Annexe A Le code MCRT en d´etails

Le code MCRT en d´ etails

A.1 Introduction

Dans cette appendice, nous d´ ecrivons le code de transfert radiatif que nous avons mis au point durant notre th` ese. Comme pr´ ecis´ e dans le Cha- pitre 8, le code MCRT r´ esoud le probl` eme du transfert de la radiation dans un milieu compos´ e d’atomes/ions ` a deux niveaux soumis ` a un champ de vi- tesse donn´ e en faisant appel ` a la technique de Monte Carlo. L’id´ ee g´ en´ erale et les principes de base de cette m´ ethode ayant ´ et´ e d´ etaill´ es dans la Sect. 8.3, nous ne reviendrons pas sur ces points ici. Une premi` ere partie de cette an- nexe sera essentiellement d´ edi´ ee ` a la description de la vie des photons, depuis leur ´ emission, le rep´ erage des zones de r´ esonances le long de leur trajectoire et l’obtention de spectres et images ` a partir des simulations r´ ealis´ ees. Nous d´ ecrirons ensuite diff´ erentes am´ eliorations apport´ ees au code initial afin de rendre ce dernier plus performant et versatile. La derni` ere partie montrera comment l’approximation de Sobolev peut ˆ etre facilement introduite dans le code MCRT.

A.2 monte Carlo et le transfert de la radia- tion

A.2.1 Emission d’un photon du continuum

Le lieu d’´ emission du photon sur la photosph` ere

de rayon R

est choisi de fa¸con al´ eatoire en supposant une ´ emission isotrope sur l’enti` eret´ e de la

1

Nous appelerons photosph` ere la limite de la r´ egion dans laquelle les photons sont produits. Dans le cas qui nous int´ eresse ici, les quasars, cette r´ egion correspond ` a la r´ egion du disque d’accr´ etion, id´ ealis´ e ici par un sph` ere.

203

Fig. A.1 – G´ eom´ etrie de l’´ emission d’un photon par la photosph` ere produi-

sant le continuum (ici une sph` ere de rayon R

). La position du point d’´ emission

(R

, θ

, φ

) sur la photosph` ere ainsi que la direction de vol initial − → n

(θ

, φ

) du

photon cr´ e´ e sont d´ etermin´ ees en ´ echantillonnant al´ eatoirement les fonctions de

distribution correspondantes (voir texte).

surface (4π sr). Etant donn´ e cette isotropie, la probabilit´ e pour un photon d’ˆ etre ´ emis en un point (R

, θ

∈ {0, π}, φ

∈ {0, 2π})

est donn´ ee par l’Eq. (eqinver) :

P (θ

, φ

) =

R

0

R

0

R

sin θ dθdφ

R

R

0

R

sin θ dθdφ (A.1) de laquelle on obtient par int´ egration sur θ et φ et inversion de la relation :

φ

= 2π ξ (A.2)

θ

= acos(1 − 2 ξ

) (A.3)

o` u ξ et ξ

sont deux nombres al´ eatoires diff´ erents de fonction de distribution uniforme dans l’intervalle [0, 1]. Afin d’all´ eger les notations, toute nouvelle occurrence du symbole ξ dans la suite du texte signifiera implicitement le tirage d’un tel nombre al´ eatoire. On obtient alors la position d’´ emission du photon exprim´ ee dans la base cart´ esienne ( − → e

, − → e

, − → e

) :

x

= R

sin θ

cos φ

(A.4) y

= R

sin θ

sin φ

(A.5)

z

= R

cos θ

(A.6)

La direction de propagation − → n

= (n

, n

, n

) du photon est ensuite choisie de fa¸con similaire, mais en for¸cant ce dernier ` a s’´ ecarter de la pho- tosph` ere consid´ er´ ee comme ´ etant un absorbeur pur (i.e. d’´ epaisseur optique τ

= ∞)). Pour cela, nous imposons que la direction de vol (θ

, φ

) du photon soit choisie dans la demi sph` ere externe ` a la photosph` ere en consid´ erant les angles polaires permis θ

∈ {0, π/2} :

P (θ

, φ

) =

R

0

R

0

sin θ dθdφ

R

R

0

sin θ dθdφ (A.7)

nous obtenons par analogie dans la base mobile ( − → e

, − → e

, − → e

) :

φ

= 2π ξ (A.8)

θ

= acos(1 − ξ

) (A.9)

et donc la direction de vol − → n

de composantes :

n

= sin θ

cos φ

(A.10)

n

= sin θ

sin φ

(A.11)

n

= cos θ

(A.12)

2

Etant donn´ e la g´ eom´ etrie des vents consid´ er´ es, nous utiliserons tout au long du texte

les coordonn´ ees sph´ eriques (r, θ, φ) et, lors du calcul des trajectoires des photons, les

coordonn´ ees cart´ esiennes (x, y, z) rapport´ ees ` a la base cart´ esienne ( − → e

, − → e

, − → e

) attach´ ee au

centre du vent.

ou encore, si l’on se place dans la base cart´ esienne ( − → e

, − → e

, − → e

) :

n

= n

cos θ

cos φ

− n

sin φ

+ n

sin θ

cos φ

(A.13) n

= n

cos θ

sin φ

+ n

cos φ

+ n

sin θ

sin φ

(A.14) n

= −n

sin θ

+ n

cos θ

(A.15) On associe finalement ` a chaque photon ´ emis une fr´ equence en ´ echantillon- nant le continuum situ´ e autour de la raie de fr´ equence ν

consid´ er´ ee. Etant donn´ e la largeur de la raie consid´ er´ ee, le continuum est suppos´ e plat en fr´ equence sous cette derni` ere : L

(ν) = 1. Ainsi si l’on appelle v

la vitesse maximale dans le vent et v

la vitesse d’agitation r´ esultant de la turbulence dans le vent, alors la fr´ equence initiale ν

du photon pour un observateur au repos sera choisie dans l’intervalle [ν

− ∆

, ν

+ ∆

] par l’interm´ ediaire d’un nouveau nombre al´ eatoire ξ tel que :

ξ =

R

ν0−∆ν

dy

R

ν0−∆ν

dy (A.16)

ce qui nous permet d’obtenir apr` es int´ egration et inversion de la relation :

ν

= ν

+ ∆ν − 2 ξ ∆ν (A.17)

o` u ∆

= (v

+ v

) ν

/c est la demi largeur du profil calcul´ e.

