Enonc´e noA432 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
SoitD=px2+y2 la diagonale du tapis. Elle se projette sur la longueur L en faisant avec elle l’angleα= (J L, CD) = (CD, SQ) de cosinus L/D.
La projection deIK surADmontre que cos(AD, IK) = 5/D. De mˆeme, la projection deP R sur DE montre que cos(DE, P R) = 3,8/D.
Les dimensions du tapis ´etant x = IJ, y = IL, on a l’angle (KI, J L) = 2 arctan(y/x).
On en tire
π/2 = (CD, AD) = arccos(L/D) + arccos(5/D) + 2 arctan(y/x), et π/2 = (CD, DE) =−arccos(L/D) + arccos(3,8/D) + 2 arctan(y/x).
Ces relations peuvent ˆetre regroup´ees sous la forme 4,4±0,6
D = sin
2 arctan y
x ±arccos L D
= 1 D3
2xyL±(x2−y2)pD2−L2 d’o`u 2xyL= 4,4D2, (x2−y2)√
D2−L2= 0,6D2, puis 2xy/D2 = 4,4/L, (x2−y2)/D2 = 0,6/√
D2−L2, et commeD=px2+y2, 1 = (4,4/L)2+ (0,6)2/(D2−L2),D2−L2 = (0,6L)2/(L2−19,36),
puisD2 =L2(L2−19)/(L2−19,36),
xy= 2,2L(L2−19)/(L2−19,36), et x2−y2 =L(L2−19)/pL2−19,36.
CommeL, x, y(exprim´es en m`etres) sont rationnels,pL2−19,36 est ration- nel ; en passant aux centim`etres, (100L)2 −193600 est le carr´e d’un entier M et 193600 est le produit de deux entiers (de mˆeme parit´e) 100L+M et 100L−M. Comme 193600/4 = 24·52·112, il y a 22 paires de facteurs pouvant former ce produit.
Comme (100x)2−(100y)2 =LM + 36(100L)/M est un entier, cela ´elimine toutes les d´ecompositions sauf 880×220, avecM = 330 etL= 5,50 m`etres.
On en tire D2/xy = x/y +y/x = 2,5, d’o`u x/y = 2, et D2 = 31,25, x2−y2= 18,75 et finalement x= 5,y= 2,5 : le tapis fait 5×2,5 m`etres.
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