e p r é c é d a n t cette section. L ' a p p r o c h e d ' u n tel état limite, o ù s'évanouit l'influence, s u r /z, d u n i v e a u d'aval, doit n a t u r e l l e m e n t être a n n o n c é e p a r u n e a t t é n u a t i o n indéfinie d e cette influence, n o n s e u l e m e n t entre l'aval et la section c o n t r a c t é e , m a i s aussi entre la section c o n t r a c t é e s l ' a m o n t d u d é v e r s o i r . D o n c , u n e dernière d i m i n u t i o n ,

— d (e + Y}), d e la h a u t e u r e + r^{ d e l'eau ( a u - d e s s u s d u seuil) d a n s la section c o n t r a c t é e n ' a u r a p r o v o q u é q u ' u n e d i m i -

(*\ Séance du 10 octobre 1887,

n u t i o n — dh i n f i n i m e n t p l u s faible d e la h a u t e u r A d'amont- et le r a p p o r t d e dh à d^ + dt a u r a été n u l a u m o m e n t oj s'établissait le r é g i m e d o n t o n c h e r c h e les lois. C'est dire q u e , d a n s la relation q = F (A, yj), o b t e n u e entre r^{ et J p o u r t o u s les états p a r lesquels p a s s e l ' é c o u l e m e n t sans q u e q varie, il faut choisir 73 d e m a n i è r e à a n n u l e r le rapport d e dh à dvî + de, o u s i m p l e m e n t d e dh à dyj, v u la propor- tionnalité a d m i s e d e e à h et d e de à dh.

O r , égaler ainsi à z é r o la d é r i v é e d e h p a r r a p p o r t d a n s la relation q — F (//, vj), o ù T o n s u p p o s e q invariable^

c'est, d ' a p r è s le p r i n c i p e d e F e r m â t , r e n d r e A m i n i m u m , ou choisir p o u r n i v e a u d ' a m o n t le p l u s b a s q u i soit capable de f o u r n i r le d é b i t e x i g é q ;

E t la relation :

dq dq dh dri d/z drt

d é d u i t e d e q = const., r e v i e n t b i e n alors, p a r la disparition d e s o n s e c o n d t e r m e , à a n n u l e r la d é r i v é e d e q e n vj, oui r e n d r e le débit q m a x i m u m p o u r u n e h a u t e u r donnée d ' a m o n t /z, c o n f o r m é m e n t à l'idée q u ' à e u e B é l a n g e r .

I L — M a i s , il p e u t arriver q u ' u n e p r e s s i o n constante»

— npg (h — s), a y a n t p a r unité d'aire u n certain rapport,

— w, a u p o i d s d ' u n e c o l o n n e d e liquide d e la h a u t e u r connue h — s, s'exerce s o u s ia n a p p e , et la déprime o u la souïm s u i v a n t q u e c e sera u n e non-pression o u u n e pression proprement dite., c'est-à-dire u n déficit o u u n e x c é d e n t par

r a p p o r t à la p r e s s i o n a t m o s p h é r i q u e d o n t o n fait abstrac- tion. L a n a p p e s e r a d o n c déprimée si // est positif (ce qui arrive a s s e z f r é q u e m m e n t ) , soulevée si n est, a u contraire, négatif. L e r a p p o r t d e e à A se t r o u v e p r o b a b l e m e n t diminué d a n s le p r e m i e r cas et a c c r u d a n s le s e c o n d ; m a i s , c o m m e sa v a l e u r p o u r le c a s i n t e r m é d i a i r e n = o est assez forte (0,14 e n v i r o n ) , il est p r é s u m a b l e q u e s a partie variable;

d ' u n e f o r m e telle q u e — An, reste, s o u v e n t , p e u sensible en c o m p a r a i s o n . 11 suffit, d'ailleurs, q u e r a p p o r t ce soit, pour c h a q u e f o r m e d e d é v e r s o i r , u n i q u e m e n t f o n c t i o n d u nombre d o n n é n caractérisant la n o n - p r e s s i o n e x e r c é e s o u s la nappe, o u m ê m e , d ' u n e m a n i è r e p l u s g é n é r a l e , q u e le relèvements d e la face inférieure d e celle-ci se t r o u v e d é t e r m i n é dès que h et n le s o n t , p o u r q u e la m ê m e m é t h o d e c o n d u i s e à une e x p r e s s i o n d e q e n c o r e f o n c t i o n d e s d e u x s e u l e s variables distinctes /z, r^b et c o m p o r t a n t , p a r suite, e n v e r t u d u raison- n e m e n t p r é c é d e n t , l'application d u p r i n c i p e d e débit m a x i m u m .