A.2.2 Zones de r´ esonances

Le photon de fr´ equence ν

´ emis ci-dessus va alors entamer son voyage dans le vent. Etant donn´ e l’existence d’un champ de vitesse acc´ el´ er´ e − → v =

−

→ v (r, θ, φ) d´ efini en tout point ce dernier, la fr´ equence locale ν

du photon per¸cue dans le r´ ef´ erentiel en mouvement avec les atomes du vent est constam- ment modifi´ ee par effet Doppler. La relation liant les fr´ equences ν

et ν

s’ex- prime de cette fa¸con :

ν

= ν

1 −

−

→ v − → n

c

!

(A.18)

Lorsque cette fr´ equence per¸cue dans le r´ ef´ erentiel mobile s’approche de

la fr´ equence ν

du centre de la raie, l’enveloppe devient de moins en moins

transparente au photon. On dit qu’il y a r´ esonance avec le milieu environ-

nant et le photon peut alors ˆ etre absorb´ e par un ion du milieu. La position et

l’´ etendue de ces zones de r´ esonance sont d´ etermin´ ees par la diff´ erence entre

la fr´ equence ν

per¸cue dans le r´ ef´ erentiel en mouvement et la fr´ equence ν

du

centre de la raie qui doit ˆ etre inf´ erieure ` a la demi largeur du profil d’absorp-

tion ∆ν

dans ce mˆ eme r´ ef´ erentiel. Etant donn´ e l’existence de turbulence

macroscopique dans le vent traduisant les mouvements al´ eatoires des ions, nous choisissons de repr´ esenter le profil d’absorption par un profil gaussien normalis´ e

(voir Fig. A.2) :

Φ

(ν

− ν

, σ

) = 1 H

( 1

√ πσ

exp −(ν

− ν

)

σ

!

+ K

)

(A.19) o` u σ

= ∆ν

/(2 √

2 ln 2) est tel que ∆ν

= 2 ν

(v

/c) soit la largeur

`

a mi-hauteur du profil d’absorption, v

repr´ esentant le module de la vitesse de turbulence totale

. Cependant, contrairement ` a une gaussienne, le profil d’absorption n’a pas une largeur infinie, mais est d´ efini sur un intervalle ν

±∆ν

. Les constantes H et K sont introduites afin d’imposer la continuit´ e du profil en ±∆ν

et de normaliser le profil d’absorption ` a l’unit´ e sur la largeur d’absorption choisie

. Le profil d’absorption utilis´ e est maintenant clairement d´ efini :

Φ

(ν − ν

) =

( Φ

(ν − ν

, σ

) si |ν − ν

| ≤ |∆ν

|

0 en dehors de cet intervalle . (A.20) Les zones de r´ esonances seront d` es lors identifi´ ees le long de la trajectoire du photon comme ´ etant les r´ egions o` u ν

remplit la condition :

ν

− ∆ν

< ν

< ν

+ ∆ν

(A.21) La majeure partie du temps de calcul utilis´ e par le programme MCRT est consacr´ ee ` a l’identification de la position et de l’´ etendue de ces r´ egions de r´ esonances. En pratique, on ´ echantillonne la trajectoire du photon ` a l’aide d’un pas variable δs

(r, θ, φ) dont la valeur est fonction de la direction de propagation du photon et de sa position :

x

= x

+ δs

(r, θ, φ) n

(A.22) y

= y

+ δs

(r, θ, φ) n

(A.23) z

= z

+ δs

(r, θ, φ) n

(A.24) En chaque point de la trajectoire (x

, y

, z

) ainsi d´ efini, nous calculons la

3

Ce type de profil est g´ en´ eralement pr´ ef´ er´ e aux profils de Voigt lorsque une composante turbulente est consid´ er´ ee dans le vent (e.g. Bernes [1979], Natta & Beckwith [1986], Knigge et al. [1995]).

4

Ici nous prenons v

= v

+ v

, o` u v

rend compte de l’´ elargissement thermique du profil de raie et v

de l’´ elargissement li´ e ` a la turbulence macroscopique dans le vent, cette derni` ere ´ etant suppos´ ee isotrope en premi` ere approximation.

5

Nous utilisons |∆ν

| = n ∆ν

/2. Des tests r´ ealis´ es quant ` a l’effet du choix de n

sur les profils de raies simul´ es montrent que les profils produits ne changent plus ` a partir

de n = 2. Nous choisissons d’utiliser la valeur n = 2 dans la suite de nos travaux.

Fig. A.2 – Illustration du profil d’absorption Φ

(ν

−ν

) d´ efini dans le r´ ef´ erentiel se d´ epla¸ cant avec les atomes du vent (r´ ef´ erentiel comobile). Le profil est pr´ esent´ e avec deux normalisations diff´ erentes : la courbe continue repr´ esente le profil d’ab- sorption normalis´ e pour lequel on a choisi ∆ν

= 1 ∆ν

/2 alors que la courbe en trait interrompu pr´ esente le cas ∆ν

= 2 ∆ν

/2. Dans la suite nous utili- serons ce dernier profil normalis´ e comme profil d’absorption (voir texte).

fr´ equence locale ν

per¸cue dans le r´ ef´ erentiel se d´ epla¸cant avec les atomes du vent. Lorsque le photon entre (ou sort) d’une zone de r´ esonance, la position pr´ ecise de la transition est identifi´ ee par un algorithme de bissection (routine

“rtbis”, Press et al. [1992]). Les n zones de r´ esonance identifi´ ees le long de son parcours dans le vent sont finalement archiv´ ees dans un vecteur reso(n,i) tel que :

– reso(n,1) est l’abscisse ds

du d´ ebut de la ´ eni` eme zone de r´ esonance, – reso(n,2) est l’abscisse ds

de la fin de la ´ eni` eme zone de r´ esonance.

