Algèbre linéaire avec Maple
1. Le package linalg.
2. Création d’une matrice.
3. Equivalence matricielle.
4. Similitude matricielle.
5. Espaces euclidiens.
Pierre-Jean Hormière __________
1. Le package linalg.
> with(linalg);
BlockDiagonal GramSchmidt JordanBlock LUdecomp QRdecomp Wronskian , , , , , , [
addcol addrow adj adjoint angle augment backsub band basis bezout , , , , , , , , , , blockmatrix charmat charpoly cholesky col coldim colspace colspan , , , , , , , ,
companion concat cond copyinto crossprod curl definite delcols delrows det , , , , , , , , , , diag diverge dotprod eigenvals eigenvalues eigenvectors eigenvects entermatrix , , , , , , , , equal exponential extend ffgausselim fibonacci forwardsub frobenius gausselim , , , , , , , , gaussjord geneqns genmatrix grad hadamard hermite hessian hilbert , , , , , , , ,
htranspose ihermite indexfunc innerprod intbasis inverse ismith issimilar iszero , , , , , , , , , jacobian jordan kernel laplacian leastsqrs linsolve matadd matrix minor , , , , , , , , , minpoly mulcol mulrow multiply norm normalize nullspace orthog permanent , , , , , , , , , pivot potential randmatrix randvector rank ratform row rowdim rowspace , , , , , , , , , rowspan rref scalarmul singularvals smith stackmatrix submatrix subvector , , , , , , , , sumbasis swapcol swaprow sylvester toeplitz trace transpose vandermonde , , , , , , , , vecpotent vectdim vector wronskian , , , ]
Ce package contient divers programmes :
•
création d’une matrice : array, matrix, vector, concat, augment, stackmatrix, diag, blockmatrix, BlockDiagonal, hilbert, etc.
•
calculs, manipulations et tests divers : coldim, rowdim, addcol, addrow, mulcol, mulrow, matadd, scalarmul, swapcol, swaprow, multiply, inverse, transpose, htranspose, pivot, submatrix, minor, trace, det, permanent, iszero, equal, etc.
•
équivalence matricielle : opérations élémentaires, rang, image, noyau, résolution de systèmes linéaires à coefficients dans des corps Q, R, C, ou des corps formels Q(a, b, c, d), etc. : rank, colspan, colspace, rowspan, rowspace, kernel, nullspace, gaussjord, rref, linsolve, LUdecomp, etc.
•
résolution de systèmes à coeffs dans Z ou Q[X] : ismith, ihermite, isolve, smith, hermite, etc.
• similitude matricielle : eigenvals, eigenvects, charpoly, minpoly, jordan, frobenius, issimilar, etc.
•
euclidiens ou hermitiens : norm, cond, dotprod, crossprod, orthog, GramSchmidt, QRdecomp, singularvals, leastsqrs, hadamard, etc.
Tous ces programmes ne sont pas à connaître par cœur. Pour chacun d’eux, on peut demander :
−
une aide en ligne, qui indique comment cela marche, et donne des exemples : Exemple : > ?charpoly ;
−
l’algorithme même. Exemple : > interface(verboseproc = 2) ; eval(gaussjord) ;
