Contribution à l'étude des frottements visqueux (Suite)

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Submitted on 1 Jan 1932

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Contribution à l’étude des frottements visqueux (Suite)

Pierre Ernest-Mercier

To cite this version:

Pierre Ernest-Mercier. Contribution à l’étude des frottements visqueux (Suite). J. Phys. Radium,

1932, 3 (2), pp.73-82. �10.1051/jphysrad:019320030207300�. �jpa-00233084�

CONTRIBUTION A L’ETUDE DES FROTTEMENTS VISQUEUX (Suite.)

Par PIERRE ERNEST-MERCIER.

Sommaire. - I. L’auteur établit la relation existant entre les courbures et leurs dérivées partielles, ^au voisinage ^d’un point ^{dans un réseau} curviligne orthogonal.

Il en déduit une nouvelle forme des expressions ^{de 0394u et 0394v en} fonction des arcs de filets et de trajectoires et de leur courbure au voisinage ^d’un point, ^forme particulière-

ment simple ^et qu’il ^était impossible ^de prévoir ^en coordonnées ordinaires, ^{dans le cas le} plus général du mouvement plan.

II. Signification ^{de 0394u et 0394v au} point ^{de vue} physique.

a) ^{absence de} tout effort théo-

rique ^{dans le cas de} la convergence pure : résultat ^en contradictien avec ce qu’on peut attendre d’un fluide réel. Nécessité d’un terme correctif traduisant le travail de laminage

en l’absence de glissement et de torsion.

b) ^L accroissement de _03BC au voisinage des surfaces solides, résultats complémentaires ^de

la théorie des états frontières (boundary ^{state des} Anglais).

III. L’auteur termine en exposant les difficultés s’opposant à l’emploi pur et simple ^de

la représentation intrinsèque en 03C8 et ~ : s1 ^{et s2 ne} constituant pas ^des variables indé-

pendantes pour ^un déplacement ^le long ^d’un filet ou d’une trajectoire.

Emploi ^des expressions

pour définir ^un réseau en coordonnées curvilignes par les courbures rapportées ^{aux axes} curvilignes.

Nouvelle forme de la condition d’orthogonalité. ^Le potentiel de courbure et le facteur de distorsion du réseau.

La méthode semble susceptible d’intéresser l’hydraulique.

Nous avons exposé précédemment (1) comment il était possible d’exprimer les efforts

visqueux tangents (à u) ^{et normaux} (Jv) ^à la vitesse dans le cas du mouvement plan ^d’un

fluide visqueux incompressible, ^en fonction des courbures 1¥ et (D des arcs de filets et de

trajectoires ^au voisinage ^du point, de leurs dérivées partielles ^le long ^{de ces arcs.}

Les résultats obtenus étaient :

on Il’ représente la courbure du filet comptée positivement lorsque ^{sa concavité} est tournee (t) Phys., avril 1931.

.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019320030207300

vers les s, positiis ; ^{où m} représente la courbure de la trajectoire normale, satisfaisant à la relation :

le long ^{du filet} lorsqu’on désigne par ^{E sa} distance à un filet infiniment voisin, dsi ^et ds~

figurant respectivement ^{des arcs} de filet et de trajectoire orthogouale.

Comme la relation (i) correspond ^{à une} convention de signe inverse de celle qui ^était adoptée pour 1)! ^{alans le cas où les sens} positifs ^{de ,si et s, sont tels} qu’on tourne de l’un

vers l’autre dans le sens direct, ^convenons d’adopter définitivement _pour la même convention que pour 4) ^ce qui ^{donne : -.}

et + peuvent prendre ^{en un} point des valeurs quelconques, il n’en est pas ^de lnême pour leurs dérivées ; ^{en effet} l’orthogonalité ^{en tout} point ^du plan des courbes IF et ~ entraine une condition entre ces quantités et leurs dérivées partielles.

Recherchons l’expression de cette condition dans le cas de nos notations :

Si l’on considère a partir ^{de M un} quadrilatère curviligne infiniment petit M Mi M2 M,

les angles ^en Mi MM2 ^étant supposés droits, l’angle ^en M3 ^{le sera} si :

Angle ^des tangentes ^{en M et} MI à ^l’arc angle ^des tangentes.enM1 et M3 ^{à l’arc}

angle ^des tangentes ^{en M et M2} â l’arc MM2 -E- angle ^des tangentes ^en M2 et M3 ^à1VCMa. (4)

Pour ^{l’établir nous nous} appuierons ^sur la remarque suivante.