L’´ etape la plus critique revient bien entendu ` a estimer le pas δs

(r, θ, φ)

`

a appliquer ` a chaque ´ etape de la progression du photon dans le vent. En

effet, utiliser un pas constant trop petit reviendrait ` a une perte de temps lors

du calcul dans les r´ egions du vent o` u le gradient de vitesse est faible, alors

qu’utiliser un pas trop grand ne permettrait pas d’identifier correctement

toutes les zones de r´ esonances pr´ esentes. L’id´ ee retenue dans le programme

MCRT consiste ` a r´ ealiser un changement de variable dans lequel le pas est

calcul´ e ` a partir de la loi de vitesse v (r, θ, φ) utilis´ ee. En effet, dans l’espace

des vitesses projet´ ees le long de la trajectoire, la zone de r´ esonance est sim-

plement une gaussienne de largeur ` a mi-hauteur 2 v

(cf. Eq. (A.19)). Afin

de correctement ´ echantillonner cette gaussienne, nous avons besoin au mini-

mum de trois points ` a mi-hauteur. Ainsi un ´ echantillonnage du profil avec

un pas en vitesse δv = 2 v

/3 devrait suffire. Connaissant v et v + δv,

Fig. A.3 – Illustration graphique de la proc´ edure utilis´ ee lors de l’identification

des zones de r´ esonance le long de la trajectoire d’un photon de fr´ equence initiale

ν

se d´ epla¸ cant selon la direction − n →

dans un vent ` a deux composantes pour lequel

la vitesse terminale du vent ´ equatorial vaut la moiti´ e de la vitesse terminale du

vent polaire. La figure sup´ erieure montre une coupe du vent dans le plan (x, z) sur

laquelle on peut noter que le photon passe de la composante polaire du vent ` a la

composante ´ equatoriale en R ∼ 4. La figure inf´ erieure montre que, dans le rep` ere se

d´ epla¸ cant localement avec le fluide, les zones de r´ esonance sont simplement rep´ er´ ees

par le fait que |ν

− ν

| < |∆ν

|. Deux zones de r´ esonance sont identifi´ ees dans le

cas illustr´ e.

on peut inverser la loi de vitesse (si celle-ci n’est pas trop complexe) afin de trouver les points s

et s

+ δs

correspondant et donc tirer le pas maximal δs

` a appliquer dans la direction o` u le gradient de vitesse est le plus fort (qui n’est pas n´ ecessairement la direction de vol du photon). Dans un cas plus g´ en´ eral o` u il n’est pas possible d’inverser analytiquement la loi de vitesse, l’approximation de Taylor de la loi de vitesse limit´ ee au premier ordre nous donne :

v(s

+ δs

) = v(s

) + δs

dv

ds + (O

) (A.25)

o` u dv/ds est le gradient de vitesse le long de la direction de propagation du photon. Comme nous connaissons le pas en vitesse |v(s

+ δs

) − v(s

)| = δv

`

a utiliser afin d’´ echantillonner correctement la trajectoire et que le gradient dv/ds peut ˆ etre ´ evalu´ e num´ eriquement, nous pouvons facilement extraire le pas δs

` a appliquer :

δs

= δv dv ds

!

(A.26) Les deux techniques donnent des r´ esultats identiques. Toutefois le temps de calcul suppl´ ementaire impliqu´ e par l’´ evaluation num´ erique du gradient de vitesse dv/ds nous porte ` a pr´ ef´ erer l’utilisation de la technique d’inversion lorsque ceci est possible.

A.2.3 Diffusion des photons

Une fois les n zones de r´ esonance rep´ er´ ees le long de la trajectoire du photon, nous pouvons estimer l’´ epaisseur optique totale rencontr´ ee par ce dernier lors de son voyage dans le vent :

τ

=

n

X

i=1

Z

κ

Φ

(ν

− ν

, σ

) ds (A.27) o` u κ

est le coefficient d’absorption total de la transition consid´ er´ ee (cf.

Sect. 8.1.1) et qui dans le cas d’une raie de r´ esonance peut se simplifier comme suit :

κ

= σ n(r, θ, φ) = πe

m

c f

n(r, θ, φ) (A.28) o` u f

est la force d’oscillateur de la transition, e et m

la charge et la masse de l’´ electron et n(r, θ, φ) est la densit´ e de l’ion consid´ er´ e.

Si l’on consid` ere le probl` eme du transfert radiatif sous un point de vue

probabiliste, alors un photon de fr´ equence ν

traversant une zone d’´ epaisseur

optique totale τ

a une probabilit´ e p(τ ) = e

de pouvoir s’´ echapper

du vent sans subir de diffusion et p

(τ) = 1 − p(τ) d’ˆ etre absorb´ e par un des

atomes du milieu. On utilise cet aspect probabiliste du transfert radiatif dans les simulations de Monte-Carlo afin de d´ eterminer al´ eatoirement l’´ epaisseur optique τ

` a laquelle le photon pourrait interagir. Ce τ

est une fois de plus d´ eriv´ e ` a l’aide de la m´ ethode de transformation (cf. Sect. 8.3) appliqu´ e

`

a la distribution cumulative correspondante : ξ =

R

0

e

dτ

R

0

e

dτ . (A.29)

Apr` es int´ egration et inversion de l’´ equation, nous trouvons la relation fonda- mentale suivante :

τ

= − ln(1 − ξ) (A.30)

d´ efinissant l’´ epaisseur optique que le photon de fr´ equence ν

pourrait traverser sans subir de diffusion. S’il existe un point s le long de la trajectoire du photon tel que l’´ epaisseur optique int´ egr´ ee τ (s) jusqu’en ce point soit ´ egale ` a τ

alors le photon sera absorb´ e par l’ion : on dit qu’il y a interaction. Aussinon, il s’´ echappera du vent et sera collect´ e par un/pusieurs d´ etecteur(s) virtuel(s) (cf. Sect. A.2.4).