Maple contient aussi un package LinearAlgebra dont je ne sais à peu près rien…
2. Création d’une matrice.
> with(linalg):
> v:=vector([1,3,7]);v:=vector(3,[1,3,7]);v:=array(1..3,[1,3,7]);
:=
v [ 1 3 7 , , ] :=
v [ 1 3 7 , , ] :=
v [ 1 3 7 , , ]
>
A:=array(1..2,1..4,[[1,2,3,4],[4,3,2,1]]);A:=matrix(2,4,[[1,2,3,4],[4,3,2, 1]]);A:=matrix(2,4,[1,2,3,4,4,3,2,1]);
>
A:=matrix(4,4,(i,j)->min(i,j));A:=matrix(4,4,proc(i,j) min(i,j) end);
:=
A
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 3 4
> A:=array(1..3,1..3,antisymmetric):A[3,2]:=p:A[1,3]:=q:A[2,1]:=r:print(A);
0 −r q
r 0 −p
−q p 0
> coeffA:=rand(-10..10):n:=5:A:=matrix(n,n,[seq(coeffA(),i=1..n^2)]);
:=
A
-4 7 8 10 -6
-8 -5 7 6 -6
0 5 -10 1 1
-3 -10 5 -4 -8
-1 -10 2 3 -1
> A:=matrix(3,3,[3,6,1,0,0,4,-1,-2,-
3]):J:=diag(1,1,1):Z:=matrix(3,3,0):M:=blockmatrix(2,2,[A,J,Z,A]);
:=
M
3 6 1 1 0 0
0 0 4 0 1 0
-1 -2 -3 0 0 1
0 0 0 3 6 1
0 0 0 0 0 4
0 0 0 -1 -2 -3
> A:=matrix(2,2,[x^2+1,x^3+2*x+8,x^5-8*x^4+x-7,3*x^2+4*x- 56]);B:=map(diff,A,x);C:=map(exp,B);
:=
A
+
x
21 x
3+ + 2 x 8 − + −
x
58 x
4x 7 3 x
2+ − 4 x 56
> A:=matrix(2,2,[x*sin(1/x),cos(1/x),cos(1/x),x*tan(1/x)]);
:=
A
x
sin 1 x
cos 1 x
cos 1
x x
tan 1 x
> map(limit,A,x=infinity);map(asympt,A,x,4);
:=
A
1 2 3 4
4 3 2 1 A :=
1 2 3 4
4 3 2 1 A :=
1 2 3 4
4 3 2 1
:=
A
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 3 4
:=
B
2 x 3 x2 + 2 − +
5 x4 32 x3 1 6 x + 4 C :=
eee
e(2 x) eeee(3 x + )
2 2
e ee
e(5 x − + )
4 32 x3 1
e ee e(6 x + 4)
1 1
1 1
− + 1 1
6 1 x
2
O 1
x
41 − 1 + 2
1 x
2
O 1 x
4− + 1 1
2 1 x
2
O 1
x
41 + + 1 3 x
2
O 1 x
4Exercice : Explorer et étudier les matrices de Fibonacci du package linalg.
Créations de matrices aléatoires :
> randmatrix(3,3);randmatrix(3,3,symmetric);randmatrix(3,3,antisymmetric);
randmatrix(3,3,unimodular);randmatrix(3,3,entries=rand(-6..6));
>
with(LinearAlgebra):
RandomVector(2);
-71 28
> RandomVector[row](6,generator=rand(1..5)/10);
, , , , , 1
5 1 10
3 10
2 5
1 5
2 5
> RandomMatrix(3,density=0.75,generator=0..0.5);
0. .329495602458761638 .0730103250672744508 0. .363489042803815110 .370278606642740371 .370840792758260207 .122401385169373711 .137768350871747102
> RandomMatrix(4,4,generator=1..9,outputoptions=[shape=triangular[lower]]);
1 0 0 0
6 1 0 0
3 1 7 0
4 2 3 9
On peut aussi utiliser le package RandomTools.
> with(RandomTools);
[ AddFlavor Generate GetFlavor GetFlavors HasFlavor RemoveFlavor , , , , , ]
> Matrix(3,3,Generate(choose({0,1}),makeproc=true));
1 0 1
1 0 0
1 0 1
> Matrix(3,3,Generate(rational(denominator=10),makeproc));
0 3
10 -2
5 -1
2 -1
5 -1 10 -9
10 1 2
4 5
> Vector(4,Generate(complex(integer(range=1..100)),makeproc));
-63 -90 61 -3 -82 16 -40 21 -94
-98 75 95
75 39 -68 95 -68 98
0 -36 -95
36 0 8
95 -8 0
1 92 8
0 1 -95
0 0 1
4 -2 5
-4 -2 -4
3 -1 0
+ 8 50 I
+ 87 99 I
+ 67 10 I
+ 74 82 I Matrice d’un système linéaire :
eqns := {2*x+y+z=a,x+2*y+z=b,x+y+2*z=c};
A:=genmatrix(eqns,[x,y,z]);B:=genmatrix(eqns,[x,y,z,a,b,c]);
:=
eqns { 2 x + + y z = a , x + + 2 y z = b , x + + y 2 z = c }
Inverse et conditionnement d’une matrice :
> hilbert(3);inverse(hilbert(3));cond(hilbert(3));
Le conditionnement d’une matrice mesure la sensibilité de cette matrice vis à vis des conditions initiales. Une matrice inversible est mal conditionnée (i.e. a un grand nombre de conditionnement) si une légère perturbation du second membre du système Ax = b conduit à de grandes variations du vecteur inconnu x. Les matrices de Hilbert sont mal conditionnées.
