CONTROLE SUR LES FONCTIONS LOGARITHMES 1PROC SUJET 1
FORMULAIRE : lnab====ln aln b ; lna
b====ln a−−ln b ; ln−− an====n ln a EXERCICE 1 (sur 1,5). 3*0,5
Calculer les nombres suivants (arrondir au millième si nécessaire) :
a) log 100 = 2 b) log (-15,5) Impossible c) ln 48 = 3,871
EXERCICE 2 (sur 2,5). 3*0,5 + 1
Exprimer en fonction de log 2 et / ou log 5 les nombres suivants :
a) log 25 = 2 log5 b) log 125 = 3 log5 c) log 10 = log2 + log5 d) log 200 = log2 + log100 = log2 + 2log10 = log2 + 2 EXERCICE 3 (sur 1). 2*0,5
Simplifier les expressions suivantes : a) lna
b−ln b = ln a – ln b – ln b = ln a – 2ln b b) lna2
bln a = 2ln a – ln b + ln a = 3 lna – ln b EXERCICE 4 (sur 3,5). Sujet STT CG-IG Pondichéry 2005
A l'occasion de la naissance de leur petite-fille, des grands-parents font un placement à intérêts composés sur un livret d'épargne. Le 1er janvier 2005, une somme de 3 000 euros est déposée. Le taux d'intérêt est de 2,5% l'an.
Cette somme reste sur le livret d'épargne pendant de nombreuses années et on suppose que le taux d'intérêt reste fixe pendant ces années.
On appelle C0 le capital initial au 1er janvier 2005. Nous avons alors C0 = 3 000 (2*0,5)
1. Calculer C1 et C2. On exprimera C2 au centime d'euros près. C1 = 3000*1,025 = 3075 ; C2 = 3075*1,025 = 3151,88 2. Exprimer le capital Cn acquis le 1er janvier de l'année (2005 + n) en fonction de C0 et de n. Cn = 3000*1,025n (0,5) 3. Calculer au bout de combien d'années la petite-fille disposera d'au moins 5 000 euros (on sera amené à résoudre une équation).
On veut Cn = 5000 minimum soit 3000*1,025n = 5000 (0,25) soit 1,025n = 5000/3000 = 1,6666666667 = 5/3 (0,5) Les deux nombres sont positifs donc on peut utiliser les logs
donc log 1,025n = log 5/3 (0,25) donc n log1,025 = log 5/3 (0,25) donc n==== log 5////3
log 1,025 = 20,68 (2*0,25) La petite fille disposera d'au moins 5000 euros au bout de 20 ans ou la 21ème année. (0,25)
PROBLEME (sur 12) Sujet Bac Pro Exploitation Des Transports – Logistique 2004
Une entreprise de mareyage "PECHEDISTRIB" de Lorient procède à une étude du coût de transport par route et par rail.
Cette entreprise souhaite déterminer le mode de transport le plus rentable en fonction du nombre de kilomètres parcourus pour les modes de transport ferroviaire et routier.
Pour un nombre x de kilomètres parcourus :
le coût CF, en euros du transport ferroviaire d'une tonne de poisson est donné par la formule : CF = 0,1x + 630 le coût CR, en euros, du transport routier d'une tonne de poisson est donné par la formule : CR = 200 ln x – 600 I. Calcul du coût.
L'entreprise doit transporter une tonne de poisson de Lorient à Bordeaux sur une distance de 480 kms.
1. Calculer le coût de ce trajet par transport ferroviaire. CF (480) = 0,1*480 + 630 = 678 € (0,5) 2. Calculer le coût de ce trajet par transport routier. CR (480) = 200 ln 480 – 600 = 634,76 € (0,5) 3. Quel moyen de transport le plus économique va-t-elle choisir ? Le transport routier. (0,5)
II. Étude du coût.
1. Soit la fonction f définie sur l'intervalle [50 ; 1 200] par f(x) = 0,1x + 630
Construire la courbe représentative de la fonction f dans le repère orthonormé de la 2ème feuille. (0,5 pts + 0,5 trait) Abscisse : 1 cm pour 100 kms ; Ordonnée : 1 cm pour 50 euros
2. Soit la fonction g définie sur l'intervalle [50 ; 1 200] par g(x) = 200 ln x – 600 2.1. Compléter le tableau de valeurs de la 2ème feuille. (3 ; -0,5 / faux)
2.2. Dans le même repère que précédemment, construire la courbe représentative de la fonction g. (1 pts + 0,5 cou)
3. Résoudre graphiquement l'équation f(x) = g(x) en laissant apparents les traits permettant la lecture. x = 650 (0,5*2)
4. Déterminer graphiquement :
4.1. Pour quelle distance les deux coûts de transport sont-ils égaux ? Pour une distance de 650 kms (0,5 + 0,5) 4.2. Sur quel intervalle le transport ferroviaire est-il le plus avantageux ? Sur l'intervalle ]650 ; 1200] (1)
4.3. Sur quel intervalle le transport routier est-il le plus avantageux ? Sur [50 ; 650[ (1 ; -0,5 si intervalleS ferméS)
NOM : A RENDRE AVEC VOTRE FEUILLE CONTROLE SUR LES FONCTIONS LOGARITHMES 1PROC SUJET 1 ou 2
Question II. 2.1 : Tableau de valeurs
50 100 200 300 400 600 800 1000 1200
g(x) = 200 ln x - 600 182,4 321,03 459,66 540,76 598,29 679,39 736,92 781,55 818,02
Question II. 1. et II. 2.2 : repère.