Dans le cas des raies de r´ esonance, lorsqu’il y a interaction, nous consid´ e- rons que le photon absorb´ e est instantan´ ement r´ e´ emis dans une direction al´ eatoire − n →

et avec une nouvelle fr´ equence ν

en faisant l’hypoth` ese d’une redistribution compl` ete en fr´ equence et en direction (cf. Sect. 8.1.1). La nou- velle direction de propagation du photon est d´ etermin´ ee de fa¸con semblable ` a celle d´ ecrite en Sect. A.2.1, hormis le fait que cette fois l’´ emission est isotrope sur l’ensemble de la sph` ere de surface 4π sr. Nous avons donc :

φ

= 2πξ (A.31)

θ

= acos(1 − 2ξ

) (A.32)

et donc

n

= sin θ

cos φ

(A.33) n

= sin θ

sin φ

(A.34)

n

= cos θ

(A.35)

Cette direction peut ais´ ement s’exprimer dans la base cart´ esienne ( − → e

, − → e

, − → e

) (cf. Sect. A.2.1). La fr´ equence du photon diffus´ e s’exprime alors comme suit dans un r´ ef´ erentiel au repos par rapport au rep` ere fixe ( − → e

, − → e

, − → e

) :

ν

= ν

1 +

−

→ v (r

, θ

, φ

) − n →

c

!

(A.36)

Fig. A.4 – Illustration de la trajectoire d’un photon dans un vent de g´ eom´ etrie

sph´ erique. A chaque diffusion (au nombre de 2 dans ce cas ci : I

et I

), le photon

est r´ e´ emis dans une direction al´ eatoire. Une fois sorti de l’atmosph` ere, ce dernier est

enregistr´ e par diff´ erents d´ etecteurs virtuels (ici repr´ esent´ e par un pseudo capteur

CCD). Apr` es chaque interaction, la direction de r´ e-´ emission θ

dans la base mobile

( − → e

, − → e

, − → e

) est compar´ ee au demi angle θ

sous tendu par la photosph` ere au point

d’interaction afin de d´ eterminer si le photon pourrait ˆ etre r´ eabsorb´ e par cette

derni` ere.

o` u (r

, θ

, φ

) est la position d’interaction en coordonn´ ees sph´ eriques et ν

= ν

+ ∆ν

est la fr´ equence ` a laquelle le photon est r´ e´ emis dans le r´ ef´ erentiel comobile. La d´ eviation en fr´ equence ∆ν

du photon r´ e´ emis par rapport ` a la fr´ equence centrale de la raie ν

est d´ etermin´ ee en faisant appel une fois de plus ` a la m´ ethode de transformation :

ξ =

R

−∆ν_abs

Φ

(ν

− ν

) dν

R

−∆ν_abs

Φ

(ν

− ν

) dν (A.37) dans laquelle, ´ etant donn´ e l’hypoth` ese de redistribution compl` ete en fr´ equence dans le profil de raie, le profil d’´ emission Φ

(ν

− ν

) est identique au profil d’absorption Φ

(ν

− ν

) d´ efini par l’Eq. (A.20).

Une fois ces param` etres d´ efinis, le nombre de diffusions r´ ealis´ ees par le photon est actualis´ e et l’on choisit une nouvelle ´ epaisseur optique τ

=

− ln(1 − ξ) correspondant ` a un point d’interaction auquel le photon pourra

´ eventuellement de nouveau interagir. Etant donn´ e sa nouvelle direction de vol − n →

, on estime ensuite si le photon risque ou non de retourner vers la photosph` ere et d’y ˆ etre absorb´ e. Pour cela, on compare l’angle de r´ e´ emission θ

dans le rep` ere mobile ( − → e

, − → e

, − → e

) au demi angle θ

sous-tendu par la photosph` ere ` a la position d’interaction (r

, θ

, φ

) :

θ

= acos



 v u u

t 1 − R

r



 (A.38)

Ainsi si θ

> π − θ

le photon risque d’ˆ etre absorb´ e par la photosph` ere, sauf s’il est diffus´ e dans une autre direction avant d’atteindre cette derni` ere (voir Fig. A.4).

On recommence alors la boucle ` a partir de la Sect. A.2.2 en recherchant les diff´ erentes zones de r´ esonance se situant le long de la trajectoire du photon diffus´ e et l’identification du point d’interaction, et ainsi de suite, jusqu’` a ce que le photon parvienne ` a s’´ echapper du vent en R

ou soit absorb´ e par la photosph` ere en R

.

A.2.4 Cr´ eation de spectres et d’images

Tous les photons parvenant ` a s’´ echapper du vent sont collect´ es par deux

types de d´ etecteurs r´ epartis uniform´ ement sur une sph` ere de rayon R

R

de telle sorte que les photons sont collect´ es dans un plan se confondant lo-

calement avec l’envellope de la sph` ere. Le premier type de d´ etecteur est un

spectrographe s´ eparant les photons provenant d’une mˆ eme direction (θ

, φ

)

selon leur fr´ equence en des bins de taille dν afin de produire des spectres

Fig. A.5 – Les photons parvenant ` a s’´ echapper du vent sont collect´ es selon leur direction de sortie (θ

, φ

) afin de former notamment des images. Cette figure illustre la projection r´ ealis´ ee afin d’obtenir les coordonn´ ees (x

, y

) correspon- dant ` a un photon dont le dernier site d’interaction est situ´ e au point P (x

, y

, z

).

Notons que la coordonn´ ee x

est compt´ ee n´ egativement le long de l’axe − → e

et la

coordonn´ ee y

est compt´ ee positivement le long de l’axe − → e

.

f (ν, θ

, φ

). La taille des bins est choisie de fa¸con ` a obtenir un spectre pr´ esentant un ´ echantillonnage correct.

Le deuxi` eme type de d´ etecteur est ´ egalement un spectrographe, mais per- mettant de produire une image 2D I(ν, x

, y

, θ

, φ

) de r´ esolution choisie (n

∗ n

) pour chaque ´ el´ ement de r´ esolution spectrale dν, et donnant l’in- tensit´ e spectrale ´ emise en chaque point du vent, int´ egr´ ee sur la ligne de vis´ ee.