La courbure moyenne d’un ^arc infiniment petit ^est égale ^{à la} moyenne des valeurs de la courbure en ses extrémités, ^{au terme} du 2e ordre près.

Posons

75

11"0 ⁼ courbure du filet en )1.

~o ⁼ courbure de la trajectoires ^{en 31.}

Pour la clarté des formule;, ^convenons de supprimer l’indice 0 pour les dérivées par- tielles de bo ^{et au} point ^31.

Angle ^des tangentes ^{en lI et MI}

D’autre part

-

dsi ^au 3e ordre près.

d’après la formule (4) ^en désignant par la courbure moyenne de NI 31z _{et par} ô si ^un

élément d’arc intermédiaire entre ds, et

a pour partie principale ^dsl (aux ^{termes dru 21 ordre en dsl et} ds2).

La partie principale ^{de s, est} égale ^à ds1 pour la même raison et ^{en se} limitant aux

termes du 2e ordre dans l’évaluation de d’sz, peut ^être pris égal ^{à 1)0 au 3e ordre} près ^en ds, ; ^{on a donc}

de même

On a donc :

Angles ^des tangentes ^{en : «.}

De même

angle ^des tangentes ^en

et

1

angle ^des tangentes ^en

De la relation IV existant entre ces angles, ^{on déduit} après ^réduction des termes sem-

blables

aux termes du 3e ordre près.

On ^{en déduit :}

qui traduit la condition d’orthogonalité des courbes des deux familles ^{en tout} point ^du

réseau.

76

Application de la condition d’orthogonalité ^à l’expression Signifi-

cation de AM et de Av.

Portons dans l’équation (2) la valeur de 1)2 +à 4) tirée clé ès,

formule précédente :

Il vient :

Les termes en V~~~ ^se détruisent et l’on a :

soit

Comme ul ^{V = vitesse} angulaire ^{de l’élément de filin}

Le premier terme caractérise l’effort différentiel dans le cas des films sans courbure;

le deuxième caractérise les efforts engendrés par la courbure.

Revenant à l’expression ^de

nous pouvons, ^{soit conserver la} première expression soit lui substituer

d’après la formule qui traduit la continuité de l’écoulement le long ^{du filet-} si ^q

Et ^en remarquant que :

et ^en posant G ^~- glissement ^{il vient :}

77

Sous sa forme (7) ^on aperçoit immédiatement la symétrie qui existe entre AM et 3v,

efforts tangents ^{et normaux} à la vitesse.

Ces expressions doivent leur simplicité, ^en dépit ^{de leur} généralité ^{au fait} qu’elles

renferment les courbures et les arcs du système ^fluide étudié, ^{et non} pas des projections

cle vecteurs sur des axes arbitraires, étrangers ^au système.

En particulier, ^{si au} voisinage ^d’un point, les cercles tangents ^aux filets sont concen~.

triques, ^{on retrouve :}

R étant le rayon de courbure des filets. Expression trouvée par Havelocke dans le ^cas très spécial du mouvement de deux cylindres concentriques.

Analyse ^et discussion de 6.u. - a) ^{Sous sa forme} (2) ^{Au semble} dépendre égale-

ment de (b et de llf, ^en fait, nous avons vu qu’en ^{raison de la} dépendance ^{de ces deux fonc-}

tisons (équation 5), ^la nullité de W et de sa dérivée par rapport ^{à S2 entraîne celle de}

Comme l’expression ^{finale de le fait} prévoir, ^{en l’absence de tout} glissement, Au est nul quel que soit m lorsque T ^{et sa} dérivée par rapport ^{à s2 sont nuls. Ce}

cas est cependant ^fort important puisque ^c’est celui d’un faisceau de films plans convergeant

vers une droite commune, et qu’il correspond précisément ^{au cas de} la convergence pure.