CONTROLE SUR LES FONCTIONS LOGARITHMES 1PROC SUJET 3
FORMULAIRE : lnab====ln aln b ; lna
b====ln a−−ln b ; ln−− an====n ln a EXERCICE 1 (sur 1,5). 3*0,5
Calculer les nombres suivants (arrondir au millième si nécessaire) :
a) ln 100 = 4,605 b) ln (-15,5) Impossible c) log 48 = 1,681
EXERCICE 2 (sur 2,5). 3*0,5 + 1
Exprimer en fonction de ln 2 et / ou ln 5 les nombres suivants :
a) ln 25 = 2ln5 b) ln 125 = 3ln5 c) ln 10= ln2 + ln 5 d) ln 200 = ln2 + ln100 = ln2 + 2ln10 = ln2 + 2e EXERCICE 3 (sur 1). 2*0,5
Simplifier les expressions suivantes : a) loga
b−logb = loga – logb – logb = loga – 2log b b) loga2
blog a = 2log a – logb + loga = 3 loga – logb EXERCICE 4 (sur 3,5). Copie Sujet STT CG-IG Pondichéry 2005
A l'occasion de la naissance de leur petit-fils, des grands-parents font un placement à intérêts composés sur un livret d'épargne. Le 1er janvier 2006, une somme de 2 000 euros est déposée. Le taux d'intérêt est de 2,75% l'an.
Cette somme reste sur le livret d'épargne pendant de nombreuses années et on suppose que le taux d'intérêt reste fixe pendant ces années.
On appelle C0 le capital initial au 1er janvier 2006. Nous avons alors C0 = 2 000 (2*0,5)
1. Calculer C1 et C2. On exprimera C2 au centime d'euros près. C1 = 2000*1,0275 = 2055 ; C2 = 2055*1,0275 = 2111,51 2. Exprimer le capital Cn acquis le 1er janvier de l'année (2006 + n) en fonction de C0 et de n. Cn = 2000*1,0275n (0,5) 3. Calculer au bout de combien d'années le petit-fils disposera d'au moins 4 000 euros (on sera amené à résoudre une équation).
On veut Cn = 4000 minimum soit 2000*1,0275n = 4000 (0,25) soit 1,0275n = 4000/2000 = 2 (0,5) Les deux nombres sont positifs donc on peut utiliser les logs
donc log 1,0275n = log 2 (0,25) donc n log1,0275 = log 2 (0,25) donc n==== log 2
log 1,0275 = 25,55 (2*0,25) La petite fille disposera d'au moins 4000 euros au bout de 25 ans ou la 26ème année. (0,25)
PROBLEME (sur 12) Sujet Bac Pro Exploitation Des Transports – Logistique 2004
Une entreprise de mareyage "PECHEDISTRIB" de Lorient procède à une étude du coût de transport par route et par rail.
Cette entreprise souhaite déterminer le mode de transport le plus rentable en fonction du nombre de kilomètres parcourus pour les modes de transport ferroviaire et routier.
Pour un nombre x de kilomètres parcourus :
le coût CF, en euros du transport ferroviaire d'une tonne de poisson est donné par la formule : CF = 0,1x + 630 le coût CR, en euros, du transport routier d'une tonne de poisson est donné par la formule : CR = 200 ln x – 600 I. Calcul du coût.
L'entreprise doit transporter une tonne de poisson de Lorient à Bordeaux sur une distance de 480 kms.
1. Calculer le coût de ce trajet par transport ferroviaire. CF (480) = 0,1*480 + 630 = 678 € (0,5) 2. Calculer le coût de ce trajet par transport routier. CR (480) = 200 ln 480 – 600 = 634,76 € (0,5) 3. Quel moyen de transport le plus économique va-t-elle choisir ? Le transport routier. (0,5)
II. Étude du coût.
1. Soit la fonction f définie sur l'intervalle [50 ; 1 200] par f(x) = 0,1x + 630
Construire la courbe représentative de la fonction f dans le repère orthonormé de la 2ème feuille. (0,5 pts + 0,5 trait) Abscisse : 1 cm pour 100 kms ; Ordonnée : 1 cm pour 50 euros
2. Soit la fonction g définie sur l'intervalle [50 ; 1 200] par g(x) = 200 ln x – 600 2.1. Compléter le tableau de valeurs de la 2ème feuille. (3 ; -0,5 / faux)
2.2. Dans le même repère que précédemment, construire la courbe représentative de la fonction g. (1 pts + 0,5 cou)
3. Résoudre graphiquement l'équation f(x) = g(x) en laissant apparents les traits permettant la lecture. x = 650 (0,5*2)
4. Déterminer graphiquement :
4.1. Pour quelle distance les deux coûts de transport sont-ils égaux ? Pour une distance de 650 kms (0,5 + 0,5) 4.2. Sur quel intervalle le transport ferroviaire est-il le plus avantageux ? Sur l'intervalle ]650 ; 1200] (1)
4.3. Sur quel intervalle le transport routier est-il le plus avantageux ? Sur [50 ; 650[ (1 ; -0,5 si intervalleS ferméS)