Notons ici que la connaissance de la position d’´ emission/de derni` ere interac- tion des photons suivis par MCRT nous permet ´ egalement de d´ ecomposer les spectres/images produits en les parties en absorption et ´ emission du profil mod´ elis´ e.

Afin de r´ ealiser ces images, les photons sortant du vent sont projet´ es sur un plan positionn´ e perpendiculairement ` a leur direction de sortie (θ

, φ

) et group´ es en pixels dont la taille d´ epend de la r´ esolution choisie n

. Les coor- donn´ ees (x

, y

) de chaque photon contribuant ` a l’´ elaboration de l’image (voir Fig. A.5) sont simplement calcul´ ees en d´ eterminant les coordonn´ ees (x

, y

, z

) dans la base mobile ( − → e

, − → e

, − → e

) du dernier point d’interaction

P du photon :

P = x

− → e

+ y

− → e

+ z

− → e

= x

− → e

+ y

− → e

+ z

− → e

(A.39) o` u (x

, y

, z

) sont les coordonn´ ees cart´ esiennes du point P . Or les vecteurs de base ( − → e

, − → e

, − → e

) peuvent facilement ˆ etre exprim´ es en fonction des vecteurs de base ( − → e

, − → e

, − → e

) de la base mobile :

−

→ e

= sin θ

cos φ

− → e

+ cos θ

cos φ

− → e

− sin φ

− → e

(A.40)

−

→ e

= sin θ

sin φ

− → e

+ cos θ

sin φ

− → e

+ cos φ

− → e

(A.41)

−

→ e

= cos θ

− → e

− sin θ

− → e

(A.42) En poussant ces relations dans le second membre de l’Eq. (A.39) et en iden- tifiant les coefficients membre ` a membre, nous trouvons les coordonn´ ees de la position du photon projet´ e dans le plan d’observation :

x

= z

sin θ

− y

cos θ

sin φ

− x

cos θ

cos φ

(A.43)

y

= y

cos φ

− x

sin φ

(A.44)

Pour des raisons d’ordre pratique, nous posons arbitrairement x

= −x

et y

= y

. Ainsi lorsque θ

= 0 = φ

, x

et y

sont compt´ es positivement le long des axes − → e

et − → e

respectivement.

Pour les vents consid´ er´ es dans notre ´ etude, nous pouvons r´ eduire le nom- bre de d´ etecteurs n´ ecessaires en utilisant les sym´ etries des syst` emes mod´ elis´ es.

6

Ou la coordonn´ ee du point d’´ emission si le photon n’a pas interagi au moins une fois

avec les atomes du vent.

En effet, pour un vent en expansion sph´ erique, chaque direction d’observation (θ

, φ

) du vent doit conduire ` a l’observation du mˆ eme flux sortant, vu la sym´ etrie du vent selon les angles (θ, φ). Ainsi les angles θ

et φ

de l’´ equation fournissant la position du photon sur l’image peuvent ˆ etre remplac´ es par la direction de vol finale du photon et nous n’avons donc besoin que de grouper les photons selon leur fr´ equence lors de la production des spectres et des images. Pour un vent consid´ erant une composante ´ equatoriale sous forme d’un disque, il est ´ egalement clair que l’observation des propri´ et´ es spectrales du vent est ind´ ependante de l’angle φ, de sorte qu’il ne reste plus qu’` a grouper les photons selon leur fr´ equence et leur angle polaire θ

.

A.2.5 Opacit´ e totale de l’enveloppe

Similairement ` a Beckwith & Natta [1987] nous normalisons la loi d´ efinis- sant la densit´ e dans le vent ` a l’aide d’un param` etre n

:

n(r, θ, φ) = n

f(r, θ, φ) (A.45) o` u f (r, θ, φ) est une fonction d´ ecrivant non seulement la distribution de densit´ e de l’atome consid´ er´ e mais d´ ependant ´ egalement de la fraction Ξ(r) d’atomes dans l’´ etat d’ionisation consid´ er´ e. Cette normalisation se fait au moyen de ce que l’on appelle l’opacit´ e radiale totale de l’enveloppe le long de l’axe polaire τ

(ν

) et que l’on d´ efinit comme suit :

τ

(ν

) =

Z

Rin

σ n(r, 0, 0) Φ

(ν

− ν

, σ

) dr, (A.46) expression dans laquelle les termes intervenants ont d´ ej` a ´ et´ e d´ ecrits dans les sections pr´ ec´ edentes. Etant donn´ e les lois de vitesse et de densit´ e utilis´ ees, cette opacit´ e radiale totale d´ epend de la fr´ equence initiale ν

du photon ´ emis par la photosph` ere : g´ en´ eralement, les photons de fr´ equence initiale ν

∼ ν

proches du centre de la raie ν

feront face ` a une ´ epaisseur optique plus large que les photons ´ emis dans les ailes du profil Φ

. Pour cette raison on normalise plutˆ ot la loi de densit´ e en utilisant l’opacit´ e radiale totale int´ egr´ ee sur les fr´ equences :

τ

=

Z

−∆ν

τ

(ν

) dν

. (A.47)

Ainsi, en imposant une opacit´ e radiale totale int´ egr´ ee sur les fr´ equences τ

,

nous pouvons estimer la densit´ e d’ion n

correspondante en r = R

. L’int´ erˆ et

de cette quantit´ e τ

moyenn´ ee sur les fr´ equences r´ eside dans le fait qu’elle

permet de donner une indication quant au degr´ e de saturation du profil d’ab-

sorption. Ainsi, ce dernier sera g´ en´ eralement satur´ e dans les r´ egions proches

du centre de la raie pour des valeurs τ

1 ce qui permet de faire un lien avec l’exp´ erience commune du faisceau de lumi` ere traversant un gaz optiquement ´ epais (cf. Sect. 8.1.1).