La démonstration directe en est aisée. Pour un mouvement plan convergent ^{on a} la relation

général

V . r = k _-_ constante,

î- étant la distance au centre de convergence ^{et V la} vitesse. Prenons un système ^d’axes rectangulaires ayant pour origine ^{le centre} de convergence ; soient u et v les composantes

.de V suivant ces axes. On ^a

On vérifie facilement que

par conséquent ^{on a}

it d’une façon analogue

En l’absence de tout effort tangent, ^{un film sans courbure ne} peut donner naissance à un

effort résistant parallèle ^au mouvement. Ce fait, parfaitement intelligible ^{si on} suppose la structure du fluide infiniment petite, soulève des objections très réelles dans le cas où les molécules ont une dimension finie quoique ^très petite (cas réel) ^{si on considère un film en} mouvement ^accéléré, pour lequel -1) ^est différent de zéro.

’

Dans le cas des films en mouvement uniforme, ^le déplacement moyen, ^en bloc, ^de

toutes les particules ^fluides disposées ^{sur un même film est un fait} physique engendré par le caractère uniforme du mouvement considéré.

Dans le mouvement accéléré, ^il en est tout autrement, ^{et nous ne} pouvons définir les

78

films comme des surfaces affectées d’une certaine épaisseur constante, qu’en ^{admettant en}

même temps ^à chaque instant dans chaque partie ^de l’espace occupée par le liquide l’appa-

rition ou la disparition par fusion ^ou génération ^d’un nombre déterminé de films.

Ces apparitions ^ou disparitions de films sont réparties vraisemblablement dans la

masse mouvante suivant une loi statistique ^en rapport ^{avec celle} qui régit l’agitation ^ther- mique ; ^{mais on ne} peut ^admettre qu’elles ^n’en modifient pas le régime, ^et qu’elles ^se produisent ^sans absorption d’énergie.

Il semble donc qu’il faille rechercher expérimentalement ^{la valeur} d’un coefficient de

freinage, consécutif aux efforts de contraction ou de divergence pure, et ^non prévu ^dans l’expression classique ^{de A u.}

b) ^{Nous savons} aujourd"huj par de nombreux travaux que la polarisation ^{des molécules}

fluides au voisinage immédiat des surfaces solides est un fait indéniable, manifesté _par l’existence d’une pression ^normale (la pression Leslie) ^et par le passage du frottement

visqueux ^au frottement onctueux, (le ^« boundary ^{state ~~ des} Anglais) : ^{à une distance} comprise ^entre 0,7 V. ^et 0,6 p. ^{la loi du} frottement visqueux liquide ^sur liquide n’est plus

valable.

Mais nous ne savons rien sur les variations de jJ, coefficient de viscosité à des distances

comprises ^entre 0,7 ¡.L ^{et un ou deux j,i. Il est} certain que l’action polarisante ^des parois

dont on voit l’effet maximum dans l’étude du graissage onctueux, ^{s’étend au delà de la} limite de 0,7 [J. ^et exerce une action décroissante avec la distance sur le coefficient de frotte-

ment

Nous nous proposons d’étudier expérimentalement ^cette action, ^{et de} rechercher un

terme correctif susceptible de traduire dans l’expression des efforts visqueux ^l’action polari-

sante exercée par les parois à courte distance.

Essai d’une représentation intrinsèque applicable ^à l’hydraulique.

^Nous

avons insisté sur le fait que les formules trouvées pour ^{à u} et à v n’étaient valables qu’au voisinage ^d’un point : la raison immédiate en est que l’intégration pure et simple ^des expressions précédentes, à supposer qu’elle ^fut possible, s’appliquerait à ^une représenta-

tion où chaque point ^{du réseau se} trouverait défini par ^ses distances curvilignes à ^deux

courbes particulières ^du réseau, prises ^comme origines des coordonnées de distance.

Or, ^il apparaît immédiatement que les ^arcs si et s, ainsi mis en jeu varient simulta- nément lorsqu’on ^{suit une courbe} particulière du réseau. On ^ne peut donc utiliser ce mode de représentation.

Cependant les efforts visqueux ^ne sont pas les seuls qui prennent ^{une forme} particu-

lièrement simple lorsqu’on fait intervenir les courbures et les arcs de filets et de trajec-

toires :

L’accélération normale a pour expression :

l’accélération tangentielle peut ^{s’écrire :}

expressions rigoureusement symétriques.