L a m a r c h e à s u i v r e est i d e n t i q u e m e n t celle d e m a note do 4 juillet, d o n t j'adopterai ici les n o t a t i o n s et les calculs. Rien n'y sera c h a n g é jusqu'à la f o r m u l e (4), q u i , à raison de la v a l e u r — npg (h — s), et n o n p l u s z é r o , d e la pression e x e r c é e s u r la face inférieure d e la n a p p e , d e v i e n d r a :

E t l'on sera c o n d u i t e n s u i t e , e n a p p e l a n t k u n e quantité c o m p r i s e e n t r e z é r o et l'inverse d e f/'i -f n q u a n d r^è l'est entre /z — s et z é r o , à p o s e r :

* = v ^ t ^ S t t f ) •» î f r , - • - " 0 + ») ®

; d ' o ù il r é s u l t e r a , p o u r le d é b i t q, la f o r m u l e :

j y\g(lx - e ) {^t -t- w ) # ⁰ tog. |

| = Y / ^

(A _

)i f

⁰⁶⁾

log k

avec : 3

t(*) = [ ( * V

+

)-(

\/

+")' J

L e q u o t i e n t , e s s e n t i e l l e m e n t positif, d e l o g /e p a r & — i n e p r é s e n t e a u c u n e discontinuité p o u r là v a l e u r k = i ( q u i le rend égal à i ) , et, s'il d e v i e n t infini à la limite h = o , l'influence p r é p o n d é r a n t e d u facteur e n t r e c r o c h e t s , d a n s l'expression d e f ( & ) , r e n d , e n définitive, cette f o n c t i o n f (k) nulle a u x d e u x l i m i t e s ^ / / i + « = o e t i j / 1 H - w ===== i, e n t r e lesquelles seules elle est positive et doit être c o n s i d é r é e . Elle y a d o n c le m a x i m u m q u ' o n c h e r c h e et q u i s'obtiendra en a n n u l a n t la d é r i v é e f (k). O r , l'équation f (k)= o, r é s o l u e par rapport à A2 (i + « ) , d o n n e l'équation (17) s u i v a n t e :

loe k

+

négatif. D o n c , d ' a p r è s la d e r n i è r e ( i 5 ) , k n'a p a s à d é p a s s e r l'unité; c e q u i n e laisse © (k) varier q u e d e 2 à 4, k~ (E + n) d e ~ à n d e 00 à —- ~, et, l'épaisseur rk d e la l a m e , d e .T (/z — 6 ) à î ( / i — e),, c'est-à-dire d u o n z i è m e s e u l e m e n t d e D D J J

sa v a l e u r m o y e n n e — (h — s), d e part et d'autre d e celle-ci, t a n d i s q u e le r a y o n d e c o u r b u r e i ?0 croît d e z é r o à l'infini.

P a r suite, d ' a p r è s ( t 6 ) , le r a p p o r t f (k) = M d u d é b i t q, à k

U n e valeur positive q u e l c o n q u e , attribuée à k} r e n d r a f (k) m a x i m u m p o u r la v a l e u r d e n résultant i m m é d i a t e m e n t d e cette r e l a t i o n (17); et il suffira d e faire, d a n s celle-ci, varier A , p o u r f o r m e r le t a b l e a u d e s v a l e u r s c o r r e s p o n d a n t e s d e ;/, puis, grâce à (16) et (i5), celui d e s m a x i m a M — f (k), ainsi q u e d e s r a p p o r t s d e rt et d e R0 à h •— s.