A.3 Am´ elioration du code MCRT

Le programme MCRT a subi au cours de son ´ elaboration plusieurs raffine- ments afin d’am´ eliorer ses performances de calcul et son domaine d’applica- bilit´ e. Dans un premier temps nous d´ ecrivons les deux ´ evolutions principales consistant en l’impl´ ementation d’une routine de “First Forced Scattering”

et d’une routine permettant de rendre compte d’une ´ emission intrins` eque au vent. Dans un second temps, nous montrons comment il est ais´ e de tenir compte de l’effet produit par un doublet de r´ esonance dans MCRT.

A.3.1 First Forced Scattering (FFS)

Un des buts du programme MCRT est de fournir une image bidimen- sionnelle I (ν, x

, y

, θ

, φ

) de l’intensit´ e spectrale ´ emise en chaque point du vent, en projection, pour chaque ´ el´ ement de r´ esolution spectrale dν et chaque direction d’observation (θ

, φ

) du syst` eme afin d’´ etudier les modifi- cations induites par un effet de microlentille sur les profils de raies. Le bruit pr´ esent dans les r´ esultats des simulations de Monte-Carlo r´ epond ` a une sta- tistique de type Poissonienne (comptage de photons), de sorte que si l’on souhaite obtenir un rapport signal sur bruit (S/N ) suffisant dans les images produites, un grand nombre de simulations est requise. Comme nous l’avons vu en Sect. A.2.4 les sym´ etries du vent permettent de r´ eduire grandement le nombre de photons n´ ecessaires lors du calcul. Ainsi pour un vent de sym´ etrie sph´ erique les photons seront collect´ es ind´ ependamment de leur direction de vol final, chaque photon ´ emis participant ` a l’´ elaboration du spectre et des images du vent. Cependant, dans les r´ egions optiquement minces de l’enve- loppe, seule une faible partie des photons ´ emis par le continuum ` a la fr´ equence appropri´ ee

peut statistiquement ˆ etre diffus´ ee au minimum une fois, la ma- jeure partie des photons s’´ echappant directement du vent, r´ esultant en des images de faible S/N dans les r´ egions les moins opaques ` a la radiation.

Une solution propos´ ee afin de pallier ` a ce probl` eme consiste en l’utilisa- tion de la technique du “First Forced Scattering”, dans laquelle on ne simule plus le d´ eplacement d’un seul photon ` a la fois, mais bien celui d’un paquet de photons aux propri´ et´ es (direction, fr´ equence) identiques (e.a. Cashwell &

7

C’est-` a-dire des photons pour lesquels au minimum une zone de r´ esonance a ´ et´ e rep´ er´ ee

le long de la trajectoire.

Fig. A.6 – Lorsque le vent est optiquement mince ` a certaines fr´ equences, seule

une faible fraction des photons ´ emis par le continuum interagissent avec ce dernier,

produisant des images de faible S/N dans les r´ egions incrimin´ ees. Une solution afin

de pallier ` a ce probl` eme consiste ` a forcer les photons ` a interagir avec les ions du

vent (voir texte).

Everett [1959], Mattila et al. [1970], Witt [1977]). L’id´ ee ` a la base de cette technique est relativement simple : afin d’augmenter le nombre d’interac- tion des photons de fr´ equence appropri´ ee dans les r´ egions de faible opacit´ e, il suffit de forcer les photons pour lesquels τ

> 0 (voir Sect. A.2.3) ` a in- teragir au moins une fois avec les ions du vent avant de s’´ echapper de ce dernier. Pour rappel, selon la vision probabiliste du transfert radiatif, un photon de fr´ equence ν

traversant une ´ epaisseur optique τ

a une probabi- lit´ e p(τ ) = e

de pouvoir s’´ echapper du vent sans subir de diffusion et p

(τ) = 1 − e

d’ˆ etre absorb´ e par un des atomes du milieu. Consid´ erons maintenant un paquet constitu´ e de photons identiques confront´ e ` a une opa- cit´ e τ

. D’un point de vue probabiliste, seule une fraction w = e

de ce paquet s’´ echappera du vent selon la direction de vol initiale et contribuera directement ` a l’´ elaboration de l’image. Le reste du paquet de photons, de poid w

= 1 − w = 1 − e

, ´ etant quant ` a lui contraint d’interagir avec le vent. Nous pouvons identifier cette position d’interaction par le fait qu’elle est caract´ eris´ ee par la condition τ

≤ τ

. A cette fin nous devons modifier l’Eq. (A.29) d´ efinissant la profondeur optique τ

en restreignant le domaine des profondeurs optiques possibles ` a {0, τ

} :

ξ =

R

0

e

dτ

R

0

e

dτ . (A.48)

En int´ egrant cette ´ equation, nous obtenons : ξ = 1 − e

1 − e

(A.49)

que nous pouvons facilement inverser afin de trouver l’´ equation :

τ

= − ln(1 − ξ (1 − e

)). (A.50)

Cette relation nous permet, par inversion de la relation τ (s) = ^R τ (ν

)ds,

de d´ eterminer le point d’interaction s le long de la trajectoire du paquet

de photons o` u aura lieu l’interaction. Une fois diffus´ e selon une nouvelle

direction de vol (et donc avec une nouvelle fr´ equence ν

), cette fraction w

du paquet initial de photons pourra ´ eventuellement interagir un nouvelle fois

avec le vent ou bien s’´ echapper de celui-ci et contribuer ` a l’´ elaboration des

images et du spectre final. Ce traitement statistique particulier (utilisation

de la pond´ eration) permet donc d’augmenter la participation d’un paquet

de photons initial ` a la construction des images, augmentant par l` a mˆ eme

le S/N dans les r´ egions du vent les plus transparentes ` a la radiation tout

en r´ eduisant le nombre de photons ` a utiliser par rapport au cas o` u l’on ne

consid` ere pas de diffusion forc´ ee.

