Correction des exercices de révision (vacances de février)
Les nombres complexes
Exercice 1
1)
a) Démontrons que le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en A.
Pour cela, démontrons que AB = AC et ; = [2]. Calculons alors
( ≠ ). −
− = 5 + 2 − 3
5 − 2 − 3 !" −
− =2 + 2
2 − 2 # −
− = (−2 + 2)
2 − 2 à %!&
− − = '
Ainsi, (+*)*( = 1 -" &. /+*)*0 =[2].
Or ()*+*( = ⋯ =3534 -" &. /)*+*0 = ;[2] donc AB = AC et ; = [2], d’où le résultat.
b) M est un point du plan d’affixe z distinct de A et de B, c’est-à-dire 6 ≠ -" 6 ≠ . Interprétons géométriquement un argument du nombre complexe 78
79:;' .
&. /<>:?<= 0 = &. /<<@@<<AB0 [2] ; Or l’interprétation géométrique de l’argument nous permet de dire
&. /<<@<A
@<B0 = C; C[2] et par suite, DE /79:;'78 0 = FG; HG[;I].
c) Soit E = JKG(7) ∈ M\OKH; FPK QRS TUR 79:;'78 ∈ ℝ∗X K. Soit M(z) avec 6 ≠ -" 6 ≠ .
C ∈ Y 6 − 3
6 − 5 + 2 ∈ ℝ∗ &. /<>:?<= 0 = [2]
C; C = [2]
C; C = [2]
C ∈ []\OK; PK
E est donc le segment [AB] privé des points A et B.
2)
a) Donnons l’écriture complexe de r.
r est la rotation de centre Ω et d’angle − donc son écriture complexe est : 6Z = -?[\(6 − 6]) + 6] à savoir 7Z= −'7 + 8 + '.
b) Γ est le cercle circonscrit au triangle ABC.
Or le triangle ABC est un triangle rectangle en A donc le centre I de son cercle circonscrit est le milieu de [BC] et son rayon est _
!" _| − | à %!& _|4|, c' est-à-dire 2. Déterminons 6l.
6l =65+ 64
2 !" 6l = 5.
r est une rotation donc elle transforme le cercle m en un cercle m’ de même rayon (r est une isométrie) dont le centre I’ est l’image de I par r.
Déterminons 6ln.
I’ = r (I) donc 6lZ= −6l+ 3 + soit 7oZ = 8 − p'. Donc m’ est le cercle de centre I’(3-4i) et de rayon 2.
Déterminons une équation paramétrique de Γ’.
Γ’ est le cercle de centre I’(3-4i) et de rayon 2, donc un point M(z) est élément de ce cercle si et seulement si 6 = 2-?q+ 6lZ %- Θ ∈ ] − π; π] c’est-à-dire
7 = ;R't+ 8 − p'uR t ∈ ] − v; v] (équation paramétrique de m′) .
Exercice 2
1) (6x)x∈ℕ est la suite récurrente définie par z 6{ = 2 6x:_ =_:? 6xK
Déterminons 6_, 6, 6= -" 6|. 7}= } + '
7;= ' 78=−} + '
; 7p= −}
;
2) Pour tout entier naturel n, on pose ~x = |6x|. Démontrons que (~x) est une suite géométrique.
Soit n un entier naturel, ~x:_ = |6x:_| c’est-à-dire ~x:_ = (_:? 6x(
Or, pour tous nombres complexes z et z’, |77Z| = |7||7Z|, #! ~x:_ = (_:? ( |6x| soit U:} = √;; |7| c’est-à-dire U:} =√;; U
Par suite, on peut affirmer que la suite u est la suite géométrique de raison √
et de premier terme ~{ = 2. Ainsi pour tout entier naturel n, U = ; /√;;0.
3) Nommons D le disque fermé de centre de O et de rayon 0,1.
Soit ∈ ℕ, x ∈ x ≤ 0,1
|6x| ≤ 0,1 par interprétation géométrique du module H = |7| 2 /√0x ≤ 0,1
/√0x ≤ 0,05
/√0x ≤ ln (0,05) ln réalise une bijection strictement croissante de ]0 ; +∞[ sr ℝ /√0 ≤ ln (0,05) pour tout entier naturel n et tout réel > 0, () = S() ≥ ({,{>)
x√\\ car √;
; < 1 , S /√;;0 < 0 par stricte croissance de ln sur ]0 ; +∞[ ln (0,05)
√22
≃ 8,64
Soit { = 9.
A partir de = ,H ∈ . 4)
a) Soit ∈ ℕ, ~x ≠ 0 (~- "! 2), #! |6x| ≠ 0 -" & ~"-, 6x ≠ 0. 6x:_− 6x
6x:_ = … = i.
& 6x:_− 6x
6x:_ = 6x:_− 6x 6x:_− 6¢
Le même raisonnement que dans l’exercice 1 nous amène à conclure que le triangle HH:} est rectangle isocèle en H:}.
b) Soit n un entier naturel, on pose x = {_+ _+ ⋯ + x_x. Pour tout entier naturel k, compris entre 0 et n – 1,
H£H£:}= |7£:}− 7£|.
Or d’après a), pour tout entier naturel k, 6¤:_− 6¤ = 6¤:_; par suite, |7£:}− 7£| = |'7£:}| soit
|7£:}− 7£| = |7£:}| car pour tous nombres complexes z et z’, |77Z| = |7||7Z|.
Ainsi, comme x = ∑x_¤¦{¤¤:_, on a x = ∑ |6x_¤¦{ ¤:_| à savoir x = ∑x_¤¦{~¤:_ ou encore
S = U}+ U;+ ⋯ + U.
Ainsi xest la somme des n premiers termes de la suite géométrique de raison √
et de premier terme
~_ = √2. S = √;}√;;
}√;; soit x = 2√2_√\\
§
√ ou S = ; + ;√; } − /√;;0. Déterminons la limite de la suite (x).
−} <√;; < 1, donc ¨©→:«/√;;0 = .
Ainsi, par opérations algébriques sur les limites, ¨©→:«S = ; + ;√;.
