Université Claude Bernard Lyon 1 Licence de mathématiques 3
eannée
Mesure et intégration Année 2020–2021
Support de cours Errata
1. Page 24, énoncé de la proposition 1.13 : rajouter :
f) Si A et B sont en correspondance bijective et B est a. p. d., alors A est a. p. d.
2. Page 26, proposition 1.23 d) : lire ∪
nj=1A
jet ∩
nj=1A
j(au lieu de ∪
nA
net ∩
nA
n).
3. Page 42, définition 3.3, rajouter :
Dans le cas particulier de l’espace ( R
n, L
n), f est une fonction Lebesgue mesurable.
4. Page 60, ligne 19 : en dehors de C (et non pas en dehors de µ)
5. Page 88, ligne 8 : théorème de convergence monotone (et non pas théorème de convergence dominée).
6. Page 97 : remplacer, dans les énoncés, µ-mesurable par T -mesurable, et µ-mesurable par T - mesurable.
7. Page 98 : dans la preuve de la proposition 6.18, remplacer : µ-mesurable par T -mesurable, et µ- étagée par T -étagée.
8. Page 127, exercice 7.7 : lire |f
n| ≤ g, ∀ n.
9. Page 128, théorème 7.18 a) : lire
∂
jF (λ) = Z
∂
jf (x, λ) dµ(x) = Z ∂f
∂λ
jf(x, λ) dµ(x).
10. Page 150, première formule : lire Z
Y\B
|g (y)| dν(y) ≤ Z
Y\B
Z
X
(f
+(x, y) + f
−(x, y)) dµ(x)
dν(y) < ∞,
11. Page 152, théorème 8.41 : lire Soit f : X × Y → [0, ∞] une fonction T ⊗ S -mesurable.
12. Page 163, formule (9.5) : lire | det (AB)| = | det A| | det B|.
13. Page 176, énoncé du théorème 9.21 : lire F := Φ(E).
14. Page 182, énoncé du théorème 9.23 : lire Φ : U → V . 15. Page 182, énoncé du théorème 9.24 : lire Φ ∈ C
1(U, V ).
16. Pages 196–197, preuve du théorème 10.25 : la série à considérer est |f
n0|+ X
j≥0
|f
nj+1−f
nj|. Plusieurs corrections dans la preuve, liées à cette redéfinition de la série.
17. Page 222, ligne 6 : situation analogue à (et non pas analogue avec).
18. Page 223, ligne -4 : lire
∞
X
k=−∞
|c
k(f)|
2= lim
M→−∞
N→∞
N
X
n=M
|c
k(f )|
2= lim
M→−∞
N→∞
N
X
n=M
c
n(f ) e
n2
L2
= kf k
2L2.
19. Page 227, preuve du théorème 12.13, calcul final : remplacer x par x
0. 20. Page 233, proposition 13.3 : lire ∀ 0 ≤ ` ≤ k.
21. Page 239, ligne 2 : lire g
a(x) := e
−a|x|2.
22. Feuille de TD # 1, exercice 1 : erreur de numérotation (item à intercaler entre les items d) et e)).
1
23. Feuille de TD # 1, exercice 1 : lire
φ : N
n→ N , N
n3 (k
1, . . . , k
n) 7→ φ(k
1, . . . , k
n) := p
n11. . . p
knn∈ N .
24. Feuille de TD #3, exercice 33, formule (1) : lire R
nau lieu de R , ce qui donne : Z
X
Φ ◦ f dµ = Z
Rn
Φ df
∗µ.
25. Feuille de TD #3, exercice 39 : lire f
n:= √
m χ
An. 26. Feuille de TD # 4, exercice 23 c) (ii) : lire vérifiée.
27. Feuille de TD # 5, exercice 14 : remplacer µ par P et lire : f
∗P (au lieu de f
∗µ), g
∗P (au lieu de g
∗µ) et (f, g)
∗P (au lieu de (f, g)
∗µ).
28. Feuille de TD # 8, exercice 15 c) : lire
Calculer les coefficients de Fourier de x 7→ f (x − t) en fonction de t et de ceux de f . 29. Feuille de TD # 9, exercice 5 a) : lire
f (x) = lim
R→∞
1 2π
Z
R−R
e
ıxξf b (ξ) dξ, ∀ x ∈ R \ {0, 1}.
30. Feuille de TD # 9, exercice 11 b) : lire Calculer f b (ξ) en fonction de b g, ∀ ξ ∈ R
2. 31. Feuille de synthèse, exercice 4 c) : lire
x 6∼ y si et seulement si ∃ A ∈ T tel que x ∈ A et y 6∈ A.
32. Feuille de synthèse, exercice 10 c) : lire
En déduire le corollaire suivant : si u
n, u sont des fonctions mesurables positives telles que u
n→ u p. p., et si
Z
u
n→ Z
u < ∞, alors Z
|u
n− u| → 0.
33. Feuille de synthèse, exercice 18 I.d) : lire U 3 x 7→ ν(U ∩ B(x, r)).
34. Feuille de synthèse, exercice 23 e) : lire
Soient f, g ∈ C
1( R
n) bornées telles que f, g, ∂f
∂x
1, ∂g
∂x
1soient intégrables.
35. Feuille de synthèse, exercice 33 b) : lire
[f (x)]
2≤
∞
X
k=0
[(f, e
k)]
2∞
X
k=0
[e
k(x)]
2= kfk
2L2(I)∞
X
k=0
[e
k(x)]
2pour presque tout x ∈ I.
36. Feuille de synthèse, exercice 41 a), ligne 3 : lire g := f
R(au lieu de g := f
1/R).
37. Feuille de synthèse, exercice 41, formules (20), (21) et (23) : lire kf k
Lr≤ C
1R
n(1/p−1/r)kf k
Lp, ∀ 1 ≤ p ≤ r ≤ ∞,
k∂
jfk
Lr≤ C
2R
n(1/p−1/r)+1kf k
Lp, ∀ 1 ≤ p ≤ r ≤ ∞, ∀ j ∈ J 1, n K , kf k
Lr≤ C
3R
1/r−1/p−1kf
0k
Lp, ∀ 1 ≤ p ≤ r ≤ ∞.
38. Devoir maison 1, exercice 12 : lire f : R
n→ R (au lieu de f :⊂ R
n→ R ).
2
39. Devoir maison 1, exercice 12 : lire f : R
n→ R Lebesgue mesurable bornée.
40. Devoir maison 1, exercice 15 : il manque la définition de d(f, g). Rajouter : Soit d(f, g) :=
Z
X
|f − g|
1 + |f − g| dµ, ∀ f, g ∈ F . 41. Devoir maison 2, exercice 3, indication finale : lire
Pour la question b), on pourra établir une inclusion de la forme {x ∈ R
3; dist (x, S) ≤ ε} ⊂ K
ε× [−ε, ε],
avec K
ε⊂ R
2convenable.
42. Devoir maison 2, exercice 4 a) : rajouter On pourra partir de légalité
Z
∞0
sin x
x
adx = lim
A→∞
Z
A0
sin x x
adx
et utiliser une estimation connue pour les intégrales généralisées de la forme Z
∞A
sin x f (x) dx.
43. Devoir maison 2, exercice 6 : exercice reformulé.
44. Devoir maison 2, exercice 7 : lire qui convergent vers 0 simplement.
45. Devoir maison 2, exercice 10 a) : lire
On pourra commencer par montrer que lim
j→∞
Z
[j≤|x|≤j+1]