A.3.2 Emission dans le vent

Comme nous l’avons rappel´ e dans la Sect. 8.1.1, diff´ erents processus physiques (collisions, ´ emission spontan´ ee, ...) peuvent ˆ etre responsables de la cr´ eation de photons au sein du vent lorsque son opacit´ e devient im- portante (Knigge et al. [1997], Harries [2000]). Afin de rendre compte de cette ´ emissivit´ e intrins` eque du vent (i.e. le second membre de l’Eq. (8.10)), nous avons impl´ ement´ e une routine permettant de produire une fraction de photons directement dans le vent. Ainsi dans un premier temps, nous d´ eterminons si le photon consid´ er´ e est ´ emis par le continuum ou dans le vent en tirant un nombre al´ eatoire ξ que l’on compare ` a la valeur de : si ξ > , le photon est ´ emis par le continuum (cf. Sect. A.2.1), par contre si ξ ≤ , le photon est ´ emis dans le vent. Dans ce dernier cas, on d´ etermine premi` erement la position d’´ emission du photon ` a l’aide de nombres al´ eatoires en ´ echantillonnant la loi d’´ emissivit´ e du gaz ζ(r, θ, φ). Ceci nous permet de d´ eterminer la position d’´ emission (θ

, φ

) :

p(r

, θ

, φ

) =

R

0

R

0

R

Rin

ζ(r, θ, φ) r

sin θ drdθdφ

R

R

R

Rin

ζ(r, θ, φ) r

sin θ drdθdφ . (A.51) En pratique la loi d’´ emissivit´ e ζ(r, θ, φ) peut d´ ependre d’un grand nombre de facteurs tels la loi de distribution de la temp´ erature dans le vent, de l’opa- cit´ e, de l’ionisation, ... Il est donc difficile d’en donner une forme analytique correcte. Cependant, nous pouvons supposer en bonne approximation que l’´ emissivit´ e est proportionnelle ` a la densit´ e n(r, θ, φ) de l’ion consid´ er´ e. Afin de tenir compte d’´ eventuels autres facteurs, nous prenons une loi d’´ emissivit´ e de forme g´ en´ erale de type :

ζ(r, θ, φ) = n(r, θ, φ)

R

r

(A.52) o` u la valeur de n est choisie arbitrairement afin de plus ou moins concentrer l’´ emission dans les r´ egions centrales du vent.

Une fois la position d’´ emission (r

, θ

, φ

) sp´ ecifi´ ee, la direction de vol − → n

du photon est d´ efinie de fa¸con analogue ` a celle pr´ esent´ ee en Sect. A.2.1 en consid´ erant une ´ emission isotrope sur la sph` ere unit´ e. La fr´ equence initiale ν

du photon ´ emis dans le syst` eme en mouvement avec l’ion est choisie en

´ echantillonnant le profil d’absorption de l’ion (Eq. (A.37)). La fr´ equence ν

du photon per¸cue dans le rep` ere de l’observateur (i.e. au repos par rapport

`

a la base ( − → e

, − → e

, − → e

)) est alors calcul´ ee de la fa¸con suivante : ν

= ν

1 +

−

→ v (r

, θ

, φ

) − → n

c

!

(A.53)

o` u − → v (r

, θ

, φ

) est la vitesse du vent au point d’´ emission consid´ er´ e. Connais- sant la position et la direction d’´ emission du photon, on estime finalement dans quelle mesure ce dernier pourrait ˆ etre ou non absorb´ e par la photosph` ere s’il n’interagit pas avant de l’atteindre (cf. calcul de θ

en Sect. A.2.3).

Notons finalement qu’afin d’am´ eliorer le S/N dans les r´ esultats obtenus dans les cas o` u le param` etre prend des valeurs extrˆ emes (par exemple = 10

ou encore = 0.999), nous avons adjoint ` a cette routine un syst` eme de pond´ eration statistique pour chaque photon ´ emis (Harries [2000]). Ainsi, lorsque 6= 0 ou 1 (i.e. tous les photons sont ´ emis par le continuum ou dans le vent) on oblige syst´ ematiquement une certaine fraction a (resp. 1 − a) du nombre total de photons n

` a ˆ etre ´ emis dans le vent (resp. par le conti- nuum). Afin de ne pas introduire de biais dˆ u ` a cette contrainte, nous corri- geons le poids statistique de chaque paquet de photons ´ emis par le continuum par un facteur (1 − )/(1− a) et le poids des paquets ´ emis dans le vent par un facteur /a. Cette technique permet d’augmenter le S/N des contributions des deux zones d’´ emissions consid´ er´ ees.

A.3.3 Doublet de r´ esonance

Tenir compte de l’effet produit par les doublets de r´ esonance est ais´ e dans les codes de transfert radiatifs de type Monte Carlo tel MCRT. Ainsi il suffit de localiser successivement les zones de r´ esonances pour chacune des compo- santes du doublet en suivant la m´ ethode pr´ esent´ ee dans la Sect. A.2.2 et en rempla¸cant tour ` a tour la fr´ equence centrale de la raie ν

par les fr´ equences ν

et ν

correspondant aux composantes du doublet. Une fois les vecteurs reso

(n

, i) et reso

(n

, i) construits, il suffit d’int´ egrer l’´ epaisseur op- tique sur ces r´ egions afin d’identifier la position d’interaction de coordonn´ ees (r

, θ

, φ

). Le photon est ensuite r´ e´ emis selon le profil d’´ emission de la raie (en supposant que les deux composantes du doublet ont un profil d’´ emission identique) avec une fr´ equence ν

(cf. Sect. A.2.3) telle que :

ν

= ν

1 +

−

→ v (r

, θ

, φ

) − n →

c

!

(A.54)

o` u ν

= ν

+ ∆ν

est la fr´ equence ` a laquelle est r´ e´ emis le photon dans

le r´ ef´ erentiel comobile et ν

= ν

ou ν

selon la transition possible ` a la

position d’interaction consid´ er´ ee. Notons que la pr´ esence de turbulence dans

l’enveloppe peut ´ elargir le profil d’absorption de chaque transition jusqu’` a

ce que ces derniers se confondent en partie. Ainsi lorsque les deux compo-

santes du doublet participent ` a l’opacit´ e en un point donn´ e du vent, nous

d´ eterminons de fa¸con al´ eatoire la transition responsable de l’absorption du

photon. Ce type de choix est ´ egalement op´ er´ e lors de l’´ emission d’un photon par l’atmosph` ere.

