Théorie dynamique de la capillarité

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Submitted on 1 Jan 1899

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Gerrit Bakker

To cite this version:

Gerrit Bakker. Théorie dynamique de la capillarité. J. Phys. Theor. Appl., 1899, 8 (1), pp.545-552.

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THÉORIE DYNAMIQUE ^{DE LA} CAPILLARITÉ;

Par M. GERRIT BAKKER.

§ . Relation générale ^{entre la} pression extérieure, ^la pression thermique ^et la cohésion d’un liquide. - Considérons ((lg. 1) ^{dans le} liquide ^un parallélipipède rectangle ECDF, de section 1, adjacent ^et

la paroi ^{AB du vase.} Les forces qui sollicitent une molécule de cette

masse sont de trois sortes :

Fio. 1.

1° La force extérieure (force ^de gravitation, ^force magné- tique, etc.) ;

2° La résultante des actions des autres molécules sur elle ;

3° La force de percussion provenant des chocs des molécules voi- sines.

Soient : V1 ^et V2, ^les potentiels respectifs des forces extérieure ^et

moléculaire ; f, la résultante des forces de percussion, laquelle ^{fait un} angle « ^{avec l’axe des x.}

L’équation ^{du mouvement} d’une molécule de ^{masse in} parallèle-

ment à OX est alors :

Étendons à toutes les molécules de ECDF ; ^{il vient :}

L’expression rf ^{cos 2} comprend uniquement ^les forces de percus- sion f provenant des molécules extérieures à ECDF, ^{car celles} qui proviennent des molécules intérieures à ce volume ^sont deux à deux

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018990080054500

égales ^{et de} signes contraires, ^{en vertu de} l’égalité de l’action et de la réaction.

Prenons, ^comme seule force extérieure, ^la pesanteur ^et plaçons ^la paroi ^AB horizontalement;

^Em dV1 dx ^{est le} _poids ^du parallélipi- pède ECDF. Si p, désigne ^la pression extérieure exercée par EF ^et

si _p est la pression ^sur CD, ^{on a :}

Comme pour Ef cos ^x, l’expression

^Ein dV2 dx ^{comprend unique-}

ment les forces moléculaires provenant des molécules extérieures à ECDF, les forces moléculaires provenant des molécules intérieures

se détruisant deux à deux.

Par raison de symétrie, les forces moléculaires extérieures s’exer- çant ^{sur CE et DF se} détruisent ; ^{il ne reste} donc que les forces moléculaires provenant ^{de la} paroi ^{AB et celles} qui proviennent ^des

molécules situées au-dessous de CD. J’appelle ^cohésion la résultante

(rapportée ^{à l’unité de surface)} des forces moléculaires s’exerçant

de part ^et d’autre de CD, résultante proportionnelle ^{au carré de la}

densité _p existant dans le plan ^{CD et au} voisinage (C ⁼ ap2).

Les forces de percussion extérieures ont une composante ^nulle parallèlement ^{à CE et à} DF; la force de percussion provenant ^{de la} paroi ^{EF et normale à EF, combinée avec} l’action moléculaire de la

paroi ^{EF sur} les molécules intérieures, donne pour résultante Po ;

j’appelle ^{0 la} partie de Ef cos ^el qui ^se compose de forces de percus- sion s’exerçant ^{dans le} plan ^{CD et} perpendiculairement ^{à ce} plan.

L’équation (1) s’écrit alors :

Soit 1 l’abscisse du centre de gravité ^de ECDF ; ^{on a :}

M étant la ^masse totale du parallélipipède. On voit donc que ^Em d2x dt2

oscille autour de zéro ; ^{on a donc en} moyenne :

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ou

6 étant la pression thermique; ap2, ^la cohésion ; ^et p, la pression hydrostatique.

Écrivons maintenant la relation (1) pour ^un élément dxdydz ,du liquide, de densité _p et non adjacent ^{à la} paroi; ^{il viendra :}

d’où:

L’hydrostatique ^{nous donne :}

et l’équation (2) ^{fournit :}

La combinaison de ces deux relations et de la relation (3) ^{donne :}

§ 2. Pression înoléculaire.

E n posant ^{C =} ap2, nous avons

supposé que la densité du liquide ^{ne variait} pas ^au voisinage ^{de CD ;}

il n’en est pas toujours ^ainsi (exemple dans la couche capillaire),

mais alors on a la relation p = ⁰

^C. L’équation p ^{= 0} - ap2 ^est l’équation relative à la phase homogène.

Il ne faut pas confondre la cohésion C ⁼ ap2 ^{avec la pression molé-}

culaire de Laplace : ^{K T} a (p21

P22), P1 ^et P2 étant les densités ^du

liquide ^{et de la} vapeur ^saturée.

Considérons un élément plan ^{de la} surface du liquide, ^normale-

ment à cette surface : on a :

Soit pj la pression hydrostatique :

Soit p ^la pression hydrostatique pour ^la phase homogène ^{de den-}

sité p (’ ), ^{on aura 6} - 1) -f- ap2 ^{ou do =} dp + 2apdp ^{et, en vertu de} (4),

Pour la couche capillaire ^et par ^unité de surface, ^{on aura donc :}

Le terme - f2 pdV2 provient uniquernent des forces moléculaires

1

provenant ^des molécules extérieures à l’élén1ent de volume consi- déré, les forces moléculaires intérieures se détruisant deux à deux.