Calcul d’un déterminant :
> A:=vandermonde([a,b,c,d,z]):
> B:=delcols(delrows(A,5..5),3..3);factor(det(B));
:=
B
1 a a
3a
41 b b
3b
41 c c
3c
41 d d
3d
4( − + d c ( ) b − d ( ) b − c ( ) − + d a ( ) a − c ( ) a − b ( ) c a + + + + + d a a b d c b c b d ) Ci-dessous est vérifié le lien entre matrice de Vandermonde et matrice de Lagrange :
> A:=vandermonde([a,b,c]);B:=inverse(A);
:=
A
1 a a
21 b b
21 c c
2:=
B
c b
− + −
c b a b a
2a c − a c
− + − + a c a b b
2c b
a b
− + + − a c a b c
2c b
− b + c − + − c b a b a
2a c
+ a c
− + − + a c a b b
2c b − a + b
− + + − a c a b c
2c b 1
− + −
c b a b a
2a c − 1
− + − + a c a b b
2c b
1
− + + − a c a b c
2c b
> p:=interp([a,b,c],[A,B,C],x);
> M:=map(simplify,genmatrix([coeff(p,x,0)=0,coeff(p,x,1)=0,coeff(p,x,2)=0], [A,B,C]));
:=
A
2 1 1
1 2 1
1 1 2
:=
B
2 1 1 -1 0 0
1 2 1 0 -1 0
1 1 2 0 0 -1
9 -36 30
-36 192 -180 30 -180 180
748
1 1
2 1 3 1
2 1 3
1 4 1
3 1 4
1 5
:=
M
c b
(− + c a () a − b) − a c (a − b () − + c b)
a b (− + c a () − + c b)
− b + c (− + c a () a − b)
+ a c
(a − b () − + c b) − a + b (− + c b () − + c a) 1
(− + c a () a − b) − 1 (a − b () − + c b)
1
(− + c b () − + c a)
> iszero(map(simplify,evalm(M-B)));
true Exercice : Expliquer ce résultat.
Exercice : Calculer det( C
ii+j)
0≤i,j≤n.
Solution : Pour n = 3, Maple donne ceci, qui reste à justifier et à généraliser :
> with(linalg):
> A:=matrix(5,5,(i,j)->binomial(i+j-2,i-1));det(A);
Exercice : Calculer et factoriser
1 2 1
2 1 1
1 2 1
a a b b
a a c c
b b c c
+ +
+ +
+ +
(Polya-Szegö, t. 2, n° 9, p. 93).
> with(linalg):
> A:=matrix(3,3,[2,c+1/c,b+1/b,c+1/c,2,a+1/a,b+1/b,a+1/a,2]);
:=
A
2 c + 1
c b + 1 b +
c 1
c 2 a + 1 a +
b 1 b a + 1
a 2
> factor(det(A));
−2 ( a − c b ( ) b a − c ( ) c b a − 1 ( ) c a − b ) a
2c
2b
23. Equivalence matricielle, systèmes linéaires.
Sont ici regroupées quelques procédures relatives aux vecteurs, aux sous-espaces qu’ils engendrent, aux bases, aux matrices rectangulaires et aux systèmes linéaires généraux.
Commençons par vérifier la formule de Grassmann sur un exemple :
> a:=vector([1,2,3,4]);b:=vector([2,2,2,6]);c:=vector([0,2,4,4]);
d:=vector([1,0,-1,2]);f:=vector([2,3,0,1]);
>
basis({a,b,c});basis({d,f});intbasis({a,b,c},{d,f});
basis({a,b,c,d,f});sumbasis({a,b,c},{d,f});
:=
A
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 3 6 10 15
1 4 10 20 35
1 5 15 35 70
1
:=
a [ 1 2 3 4 , , , ] b := [ 2 2 2 6 , , , ] c := [ 0 2 4 4 , , , ] :=
d [ 1 0 -1 2 , , , ] f := [ 2 3 0 1 , , , ]
{ a b c , , } { f d , } { [ -1 0 1 -2 , , , ] }
> A:=transpose(matrix([a,b,c,d,f]));rank(A);gaussjord(A);
Voici une procédure prenant en argument une matrice et affichant ses principales caractéristiques.
On notera que certains programmes sont synonymes.