Jfc = .. o o, t 0,2 o,3 0,4

. o c 24,28 4?979 ï,5575 0,3961 0,0667 0,7472 0,7608 0,7698 0,7766

o o , o 8 3 o 0,1902 0,3299 o,5177 n ~

h h Mon

l/2g(h—*)*

oc 0,9612 0,748b o,6352 o , 5 6 o 5

III. — P o u r v o i r c o m m e n t s e s u c c é d e r o n t les v a l e u r s de étudions, d a n s (17), la f o n c t i o n 9 ( £ ) , q u i , é g a l e à 2 p o u r k n u l et à 2 l o g À - ( s e n s i b l e m e n t ) p o u r k très g r a n d , n e cesse p a s d'être c o n t i n u e p o u r la v a l e u r k = 1, p r è s d e laquelle log d é v e l o p p é e n série s u i v a n t les p u i s s a n c e s de h ~~ 1, a c o m m e1 i n v e r s e — ( 1 + 1 — . .. ) =

1 1 II — J \ 2 /

JZZT], ~ f j — • * * 1 d o n n a n t ainsi <p (k) = 4 à la limite k — 1.

Cette fonction o (k) croît s a n s cesse a v e c k. E n effet, la d e u x i è m e relation (17), différenciée, m o n t r e q u e q u e <f (k) a k signe d e (r — kf — k (log kf, f o n c t i o n e s s e n t i e l l e m e n t positive; car, c o n t i n u e a v e c s e s d é r i v é e s , p o u r k > 0, et nulle, avec s a d é r i v é e p r e m i è r e , p o u r k = t, elle a s a dérivée s e c o n d e d e m ê m e s i g n e q u e l'expression k—i — log dont le m i n i m u m , atteint p o u r k — 1, est z é r o . A i n s i , lorsque k grandit d e z é r o à l'infini, 9 (k) croît d e 2 à l'infini ;

et! d ' a p r è s (17), le p r o d u i t h? (r + n) d i m i n u e d e ~ à z é r o ,

o u « de l'infini à — 1. M a i s , la n a p p e d é v e r s a n t e étant toujours c o n c a v e e n d e s s o u s , le r a y o n R0 d e c o u r b u r e d e s a

inférieure, s u r la section c o n t r a c t é e , n e d e v i e n t j a m a i s

]/ 2g (h — s)^ v a r i e r a s u r t o u t à r a i s o n d u facteur

O r , celui-ci est d é c r o i s s a n t ; c a r s a d é r i v é e a le s i g n e d e l'expression^ 1 — l o g |-, o u ( r — x)-\- l o g x , q u i atteint s o n m a x i m u m z é r o p o u r x = i. C'est à dire q u e le coeffi- cient M d e la f o r m u l e M [/ 2g (h — s)s d u d é b i t varie, c o m m e l'on p o u v a i t s'y a t t e n d r e , e n s e n s i n v e r s e d e k, et d a n s . l e m ê m e s e n s q u e la n o n - p r e s s i o n m e s u r é e p r o p o r t i o n - n e l l e m e n t p a r n. S a v a l e u r la p l u s faible c o r r e s p o n d d o n c à k = 1 et à R0 = oc, .ou à u n e f o r m e rectiligne d e s filets d a n s la section c o n t r a c t é e (ce q u i e n t r a î n e u n e distribution h y d r o s t a t i q u e d e s p r e s s i o n s s u r cette s e c t i o n ) ; elle est :

^ = 0 , 3 5 7 8 .

V o i c i , d'ailleurs, les résultats d u calcul p o u r les v a l e u r s d e h m u l t i p l e s d e o,ï, a v e c intercalation d e c e u x q u i c o r r e s - p o n d e n t a u c a s 11 = o d e la n a p p e libre, et q u e j'avais d é d u i t s , à m a n o t e d u 4 juillet, d e f o r m u l e s c o m p r i s e s d a n s les p r é c é d e n t e s :

0,46854 o,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

o - o , 1283 -0,4074 -0,5726 -0,6783 -0,7494 - o?8 0,7805 0,7821 0,7867 0,7906 0,7941 0,7971 0,8 0,6881 0,7821 1,1800 1,845 3,176 7,174 00 o,52i6 o,5o6i 0,4640 o,43oi 0,4020 0,3783 0,3578

