D10572. Un somnifère de Georges
Pour s’endormir en douceur, Georges imagine et résout de tête des petites questions de géométrie telles que les suivantes.
Dans un triangleABC, que représentent :
– les 3 médiatrices pour le triangle constitué des pieds des 3 médiatrices ? – les 3 hauteurs pour le triangle constitué des pieds des 3 hauteurs ? Solution
Médiatrices : les piedsL, M, N sont les homothétiques des sommetsA, B, C dans l’homothétie de centre G et de rapport −1/2. Ainsi les médiatrices élevées deL, M, N, respectivement perpendiculaires à BC, CA, AB le sont à M N, N L, LM et sont les hauteurs du triangle LM N. Leur intersection, orthocentre du triangleLM N, est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Hauteurs : leurs pieds sontD, E, F surBC, CA, AB. Le cercle de diamètre BC passe par E et F, d’où AE.AC = AF.AB, AE/AF = AB/AC et le triangleAEF est semblable au triangleABCà retournement près ; son angle
6 EF A=6 ACB, puis =6 BF D par le même raisonnement en échangeant A etB. Ainsi la hauteur F C fait le même angleπ/2−C avec F D etF E, c’est une bissectrice du triangleDEF. De même pour les autres hauteurs et leur intersection, orthocentre du triangleABC, est le centre du cercle inscrit au triangle DEF.
Remarque. Serge Ricommard observe que l’égalité des angles aux pieds des hauteurs peut se voir directement dans les cercles de diamètresBC, CA, AB.