> matrice:=proc(A)
> local n,p,r,x,y,z,t,R,S,T;
> n:=rowdim(A);p:=coldim(A);r:=rank(A);
> x:=array(1..p);y:=array(1..n);z:=array(1..r);t:=array(1..p-r);
> print("format : ",n,p);
> print("rang : ",r);
> print("base de l'image : ",colspace(A));
> print("base de l'image :",colspan(A));
> R:=matrix([op(colspan(A))]);S:=matrix([op(kernel(A))]);
T:=matrix([op(kernel(transpose(A)))]);
> print("équations paramétriques de l'image :",multiply(A,x));
> print("équations paramétriques de l'image :",multiply(transpose(R),z));
> print("équations cartésiennes de l'image :",geneqns(T,y));
> print("base des lignes :",rowspace(A));
print("base des lignes :",rowspan(A));
> print("base du noyau :",kernel(A));print("base du noyau :",nullspace(A));
> print("équations cartésiennes du noyau :",geneqns(A,x));
> print("équations cartésiennes du noyau :",geneqns(S,x));
> print("équations paramétriques du noyau :",multiply(transpose(S),t));
> print("réduite échelonnée en lignes :",rref(A));
> print("réduite échelonnée en lignes :",gaussjord(A));
> print("réduite échelonnée en colonnes :",transpose(rref(transpose(A))));
> print("réduite unicorde :",transpose(rref(transpose(rref(A)))));
> end;
> A:=matrix(3,4,[0,1,2,3,1,2,3,4,2,3,4,5]);matrice(A);
:=
A
0 1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
, ,
"format : " 3 4 ,
"rang : " 2 ,
"base de l'image : " { [ 0 1 2 , , ] , [ 1 0 -1 , , ] } ,
"base de l'image :" { [ 0 1 2 , , ] , [ 1 2 3 , , ] }
"équations paramétriques de l'image :" ,
[ x
2+ 2 x
3+ 3 x
4, x
1+ 2 x
2+ 3 x
3+ 4 x
4, 2 x
1+ 3 x
2+ 4 x
3+ 5 x
4] ,
"équations paramétriques de l'image :"[ z , , ]
1
2 z +
1
z
2
3 z +
1
2 z
2
,
"équations cartésiennes de l'image :"{ y
1− 2 y
2+ y
3= 0 } ,
"base des lignes :" { [ 1 0 -1 -2 [ , , , ] , 0 1 2 3 , , , ] } ,
"base des lignes :" { [ 0 1 2 3 , , , ] , [ 1 2 3 4 , , , ] }
1 0 0 -1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
{ a f d c , , , } { a f b c , , , }
:= 4 A
1 2 0 1 2
2 2 2 0 3
3 2 4 -1 0
4 6 4 2 1
,
"base du noyau :" { [ 1 -2 1 0 , , , ] , [ 2 -3 0 1 , , , ] } ,
"base du noyau :" { [ 1 -2 1 0 , , , ] , [ 2 -3 0 1 , , , ] }
"équations cartésiennes du noyau :" ,
{ x
2+ 2 x
3+ 3 x
4= 0 , x
1+ 2 x
2+ 3 x
3+ 4 x
4= 0 , 2 x
1+ 3 x
2+ 4 x
3+ 5 x
4= 0 } ,
"équations cartésiennes du noyau :"{ x
2− 2 x
3+ x
4= 0 , x
1− 2 x
2+ x
3= 0 } ,
"équations paramétriques du noyau :"[ t
2, t
1− 2 t
2, − 2 t
1+ t
2, t
1]
,
"réduite échelonnée en lignes :"
1 0 -1 -2
0 1 2 3
0 0 0 0
,
"réduite échelonnée en lignes :"
1 0 -1 -2
0 1 2 3
0 0 0 0
,
"réduite échelonnée en colonnes :"
1 0 0 0
0 1 0 0
-1 2 0 0
,
"réduite unicorde :"
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
L’inconvénient des procédures rref et gaussjord est qu’elles n’affichent pas les matrices de passage.
Si l’on veut les afficher, il faut programmer le pivot.