A.4 L’approximation de Sobolev et le code MCRT

Le traitement exact des multiples interactions se produisant dans les r´ egions optiquement ´ epaisses peut ˆ etre tr` es long. En effet ´ etant donn´ e l’hy- poth` ese de redistribution compl` ete en fr´ equence d’apr` es laquelle le profil d’´ emission est identique ` a celui d’absorption, le photon diffus´ e poss` ede une fr´ equence telle que l’opacit´ e locale per¸cue par ce dernier est non nulle (i.e. le photon est r´ e´ emis au sein de la zone de r´ esonance). Il pourra d` es lors ˆ etre de nouveau absorb´ e et r´ e´ emis dans son voisinage proche, cette situation pouvant se produire un grand nombre de fois avant que le photon n’acqui` ere finale- ment un d´ eplacement en fr´ equence suffisant pour s’´ echapper de la r´ egion de r´ esonance (e.a. Rybicki & Hummer [1968]). L’existence de ces interactions multiples se traduit dans la pratique par une augmentation tr` es nette du temps de simulation d’un profil lorsque l’on consid` ere le cas de vents opti- quement ´ epais (τ

∼ 10).

Une solution bien connue afin de pallier ` a ce probl` eme de multiples inter- actions consiste en l’utilisation de l’approximation de Sobolev, cette derni` ere r´ eduisant les zones de r´ esonance spatialement ´ etendues en des points (cf.

Sect. 8.1.2). Etant donn´ e les gradients de vitesses existants dans les r´ egions centrales des vents consid´ er´ es, cette approximation devrait permettre ` a tout le moins de fournir une estimation de la forme g´ en´ erale du profil de raie ` a moindre coˆ ut du point de vue du temps de calcul n´ ecessaire. C’est pourquoi nous avons ´ egalement r´ ealis´ e une version du programme MCRT faisant appel

`

a cette approximation.

Les points de r´ esonances sont identifi´ es par la condition ν

= ν

, ν

´ etant la fr´ equence locale du photon (cf. Eq. (A.18)). La recherche de la position de ces points le long de la trajectoire du photon se fait d’une fa¸con similaire ` a celle pr´ esent´ ee dans la Sect. A.2.2 en utilisant le mˆ eme type de pas variable lors de l’´ echantillonnage de la trajectoire. Une fois le(s) point(s) de r´ esonance (r

, θ

, φ

) rep´ er´ e(s), l’opacit´ e de Sobolev y est ´ evalu´ ee :

τ

= πe

mc n(r

, θ

, φ

)f

λ

|dv

/ds| (A.55)

o` u n(r

, θ

, φ

) est la densit´ e de l’ion consid´ er´ e ` a la position de r´ esonance

et dv

/ds, calcul´ e de fa¸con num´ erique, est le gradient de vitesse le long de la

direction de vol du photon. Similairement au cas turbulent, nous d´ ecidons si il y a interaction ou non en ce point de r´ esonance en comparant la valeur de l’opacit´ e τ

` a l’opacit´ e τ

. S’il y a interaction (i.e. τ

> τ

), alors le photon est directement r´ e´ emis selon une nouvelle direction − n →

choisie al´ eatoirement sur la sph` ere unit´ e. La fr´ equence ν

du photon diffus´ e telle que per¸cue dans le rep` ere de l’observateur au repos par rapport au vent est simplement donn´ ee par :

ν

= ν

1 +

−

→ v (r

, θ

, φ

) − n →

c

!

(A.56) o` u − → v (r

, θ

, φ

) est la vitesse du vent au point d’interaction consid´ er´ e. Dans le cas contraire, le photon est d´ eplac´ e au point de r´ esonance suivant et un traitement similaire est appliqu´ e jusqu’` a ce que ce dernier s’´ echappe du vent.

Notons qu’en pratique, les photons pour lesquels un point de r´ esonance a

´ et´ e rep´ er´ e le long de la trajectoire sont forc´ es ` a interagir avec les ions du vent afin d’augmenter le S/N des images produites dans les r´ egions les plus transparentes ` a la radiation (cf. Sect. A.3.1).

Une des diff´ erences majeures entre le traitement exact du probl` eme du transfert radiatif et celui utilisant l’approximation de Sobolev provient du fait que ce dernier ne consid` ere pas les interactions multiples se produisant dans les zones de r´ esonances (e.a. Knigge et al. [1995], Boroson et al.[2001], Bjorkman et al.[2002]) produisant des profils de raies dont la composante en

´ emission est plus piqu´ ee. En effet, une fois diffus´ e, le photon peut s’´ echapper directement du voisinage du point de r´ esonance, ne subissant d´ es lors plus le processus de diffusion multiples applatissant la partie en ´ emission.

Notons cependant que diff´ erents auteurs ont tent´ e de prendre en compte de fa¸con tr` es approximative l’effet des diffusions multiples dans leurs simu- lations de Sobolev en faisant appel ` a un formalisme simple utilisant les pro- babilit´ es de fuite (e.a. Long & Knigge [2002], Knigge 2008 communication personnelle). Dans nos simulations, nous pr´ ef´ ererons utiliser uniquement l’ap- proximation de Sobolev plutˆ ot que de faire appel ` a des techniques de correc- tion dont la signification physique n’est pas n´ ecessairement claire (en effet la zone de r´ esonance peut avoir une forme relativement complexe, et donc donner lieu ` a des probabilit´ es de fuite diff´ erentes selon la direction de vol).

Notons cependant que nous utiliserons cette technique uniquement dans le

but d’obtenir une estimation des param` etres du vent ` a utiliser, ´ etant donn´ e le

moindre coˆ ut en temps de calcul. Les param` etres d´ eriv´ es lors de l’ajustement

de profils seront quant ` a eux obtenus en utilisant la m´ ethode d’int´ egration

exacte impl´ ement´ ee dans MCRT.