IV". — D e s d é t e r m i n a t i o n s p r é c i s e s d u r e l è v e m e n t e, p o u r les n a p p e s libres se d é t a c h a n t d e d é v e r s o i r s e n m i n c e p a r o i et à face d ' a m o n t verticale, o n t été faites r é c e m m e n t p a r M . B a z i n (*); elles o n t d o n n é , p o u r le r a p p o r t d e s à A>

c o m m e résultats m o y e n s , r e s p e c t i v e m e n t 0,142, o , r 3 6 , 0,137, o,t33, e n t r e h = om2o et om2 5 , om2 5 et om3 o , om3 o et om3 5 , om3 5 et om4 2 . P o u r d e m o i n d r e s v a l e u r s d e //, q u i o n t varié d e omi 5 à oi n2o,'ce r a p p o r t a e u la v a l e u r m o y e n n e , p l u s é l e v é e , 0,167;m aî s o n Peut c r a i n d r e q u e l ' a p p r o x i m a - tion n'y ait p a s été suffisante s u r les très petits r e l è v e m e n t s alors o b s e r v é s a, d e omo 3 a u p l u s . C'est p o u r q u o i j'adopterai c o m m e v a l e u r n o r m a l e d u r a p p o r t d e e â hf pout* le g e n r e d e d é v e r s o i r s d o n t il s'agit, le n o m b r e e x a c t d e c e n - t i è m e 0,14, c'est-à-dire la m o y e n n e (0,137) d e s q u a t r e p r e m i e r s résultats c i - d e s s u s , u n p e u f o r c é e p o u r tenir c o m p t e d e c e q u e la h a u t e u r d u d é v e r s o i r ( imi 3 ) n'était p a s indéfinie, c o m m e o n le s u p o s e , ni, p a r suite, la c o n t r a c t i o n e

(*) Sans l'interposition de la paroi latérale en verre, dont il est parlé à la fin de m a note d u 4 juillet, mais dont l'expérience a montré l'inutilité et les inconvénients.

1 1 6 L A H O U I L L E⁸ B L A N C H E

c o m p l è t e . A l o r s , k t a b l e a u c i - d e s s u s d o n n e r a , d a n s le c a s d ' u n e n a p p e libre :

q = 0,4160 h \/~2gïi ^ = 0,6712 h R⁰ -_— 0,5918 h — 4 , 2 2 7 s

L e s e x p é r i e n c e s d e M . B a z i n c o n f i r m e n t , o n n e p e u t m i e u x , cette e x p r e s s i o n d e q. E l l e s n ' o n t p a s e n c o r e p o r t é s u r l'épaisseur Y;, d o n t le m ë s u r a g e s e r a d'ailleurs, à c e qu'il s e m b l e , a s s e z aisé. M a i s la c o n f r o n t a t i o n serait p l u s difficile e n c e q u i c o n c e r n e le r a y o n d e c o u r b u r e R ⁰ d u d e s s o u s d e la n a p p e dans s a partie la p l u s h a u t e . O n p e u t , toutefois, c o n t r ô l e r j u s q u ' à u n certain p o i n t s a v a l e u r t h é o r i q u e 4,227 e g r â c e a u tracé q u ' a e u soin d e faire M . B a z i n s u r p l u s i e u r s profils e n l o n g d e cette s u r f a c e o b s e r v é s p a r lui, d e la c o r d e h o r i z o n t a l e é m a n é e d u seuil. S a l o n g u e u r a é t é t r o u v é e c o n s t a m m e n t égale à 5s, d o n t u n tiers, soit e n v i - r o n 1,7 e, e n d e ç à d e la f l è c h e s , et les d e u x a u t r e s tiers, o u 3,3 s, a u delà. O r , T a r e d e cette c o r d e , é v i d e m m e n t Vertical a u d é p a r t c o m m e la vitesse a s c e n d a n t e d e s filets fluides q u i le d é c r i v e n t et q u i o n t glissé sur la face a m o n t d u d é v e r s o i r , t o u r n e d ' a b o r d très vite, p o u r d e v e n i r horir zontal a u s o m m e t d e la flèche e, et p r é s e n t e ainsi d e s c o u r b u r e s d e p l u s e n p l u s l e n t e m e n t d é c r o i s s a n t e s , jusqu'à îa s e c o n d e e x t r é m i t é d e la c o r d e c o n s i d é r é e 5E. D o n c , cette m ê m e c o r d e , m a i s p r o l o n g é e e n d e ç à d u seuil, et s u p p o s é e t e r m i n é e d e part et d'autre à la c i r c o n f é r e n c e 2T.R⁰ o s c u l a - trice a u s o m m e t , a u r a , d e c h a q u e c ô t é d e la flèches, u n e l o n g u e u r , J/'(2./?⁰— e)e, e x c é d a n t n o t a b l e m e n t p l u s 1,7 s, v e r s le seuil, qu'elle n e sera inférieure à 3,3 e, a u d e la flèche. O r , c'est p r é c i s é m e n t c e q u i résulte d e la v a l e u r t h é o r i q u e R⁽⁾ = 4,227 e; c a r o n * e n d é d u i t :