> with(linalg):
> echelon:=proc(A)
> local M,n,p,i,j,line;
> M:=A;
> n:=rowdim(A);p:=coldim(A);line:=1;
> for j from 1 to p do
> for i from line to n while M[i,j]=0 do od;
> if i <=n then
> M:=swaprow(M,i,line);
> M:=mulrow(M,line,1/M[line,j]);
> M:=pivot(M,line,j);
> line:=line+1;fi;
> od;eval(M);end;
> echelonligne:=proc(A)
> local n,p,J,M,R;
> n:=rowdim(A);p:=coldim(A);
> J:=array(1..n,1..n,identity);M:=augment(A,J);
> R:=echelon(M);
> print("réduite échelonnée en ligne : RL = ", submatrix(R,1..n,1..p));
> print("matrice inversible Q telle que QA = RL :
",submatrix(R,1..n,p+1..p+n));
> end;
> echeloncolonne:=proc(A)
> local n,p,B,J,M,R;
> B:=transpose(A);p:=rowdim(B);n:=coldim(B);
> J:=array(1..p,1..p,identity);M:=augment(B,J);
> R:=echelon(M);
> print("réduite échelonnée en colonne : RC = ", transpose(submatrix(R,1..p,1..n)));
> print("matrice inversible P telle que AP = RC :
",transpose(submatrix(R,1..p,n+1..p+n)));
> end;
> unicorde:=proc(A)
> local n,p,J,K,M,R,RL,Q,TRL,N,P,S,RU;
> n:=rowdim(A);p:=coldim(A);
> J:=array(1..n,1..n,identity);K:=array(1..p,1..p,identity);
> M:=augment(A,J);R:=echelon(M);
> RL:=submatrix(R,1..n,1..p);
> Q:=submatrix(R,1..n,p+1..p+n);
> TRL:=transpose(RL);N:=augment(TRL,K);
> S:=echelon(N);
> RU:=transpose(submatrix(S,1..p,1..n));
> P:=transpose(submatrix(S,1..p,n+1..n+p));
> print("réduite unicorde : ",RU);
> print("matrices inversibles Q et P telles que QAP = RU :",Q,P);
> end;
> A:=matrix(3,4,[0,1,2,3,1,2,3,4,2,3,4,5]);
:=
A
0 1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
> echelonligne(A);echeloncolonne(A);unicorde(A);
,
"réduite échelonnée en ligne : RL = "
1 0 -1 -2
0 1 2 3
0 0 0 0
,
"matrice inversible Q telle que QA = RL : "
0 -3 2 0 2 -1 1 -2 1
,
"réduite échelonnée en colonne : RC = "
1 0 0 0
0 1 0 0
-1 2 0 0
,
"matrice inversible P telle que AP = RC : "
0 0 1 0
0 0 0 1
-4 3 -3 -2
3 -2 2 1
,
"réduite unicorde : "
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
, ,
"matrices inversibles Q et P telles que QAP = RU :"
0 -3 2 0 2 -1 1 -2 1
0 0 1 0
0 0 0 1
3 2 -3 -2
-2 -1 2 1
Exercice 1 : Explorer les procédures gaussjord et LUdecomp.
Exercice 2 : Résoudre les équations : A.X = B , où A =
− −
−
1 0 1
1 1 3
0 1 2
et B =
− −
− 0 1 1
3 0 2
3 1 1
; X.A = B, où A =
− 0 0 0
1 1 2
1 1 3
et B =
−
− −
− −
− 1 2 1
1 2 1
1 2 1
.
> A:=matrix(3,3,[2,1,0,-3,-1,1,1,0,-1]);B:=matrix(3,3,[1,1,3,-2,0,-3,1,- 1,0]);linsolve(A,B);
:=
A
2 1 0
-3 -1 1 1 0 -1
+ 1 _t
11
− + 1 _t
21
_t
3 1− − 1 2 _t
11
− 3 2 _t
21
− 3 2 _t
31
_t
11
_t
21
_t
31
> A:=matrix(3,3,[3,1,1,2,-1,1,0,0,0]);B:=matrix(3,3,[1,-2,-1,1,-2,-1,1,-2,- 1]);linsolve(transpose(A),transpose(B));
Le second système n’a pas de solution.
Exercice 3 : Résoudre le système de congruences :
x + 2y + 3z ≡ 1 (mod 5)
x + 3y ≡ 2 (mod 5)
x + 4y + 3z
≡3 (mod 5)
Solution : La commande Linsolve permet de résoudre des systèmes linéaires modulo n.
> A := matrix([[1,2,3],[1,3,0],[1,4,3]]);
:=
A
1 2 3
1 3 0
1 4 3
> b := vector([1,2,3]);
:=
b [ 1 2 3 , , ]
> x := Linsolve(A,b) mod 5;
:=
x [ 4 1 0 , , ] Exercice 4 : Résoudre et discuter le système
3m x + (3m − 7) y + (m − 5) z = m − 1
(2m − 1) x + (4m − 1) y + 2m z = m + 1
4m x + (5m – 7) y + (2m – 5) z = 0 Solution :
Maple fait très bien cela, mais attention ! il y a un problème, sur lequel on reviendra au § 4.5. En effet, Maple affirme que la matrice du système est inversible. Or il en bien ainsi… dans M
3(Q(m)), où Q(m) est le corps des fractions rationnelles à une indéterminée m, car le déterminant du système est –m(m + 2), qui est non nul en tant qu’élément de Q(m). Si l’on se place dans Q, il faut discuter selon que les valeurs de m, et l’on s’aperçoit que pour m = 0 ou
−2 le système est impossible.