C’est pourquoi nous avons cherché un mode du représentation échappant à ^{la diffi-}

culté signalée précédemment. ^Sans prétendre avoir trouvé la solution de ce problème, ^nous

nous contenterons d’exposer les résultats suivants :

Soit Ci ^et C, deux courbes particulières ^{du réseau} supposées orientées et se coupant ^en-

0 origine des coordonnées. A chaque point ^{M on} peut ^faire correspondre ^{les arcs de filets}

79

et de trajectoires ^{M1M et} définissant une abcisse et une ordonnée curvilignes (fig. 2 ) ¹

W et ~, ^{courbures en M} peuvent être considérées comme fonctions de x et ~.

.

’

Fig. ^2.

Considérons un point N très voisin de NI sur M2M ^{et P sur} M1M ^soit 04N, -- x + ^dx

l’abcisse de N et 0 P2 = y + d y l’ordonnée de P, ^les rapports

et

ont généralement ^{un sens} quand N et P tendent vers M.

Introduisons alors les nouvelles fonctions 1J;~’ et 1)’ liées à 1F et + par

ces fonctions sont évidemment telles que

le long d’Un filet quelconque ^et

elles conservent donc les angles engendrés par les courbures.

Cherchons directement la nouvelle forme de la condition d’orthogonalité pour U" ^et 4t’, elle s’écrit :

soit

80

Equation qui ^est satisfaite si et - (1)’ sont les dérivées partielles d’une fonction A que ^nous dénommerons potentiel de courbure du réseau :

D’ . 1. à S, S2

h 1 l 1.. t t

Désignons

par ^il et v les expressions 2013, ^{as2 et cherchons} les relations existant àx 11

entre u, ^v et 1>’ : u et v peuvent être considérés comme fonctions de x et y.

Considérons deux trajectoires ^{voisines N et} Ni ^{et les arcs} dst, ds’, qu’elles interceptent

sur deux filets voisins F F’ (figure 3).

Cherchons la limite de

d’où l’on déduit :

11’"’

mais comme, T ^{= ---}

u

et par symétrie

D’autres relations se déduisent des précédentes ^et permettent d’exprimer la vitesse ^en

81 un point du réseau en fonction de sa valeur à l’intersection ^du filet considéré et des axes

curvilignes

^{ceux-ci ont en} effet pour équation intrinsèque :

Nous avons fait intervenir les 7 fonctions A, u, V, et 4) qui ^sont liées par les 7 relations distinctes :

Les deux équations ^9.

L’équation ^10.

Les deux équations ^11.

Les deux équations ^1~.

On montre facilement _{quc la} connaissance de A suffit à définir le réseau. En effet on

peut déduire de A la fonction t = v facteur de distorsion de la façon ^{suivante :}

u

On part ^des équations 12 que l’on écrit :

~en remarquant quc

on en déduit :

d’où d’après (XI)

relation qui ^{définit t à} partir ^{de A.}

On peut donc calculer ^u et v d’après (13) et connaître et 1) en tout point ^{du réseau} d’après 9.

A titre d’exemple A = constante définit un quadrillage de droites (t ⁼ 0) A =y ^donne (avec t ⁼⁼ x) ^la représentation d’une série de cercles concentriques ^{et le}

faisceau de droites concourantes formé par leurs rayons. (En prenant ^{comme courbes de}

références ox un rayon quelconque ^et oy le cercle de rayon =1 )

A .d 1

t l ^11.’ h..

A = x qui donne - t ^{= y} représente le même réseau avec un choix inverse de courbes de références.

L’application de ces méthodes aux problèmes ^de l’hydraulique ^{(en mouvement} plan)

ne soulèverait aucune difficulté si l’expression de t était aisée à trouver. La formule 14 ou

les expressions écluivalentes (12) ^{ne sont pas en} général ^d’un maniement aisé

et le

champ est ouvert à toute autre mode de représentation intrinsèque plus ^maniable possé-

dant les avantages exposés ^en faveur de celui-ci.

Remarquons cependant ^en terminant que la seule connaissance de t, permet

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d’exprimer ^les équations ^de l’hydraulique ^{non visqueuse en} fonction des nouvelles variables 11’" et (1)’.

En effet ces équations s’écrivent :

ou

Manuscrit reçu le 10 novembre i93~.