j/(2i?0 — £> = 2,730 £.

V . — Il est clair, p a r les m ê m e s c o n s i d é r a t i o n s , q u e , d a n s u n d é v e r s o i r à n a p p e d é p r i m é e , le r a p p o r t d e i ?⁰ à s n e p o u r - rait décroître j u s q u ' à u n e limite telle q u e l'unité, o u le c e n t r e d u cercle 2-R⁰ oscillateur a u p o i n t le p l u s h a u t d e îa face i n f é r i e u r e d e la n a p p e s'élever e n v i r o n j u s q u ' a u n i v e a u d u seuil et m ê m e s e u l e m e n t e n a p p r o c h e r , s a n s q u e , p a r le fait m ê m e , cette face r e d e v î n t , e n d e s c e n d a n t , verticale d è s c e n i v e a u o u u n p e u - a u - d e s s o u s , Délaissant ainsi, entre elle et lè d é v e r s o i r , q u ' u n e m i n c e c o u c h e d'air, d ' u n e é p a i s s e u r à p e i n e s u p é r i e u r e à 2e, e r d o n t l ' e n t r a î n e m e n t , d è s l o r s j p é v i - table, a m è n e r a i t soitY adhérence d e la n a p p e à la face aval d u b a r r a g e , soit d u m o i n s l'introduction, c o n t r e cette face, d ' u n e c o u c h e d'eau t o u r b i l l o n n a n t e , et d ' é t e n d u e n o t a b l e noyant en dessous la n a p p e d e d é v e r s e m e n t . Si l'on a d m e t p r o v i - â a i E e m e n t qnt^r m ê m e p o u r d'assrez g r a n d e s v a l e u r s d e n, le q u o t i e n t d e s p a r h reste à p ^ u , p r è s 0 ^ 4 , o u , celui d e t p a r h e, o, i 6 3 , la n a p p e devjra d o n c d e v e n i r o u a d h é r e n t e , a u n o y é e e n d e s s o u s , q u a n d le rapport d e R0à h—re d i m i - n u e r a j u s q u ' à n e p l u s d é p a s s e r b e a u c o u p o^rï 6 3 . D ' a p r è s la suite d e s v a l e u r s d e c e r a p p o r t c o n t e n u e s ' d a n s lé t a b l e a u p r é c é d e n t , o à T o n voit qu'il s e t r o u v e déjà r é d u i t à 6,190 l o r s q u e k d e s c e n d jusqu'à 0,2, o u l o r s q u e n atteint 5 e n v i r o n , o n p e u t c o n j e c t u r e r q u e l'expulsion d e l'air et m ê m e Vadhè- renceàz la n a p p e s o n t d è s J o ^ s e f f e c t u é e s C e s p h é n o m è n e s r e m a r q u a b l e s , signalés p a r M . B a z f n C o m m e c o r r e s p o n d a n t