> with(linalg):
> A:=matrix(3,3,[3*m,3*m-7,m-5,2*m-1,4*m-1,2*m,4*m,5*m-7,2*m- 5]);b:=array([m-1,m+1,0]);
> rank(A);inverse(A);linsolve(A,b);Delta:=factor(det(A));
3
:=A
3 1 1
2 -1 1
0 0 0
:=
B
1 -2 -1 1 -2 -1 1 -2 -1 :=
B
1 1 3
-2 0 -3 1 -1 0
:=
A
3 m 3 m − 7 m − 5 −
2 m 1 4 m − 1 2 m 4 m 5 m − 7 2 m − 5 :=
b [ m − 1 , m + 1 0 , ]
+ −
2 m
28 m 5 m ( m + 2 )
+ m 3
+
m 2 − 2 m
2+ 7 m − 5 m ( m + 2 )
− 4 m
2+ 12 m − 5
m ( m + 2 ) − 2 m + 5 + m 2
+ − 4 m
211 m 5
m ( m + 2 ) + −
15 m 6 m
27 m ( m + 2 )
+ 7 3 m
+
m 2 − 6 m
2+ 14 m − 7 m ( m + 2 )
, ,
− + +
10 m
210 m 3 m
35
m ( m + 2 ) − 15 m
2− 12 m + 6 m
3+ 5 m ( m + 2 )
+ − +
9 m
319 m
215 m 7 m ( m + 2 )
∆ := −m ( m + 2 )
> A0:=subs(m=0,op(A));b0:=subs(m=0,op(b));linsolve(A0,b0);
rank(A0);colspace(A0);
> A1:=subs(m=-2,op(A));b1:=subs(m=-2,op(b));linsolve(A1,b1);
rank(A1);colspace(A1);
4. Similitude matricielle.
Sont ici groupées les procédures spécifiques aux matrices carrées : déterminant, trace, polynômes caractéristique et minimal, valeurs et vecteurs propres, sous-espaces propres et caractéristiques, diagonalisation et trigonalisation, sous-espaces stables, puissances et exponentielles de matrices, commutants et racines carrées, etc.
4.1. Le problème du chamelier.
Exercice : Un chamelier circule entre les trois oasis A, B et C. Il peut aller en une étape de A à B, de C à B et de B à C, et enfin de C à A. Chercher le nombre d’itinéraires en 100 étapes de C à A.
> with(linalg):
> A:=matrix(3,3,[0,1,0,0,0,1,1,1,0]);
:=
A
0 1 0
0 0 1
1 1 0
> evalm(A^100);%[3,1];
288627200960 506505428836 382349636061 382349636061 670976837021 506505428836 506505428836 888855064897 670976837021
506505428836
> M:=minpoly(A,x);
:=
M − − + 1 x x
3> R:=rem(x^100,M,x);evalm(subs(x=A,R));
:=
R 382349636061x
2+ 506505428836x + 288627200960
288627200960 506505428836 382349636061 382349636061 670976837021 506505428836 506505428836 888855064897 670976837021 :=
A0
0 -7 -5 -1 -1 0 0 -7 -5
:=
b0 [ -1 1 0 , , ] 2 { [ 0 1 0 , , ] , [ 1 0 1 , , ] }
:=
A1
-6 -13 -7 -5 -9 -4 -8 -17 -9
:=
b1 [ -3 -1 0 , , ] 2 { , }
, , 1 0 13
11
, , 0 1 2
11
4.2. Récurrences linéaires, puissances d’une matrice.
Etudions les suites récurrentes linéaires u
n+1= u
n+ 2 v
n, v
n+1= u
n+ v
n, u
0= v
0= 1.
Matriciellement, il s’agit de calculer la puissance n-ième de A =
1 1
2
1 , ce qui peut se faire par diagonalisation de A.