Si l’on prend ^{comme direction} positive ^celle qui ^{va du} liquide

vers la vapeur, + f2pdV2 ^{n’est autre que la pression} moléculûire K :

A l’extérieur du liquide, aussi bien que de la vapeur saturée,

p = p1 , donc :

Soit X la chaleur de vaporisation ^{interne :}

d’où:

ou, d’après la loi du diamètre rectiligne de Cailletet et de Mathias,

.A. et B étant des constantes. Ainsi donc :

Le quotient ^{de la} pression 1noléculaire d’un liquide ^{en contact avec}

scz vapeur par la chaleur de vaporisation ^{interne est une} (onction

linéaire et d écroissante de la température.

A la température critique, ^{on a K == À = o.}

(1) C’est-à-dire la pression qui régnerait ^{dans le} liquide ^{si celui-ci} remplissait

un vase avec la densité _p.

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§ 3. Loi de Maxu)ell-Clausius.

Appliquons ^{la relation} (3):

da ^{- ---} pdV1

pdV 2’ ^{à la couche} capillaire dans la direction de la normale à la surface allant du liquide ^vers la vapeur. Soient ^la pression ^au point considéré, et p ^la pression que donnerait ^{au même}

point ^une phase homogène ^de densité o ; ^{on a :}

d’où il vient d’après (3) :

ou :

L’hydrostatique ^{donne :}

ou

d’où:

Le potentiel des forces moléculaires étant

2ap, ^{on a :}

d’où :

Si l’on néglige ^la pesanteur de la couche capillaire, ^{p, = Cre, et} l’équation (10) ^{devient :}

c’est la relation de Maxwell-Clausins.

§ 4. Pression moléculaire cl’une couche capillaire sphérique.

Considérons (fig. 2) ^{un vase} sphérique ^{contenant de la vapeur et un}

noyau sphérique concentrique ^de liquide. Faisons abstraction ^de la

pesanteur; ^{soit V le} potentiel moléculaire ; je dis que l’on ^a

Soient : M , ^{le centre} du vase ; ABC, DEF, ^{la couche} capillaire ^limi-

tée par ^{un secteur} sphérique ^MGH.

Fic,. 2.

Soient IYIC ⁼ R; ^R -j-- ^{h est} le rayon d’une couche sphérique ^infi-

niment mince, d’épaisseur dhx, ^{de la couche} capillaire; ^{cette couche}

doit être en équilibre ^{sous l’action de la} pression thermique ^{et des}

forces moléculaires.

La pression thermique s’exerçant ^contre la surface sphérique ^con-

’ cave de la couche considérée a pour résultante :

la pression thermique s’exerçant (en ^sens contraire) ^{contre la surface}

convexe est :

La pression thermique ^contre la surface latérale du tronc de cône

d’angle ^{oc a} pour valeur :

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De méme, la force moléculaire a pour résultante :

Pour l’équilibre ^{il faut :}

d’où, ^en négligeant ^les quantités ^{du second ordre, do = 2013} pdV .

On a donc :

p, ^et p2 ^sont les pressions ^{dans le} liquide ^et dans la vapeur.

FIG. 3.

Soit ABC (fig. 3) ^le liquide ^{entouré de sa} vapeur ; le liquide ^{est en} équilibre ^{sous la} pression p, ^et la tension de la couche capillaire ; ^la

vapeur ^{est en} équilibre ^sous l’action de cette même tension et de la

pression ^{P2’ Donnons aux} pistons ^{un mouvement} virtuel. Soit dn

l’augmentation du rayon R du noyau liquide ; ^{la variation de volume}

est sdn, s ^étant la surface intérieure de la couche capillaire. ^{Soient m}

la masse de l’unité de volume de cette couche, ^{et xm la} quantité ^de liquide qui ^{contribue à} la formation de cette masse m :

(1) ^{La masse est} pdV par unité de surface. ^et la force relatives à l’unité de

masse s’exerçant ^{dans la direction} du rayon ; - dV dh.

En augmentant ^le rayon du noyau liquide ^de dn, ^{la masse de la}

couche capillaire augmente de2 2 ^{sdn. m, le liquide y} contribuant pour 2

une masse 2 R ^{sclîn . xîn. Si p, est} la densité du liquide, le volume de sdm. xm ,

cette dernière masse

est îî _p1 ^et le travail extérieur est:

R P1

On démontrerait de même que le travail extérieur de l’autre piston

est :

Soit ^« l’énergie capillaire de l’unité de surface ; écrivons que ^la variation de cette énergie ^est égale ^au travail extérieur total :

Soit p’ la densité moyenne de la couche capillaire d’épaisseur ^{h en}

a ; ^en remarquant que M ⁼ h?’ ^{et en} sin1plifiant,

Or h est une quantité ^fort petite qui n’est ^pas mesurable ; ^d’autre

part, ^la parenthèse ^est toujours de l’ordre de grandeur de p, ^ou de P2;

aux basses températures P2 ^est très petit, ^{mais P2 reste fini ; on} peut

P2

donc écrire : ^P2

équation obtenue de façons diverses par lord Kelvin, Gibbs et Van der Waals.

Portons cette valeur de p1 J - P2 dans (11), ^{il vient :}

Si la vapeur ^{est entourée} du liquide, ^{on trouve :}