à d e s c h a n g e m e n t s p r o f o n d s d u m o d e d e l ' é c o u l e m e n t et du bruit q u i l ' a c c o m p a g n e , s u r v i e n d r a i e n t d o n c q u a n d la non*

pression s o u s - - l a - n a p p e ( é v a l u é e e u h a u t e u r d * e a u ) , appro- chefait d e 5 (h — s) o u 4,3 A , c'est-à-dire deviendrait voisine d e 4 fois e n v i r o n la h a u t e u r d e c h a r g e k. Alors, le coefficient d e débit m — M (1 — 0,14)5, r a p p o r t de g à h \/2gh^t a p p r o c h e r a i t l u i - m ê m e , d'après le t a b l e a u précé- dent,, d e la v a l e u r c o n s i d é r a b l e 0,7486 (0,86)2 = ^0}6 e n v i r o n .

Si T o n c o n t i n u e à a d m e t t r e p r o v i s o i r e m e n t q u e e = o, 14I p o u r c e caSj et p o u r c e u x d e n o n - p r e s s i o n s m o i n d r e s , o«

e n c o r e d e p r e s s i o n s positives m o d é r é e s e x e r c é e s sous la n a p p e , le m ê m e t a b l e a u d e s v a l e u r s d e n et d e M donnera;

Pour/c = o^r2 0,5 0,4 o^T5 o^rfr 0,7,

o u p o u r les n o n p r e s s i o n s :

4,282 i,33y h 0,^41/2 —0,110/2 — o 3 h o h —0,492/1 m (*) = 6,597 0,507 °A47 0,404 0,370 0,34]

les n o m b r e s d e la d e u x i è m e c o l o n n e étant les v a l e u r s de ; n (h — e) = n (1 — o, 14) h

et, c e u x d e la t r o i s i è m e , les v a l e u r s d e M (t — 0,14)!

(A suivre.)

ItE |W0IS fl¥£>K0-ÉLECTRIQUE

A C A D É M I E D E S S C I E N C E S

M É C A N I Q U E E T É L E C T R I C I T É

Emploi des flammes c o m m e soupape des courants alternatifs à haute tension. — Notes de M . A n d r é C A T H I A R D . séances du 6 janvier et d u 2 mars 1908.

Si Ton présente à une flamme, n e contenant aucun corps condi#

teur solide en suspension, d e u x électrodes quelconques,, l'une d.

surface très petite par r a p p o r t à l'autre (section d'un frl ou d'une tige), et toutes deux reliées à une source alternative à haute tension, on constate le passage d'un courant de m ê m e sens, allant à travers la flamme de la grande électrode vers la petite.

Le phénomène est très accentué si Ton prend C o m m e petite élec- trode un conducteur de forme effilée.

Dans ces conditions, il se produit dans la flamme une sorte d'are très peu lumineux, et dant.de point de contact sur la grande élec- trode, qui est positive, est en mouvement.

Les expérierrcies ont porté sur plusieurs sortes d'électrodes et de fiammes, hydrogène, alcool, gaz d'éclairage et, en particulier,, sur cette dernière, obtenue par .Cm bec Meclcer de 3oo litres à rheure, avec électrodes en charbon graphitique. L a petite surface était cons- tituée par la section cylindrique' d'une baguette-de charbon aj 5 m m . de diamètre. Tensions de 2000 à I O O Q O volts obtenues^

un transformateur, fréquence de 40 périodes par seconde, distance entre électrodes variant de 5 m m à, 10-cm., dans le m ê m e plan, ofc dahs'des pla-ns différents perpendiculaires à la flamme.

éi Von retirait la petite électrode de la ifamme, le phénomène restait le même- jusqu'à devenir nul lorsque cette électrode étaitW éloignée. . " ^ ^, ,

L'intensité moyenne du courant, mesurée par u n ampêremettH c a d r e * mobile, n'a jamais dépassé OyoS ampère. Au- dessus, [u avait formation d'un arc brillant, avec transport de carbone solm et le phénomène'cGssàit.

D e s relevés ose biographique s n'ont pas encore été effectués, t&^h disons de⁽suite, à titre de renseignement, que le courant^était suin- samment 'de m ê m e sens" pour permettre ^obtention des dépôts galv»:

niques.

(*} La va-Uur de m est m ^ r r 7 = » r

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