Diophante D1870 Bon ménage
Calcul mental et géométrie peuvent faire bon ménage. Ainsi dans ces sept exercices tout simples, la clé géométrique permet de
poursuivre les calculs de tête. Relevez le défi et justifiez chacune de vos réponses en trois ou quatre lignes, pas plus.
E1 Soit un triangle ABC dont I est centre du cercle inscrit. Le cercle de centre I et de rayon AI coupe le côté BC en deux points D et E. On connaît les longueurs AB = 987, AC = 1234 et DE = 202. Que vaut BC ?
Soient respectvement A', B', C' les pieds des perpendiculaires abaissées de I sur [BC], [CA], [AB].
Les triangles AIB', DIA' et EIA' sont isométriques donc DE = DA' + A'E = 2AB' ; de même, AC' = AB'.
Sur le périmètre du triangle ABC, BC = BA' + A'C = BC' + B'C = (AB – AB') + (AC – AB').
BC vaut AB + AC – DE = 2019.
E2 Soit un rectangle ABCD tel que AB = 2BC. On trace le point M du côté AB tel que MD est la bissectrice de l’angle AMC. Que vaut l’angle AMD ?
Prenons la largeur du rectangle pour unité de longueur.
MDC = AMD (angles alternes internes) donc le triangle CDM est isocèle et CM = CD = 2.
L'angle MCB vaut 60° car son Cosinus est ½ ; son complémentaire, l'angle BMC, vaut 30°.
L'angle AMD vaut (180 – 30)/2 = 75°.
E3 Soit un rectangle ABCD. On trace deux droites perpendiculaires passant par B. L’une coupe le côté AD au point K et l’autre coupe la droite DC au point L. Soit F l’intersection des droites AC et KL. On suppose que BK = 13 et FK = 12. Que vaut BF ?
Les points B et D appartennent au cercle de diamètre [KL] (angles droits en B et D) donc les angles KDB et ALB sont égaux.
Les angles FCB (ACB) et FLB (ALB) sont égaux donc les points C et F appartennent au même cercle, celui de diamètre [BL] (angle droit en C).
L'angle KFB étant droit, BF vaut √(BK2 – FK2) = √(132 – 122) = 5.
E4 Soit le triangle ABC dont les côtés ont pour longueurs AB = 15, BC = 14 et CA = 13. On trace le point P de BC est tel que la sommes des aires des cercles circonscrits aux triangles ABP et ACP est minimale. Que vaut BP ?
Soient respectvement SB et SC les aires des triangles ABP et APC.
Les rayons de leurs cercles circonscrits sont respectvement 15 AP BP / 4 SB et 13 AP CP / 4 SC.
Comme SB et SC sont respectvement proportonnelles à BP et CP, le problème revient à minimiser AP.
P est ainsi le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur [BC].
L'aire du triangle ABC est √(21 x 6 x 8 x 7) = 84 (Héron) donc AP = 12.
BP vaut √(152 – 122) = 9.
E5 Soit un triangle ABC dont l’angle en A est aigu. Le cercle de diamètre BC coupe AC en D et AB en E. On suppose que BC = 10, AE = BE et 7AD = 18CD. Que vaut l’aire du triangle ABC ?
[CE] est la médiatrice de [AB] (angle droit en E) donc les triangles BCE et ACE sont isométriques et AC
= BC = 10. Du coup, AD = 36/5 et DC = 14/5.
L'angle en D étant droit, BD= √{102 – (14/5)2} = √(502 – 142) / 5 = √(64 x 36) / 5 = 8 x 6 / 5.
L'aire du triangle ABC vaut AC BD / 2 = 48.
E6 On trace un point P sur le petit arc BC du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC. La droite AP coupe BC au point Q. On suppose que PQ = 673 et PC = 4038. Que vaut PB ?
Appelons α l'angle BAP. Les angle QCP (BCP) et CPQ (CPA) valent respectvement α et 60° (angles inscrits) ; de même, les angles PBQ (PBC) et QPB (APB) valent respectvement (60° - α) et 60°.
Dans le triangle PCQ, 673/Sinα = 4038/Sin(60° + α) (loi des sinus) d'où √3Cosα = 11Sinα.
Dans le triangle PBQ, 673/Sin(60° - α) = PB/ Sin(60° + α) (loi des sinus).
PB vaut = 673 x {(√3Cosα + Sinα)/(√3Cosα - Sinα)} = 673 x 12/10 = 807,6.
E7 Soit ABC un triangle rectangle en A. Les bissectrices issues de B et de C coupent AC en D et AB en E. Les points M et N sont les projections de D et de E sur BC. Que vaut l’angle MAN ?
Les triangles CAE et CNE sont isométriques donc AE = EN et le triangle AEN est isocèle en E.
L'angle EAN est la moité du supplémentaire de l'angle AEN, donc la moité de l'angle BEN ou la moité du complémentaire de l'angle ABC (EBC) ; de même, l'angle MAD est la moité du complémentaire à 90° de l'angle ACB.
Les angles ABC et ACB totalisent 90°.
Les angles EAN et MAD totalisant 90 / 2 = 45°, l'angle MAN vaut 45°.
Jean-Louis Legrand