> with(linalg):A:=matrix(2,2,[1,2,1,1]);c:=charpoly(A,x);
f:=factor(charpoly(A,x),sqrt(2));
:=
A
1 2
1 1
:=
c x
2− − 2 x 1 :=
f −( x − + 1 2 ( ) − + + x 1 2 )
> alias(alpha=1-sqrt(2),beta=1+sqrt(2));
k1:=kernel(A-alpha);k2:=kernel(A-beta);
α β ,
> P:=transpose(matrix([op(k1),op(k2)]));
map(simplify,multiply(inverse(P),A,P));
:=
P
1 1
− 1
2 2 1
2 2
> An:=multiply(P,diag(alpha^n,beta^n),inverse(P));
:=
An
1 + 2 α
n1
2 β
n− 1 +
2 2 α
n1 2 2 β
n− 1 +
4 2 α
n1
4 2 β
n1 +
2 α
n1 2 β
n> V:=multiply(An,vector([1,1]));limit(V[1]/V[2],n=infinity);
:=
V
+ − + , 1
2 α
n1 2 β
n1
2 2 α
n1
2 2 β
n− 1 + + +
4 2 α
n1
4 2 β
n1 2 α
n1
2 β
n2 β
+
2 2
Mais on peut aussi recourir à la commande rsolve, qui fournit en outre les fonctions génératrices:
> rsolve({u(n+1)=u(n)+2*v(n),v(n+1)=u(n)+v(n),u(0)=1,v(0)=1},{u,v});
= ( ) u n 1
2
+ + −
1
− + 1 2
n
2
1
− + 1 2
n
− 1
+
1 2
n
2
− 1
+
1 2
n
(− + 1 2 () 1 + 2) ,
= ( )
v n 1
4 2
+ − +
1
− + 1 2
n
2
1
− + 1 2
n
− 1
+
1 2
n
2
− 1
+
1 2
n
( − + 1 2 ( ) 1 + 2 )
>
rsolve({u(n+1)=u(n)+2*v(n),v(n+1)=u(n)+v(n),u(0)=1,v(0)=1},{u,v},'genfunc' (x));
{ v x ( ) = − 1 , }
− +
x
21 2 x u x ( ) = − x + 1 − + x
21 2 x
Etudions les suites récurrentes u
n+2= u
n+1+ u
n, x
n+2= x
n+1+ x
n+ u
n, u
0= x
0= 0 , u
1= x
1= 1.
On reconnaît la suite de Fibonacci et une « Fibonacci itérée ».
:=
k2 { }
, 1 1
2 2 :=
k1 { }
, 1 − 1
2 2
α 0
0 β
La commande rsolve marche, mais on peut aussi procéder autrement, car si T est l’opérateur de décalage, alors u
∈Ker(T
2– T – I) et x
∈Ker(T
2– T – I)
2.
> rsolve({u(n+2)=u(n+1)+u(n),u(0)=0,u(1)=1},u);
+
− + 1 1 5 5
−2 1
−
1 5
n
−
1 5
− 1 −
5 5 1
−2 1
+
1 5
n
+
1 5
> rsolve({u(n+2)=u(n+1)+u(n),u(0)=0,u(1)=1},u,'genfunc'(x));
− x
− + + 1 x x
2> rsolve({u(n+2)=u(n+1)+u(n),x(n+2)=x(n+1)+x(n)+u(n),u(0)=0,u(1)=1,x(0)=0, x(1)=1},{u,x});
= ( ) u n −4
5 5
−
−2 1 +
1 5
n
2 1
− + 1 5
n
(− + 1 5 () 1 + 5) x n( ) 8 25 6
2 1
− + 1 5
n
− 5
− = ,
5
2 1
− + 1 5
n
n 5
2 1
− + 1 5
n
5 n 6
− 2 1 +
1 5
n
+ − + 5
5
−2 1
+
1 5
n
5 n 5
−2 1
+
1 5
n
+ + n (− + 1 5)2(1 + 5)2
( )
> rsolve({u(n+2)=u(n+1)+u(n),x(n+2)=x(n+1)+x(n)+u(n),u(0)=0,u(1)=1,x(0)=0, x(1)=1},{u,x},'genfunc'(z));
{ x z ( ) = − z ( z − 1 ) , }
− − + +
1 2 z z
22 z
3z
4u z ( ) = − z
− + + 1 z z
2Exercice : étudier les suites récurrentes u
n+5= u
n+4+ 5.u
n+3– u
n+2– 8.u
n+1– 4.u
n. Lesquelles sont bornées ? convergentes ?
Solution : via le théorème des noyaux, cela donne :
> P:=X^5-X^4-5*X^3+X^2+8*X+4;factor(P);
:=
P X
5− − X
45 X
3+ + X
28 X + 4 ( X − 2 )
2( X + 1 )
3> u:=n->(a*n+b)*2^n+(c*n^2+d*n+e)*(-1)^n;
:=
u n → ( a n + b 2 )
n+ ( c n
2+ + d n e ( ) -1 )
nLes suites bornées correspondent à a = b = c = d = 0 ; elles sont du type e(−1)
n. La seule suite convergente est la suite nulle.
> restart;rsolve({u(n+5)=u(n+4)+5*u(n+3)-u(n+2)-8*u(n+1)-4*u(n)},u);
− − − +
1
18 u 4 ( ) 7
18 u 1 ( ) 4
27 u 0 ( ) 5
18 u 2 ( ) 1
54 u 3 ( ) 2
n−
− − − +
1
54 u 4 ( ) 5
54 u 1 ( ) 1
27 u 0 ( ) 1
18 u 2 ( ) 1
54 u 3 ( ) ( n + 1 2 )
n+
+ + − −
2
9 u 4 ( ) 4
9 u 1 ( ) 56
27 u 0 ( ) 10
9 u 2 ( ) 7
27 u 3 ( ) ( -1 )
n+
− 8 − − + +
27 u 4 ( ) 32
27 u 1 ( ) 44
27 u 0 ( ) 11
9 u 2 ( ) 13
27 u 3 ( ) ( n + 1 ( ) -1 )
n+
+ + − −
1
9 u 4 ( ) 4
9 u 1 ( ) 4
9 u 0 ( ) 1
3 u 2 ( ) 2
9 u 3 ( ) ( n + 1 )
1 +
2 n 1 ( -1 )
n+
> rsolve({u(n+5)=u(n+4)+5*u(n+3)-u(n+2)-8*u(n+1)-4*u(n)},u,'genfunc'(x));
( )
u 0 + u 1 x ( ) + u 2 x ( )
2+ u 3 x ( )
3+ u 4 x ( )
4− x ( ) u 0 − u 1 x ( )
2− u 2 x ( )
3− u 3 x ( )
4(
5 x
2u 0 ( ) 5 x
3u 1 ( ) 5 x
4u 2 ( ) x
3u 0 ( ) x
4u 1 ( ) 8 x
4u 0 ( )
− − − + + + ) (
+ − − + + 1 4 x
5x 5 x
2x
38 x
4)
> solve({1/18*u(4)-7/18*u(1)-4/27*u(0)-5/18*u(2)+1/54*u(3)=0,1/54*u(4)- 5/54*u(1)-1/27*u(0)-1/18*u(2)+1/54*u(3)=0,-8/27*u(4)-32/27*u(1)-
44/27*u(0)+11/9*u(2)+13/27*u(3)=0,1/9*u(4)+4/9*u(1)+4/9*u(0)-1/3*u(2)- 2/9*u(3)=0},{u(0),u(1),u(2),u(3),u(4)});
{ u 2 ( ) = − u 3 ( ) , u 1 ( ) = u 3 ( ) , u 0 ( ) = − u 3 ( ) , u 4 ( ) = − u 3 ( ) , u 3 ( ) = u 3 ( ) } Etudions maintenant les puissances de quelques matrices stochastiques.
> Digits:=2;f:=proc(x) if abs(x)<0.01 then 0 else x;fi;end;
:=
Digits 2 :=
f proc proc proc proc( ) x if if if if abs x ( ) < .01 then then then then 0 else else else else x end if end if end if end if end proc end proc end proc end proc
> A:=matrix(3,3,[1,0,0,0.4,0.6,0,0.2,0.4,0.4]);map(f,evalm(A^100));
:=
A
1 0 0
.4 .6 0 .2 .4 .4
> A:=matrix(3,3,[0.2,0.3,0.5,0.5,0.2,0.3,0.3,0.5,0.2]);map(f,evalm(A^10));
:=
A
.2 .3 .5 .5 .2 .3 .3 .5 .2
>
A:=matrix(5,5,[1,0,0,0,0,0.5,0,0.5,0,0,0,0.5,0,0.5,0,0,0,0.5,0,0.5,0,0,0,0 ,1]);map(f,evalm(A^100));
:=
A
1 0 0 0 0
.5 0 .5 0 0 0 .5 0 .5 0 0 0 .5 0 .5
0 0 0 0 1
>
A:=matrix(5,5,[0,1,0,0,0,0.5,0,0.5,0,0,0,0.5,0,0.5,0,0,0,0.5,0,0.5,0,0,0,1 ,0]);map(f,evalm(A^100));
:=
A
0 1 0 0 0
.5 0 .5 0 0 0 .5 0 .5 0 0 0 .5 0 .5
0 0 0 1 0
.16 0 .30 0 .16 0 .50 0 .50 0 .16 0 .32 0 .16
0 .50 0 .50 0 .16 0 .30 0 .16
4.3. Réduction de matrices.
> with(linalg):
> #exemple 1
> A:=matrix(3,3,[5,-3,2,6,-4,4,4,-4,5]);
:=
A
5 -3 2 6 -4 4 4 -4 5
1. 0 0 1.0 0 0 .99 0 0
.35 .35 .35 .35 .35 .35 .35 .35 .35
1. 0 0 0 0
.73 0 0 0 .24 .49 0 0 0 .49 .23 0 0 0 .74
0 0 0 0 1.
