Une stratégie pour l'interprétation en analyse spectrale. Détection et caractérisation des composantes d'un spectre.

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Détection et caractérisation des composantes d’un spectre.

Matthieu Durnerin

To cite this version:

Matthieu Durnerin. Une stratégie pour l’interprétation en analyse spectrale. Détection et caractéri- sation des composantes d’un spectre.. Traitement du signal et de l’image [eess.SP]. Institut National Polytechnique de Grenoble - INPG, 1999. Français. �tel-00789941�

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THESE

présentée par Matthieu DURNERIN

pour obtenir le titre de

DOCTEUR DE L’INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE

Arrêté ministériel du 30 mars 1992 Spécialité : Signal Image Parole

Une stratégie pour l’interprétation en analyse spectrale.

Détection et caractérisation des composantes d’un spectre.

- Thèse réalisée dans le cadre de l’opération ASPECT du GdR-PRC ISIS -

Date de soutenance : 21 septembre 1999

Composition du jury :

Monsieur J.-L. Lacoume Président

Monsieur G. Alengrin Rapporteur

Monsieur M.A. Lagunas Rapporteur

Monsieur F. Hlawatsch Examinateur

Monsieur G. d’Urso Examinateur

Monsieur G. Goullet Examinateur

Madame N. Martin Directeur de thèse

Madame C. Mailhes Directeur de thèse

Thèse préparée au sein du laboratoire LIS-Grenoble

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L’objectif de cette thèse est de proposer une démarche originale d’analyse spectrale de signaux stationnaires. L’originalité réside dans le concept de décision fondé, non pas sur le choix d’une méthode pour un signal analysé, mais sur une confrontation de méthodes. Cette confrontation a pour but d’estimer les structures spectrales du signal. Nous utilisons une interprétation itérative des spectres fondée sur les propriétés des méthodes d’analyse.

Une étude théorique complète et approfondie de chaque méthode de Fourier retenue est présentée. Dans certains cas complexes, des techniques d’optimisation des paramètres par une procédure itérative sont développées. Les avantages et inconvénients de chaque méthode sont mis en évidence, ainsi que leur comparaison.

Des critères d’interprétations ont été développés. D’un part des critères de pré-analyse cherchent à émettre des hypothèses sur la nature du signal et à émettre des alarmes : un test d’échantillonnage Shannon, deux mesures de la périodicité du signal et une détection de non-stationnarités. D’autre part, des critères d’interprétation des spectres ont pour but de caractériser chaque fréquence du spectre : une extraction de la ligne de fond du spectre, une détection de pics et un critère de validation de l’hypothèse fréquence pure.

Enfin, une démarche générale d’analyse et d’interprétation spectrale a été mise au point. Cette démarche et les critères ont été validés sur les signaux réels de la base ASPECT. Les signaux ont été fournis par nos partenaires industriels, EDF et le Centre Technique des Systèmes Navals et issus des domaines vibratoire et acoustique.

Mots clés :

analyse spectrale, Fourier, détection, interprétation, autocorrélation, non-stationnaire, vibration, acoustique.

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A strategy for interpretation in spectral analysis

This thesis intends to build an original process of spectral analysis of stationary signals. Its originality lies in the decision concept that we used. It is not based on the choice of one method for a particular signal, but on a methods comparison. The purpose of this comparison is to estimate the signal spectral structures. We use an iterative interpretation of the spectrum based on the properties of the analysis methods.

A complete and detailed theoretical study of each selected Fourier’s method is presented. In some special complex cases, techniques of parameters optimisation are developed. The advantages and drawbacks of each method are underlined as well as their comparison.

Some interpretation criteria have been developed. On one hand, some pre-analysis criteria are able to forecast the signal nature and to emit alarms : a sampling Shannon test, two measures of the signal period and a non-stationarity detection. On the other hand, some interpretation criteria want to characterise each spectrum frequency : an extraction of the background noise spectrum, a peak detection and a validation criterion of the spectral lines.

Finally, a global structure for analysis and interpretation is presented. This process and the criteria have been validated on the signals of the ASPECT data-basis provided by our industrial partners : EDF and the Centre Technique des Systèmes Navals. The main application domains are vibration and acoustic measurements.

Key words :

spectral analysis, Fourier, detection, interpretation, correlation, non-stationarity, vibration, acoustic.

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Remerciements

Je tiens tout d’abord à remercier mes directeurs de thèse Nadine Martin et Corinne Mailhes.

Leur soutien sans faille, leurs encouragements et conseils m’ont permis de mener à bien ce travail de thèse. J’ai toujours apprécié la confiance et la liberté qu’elles m’ont accordées. Merci tout particulièrement à Nadine Martin sans qui l’opération ASPECT, qui constitue le cadre de ma thèse, n’aurait jamais vu le jour.

Je suis particulièrement reconnaissant à Monsieur Jean-Louis Lacoume, directeur du LIS, non seulement pour m’avoir accueilli dans son laboratoire, mais aussi pour avoir suivi mon travail. Son enthousiasme et ses remarques enrichissantes m’ont permis de faire évoluer cette thèse. Enfin, je le remercie pour l’honneur qu’il m’a fait en présidant mon jury de thèse.

Je désire vivement remercier les membres du jury, mes rapporteurs, Messieurs Miguel Angel Lagunas et Gérard Alengrin et mes examinateurs Messieurs Franz Hlawatsch, Georges Goullet et Guy d’Urso. Je tiens tout particulièrement à remercier Georges Goullet du CTSN pour son investissement dans l’opération ASPECT. Sans son soutien, son amitié, ses compétences, rien n’aurait été possible.

Guy d’Urso, représentant d’EDF, a toujours été un véritable moteur pour l’opération ASPECT. Je le remercie pour tout ce qu’il a fait pour moi, non seulement sur le plan scientifique, mais aussi sur le plan personnel.

Je n’oublierai pas le reste de l’équipe ASPECT : Francis Castanié, Stéphane Brasseur, Valérie Moreau, Agnès Jousselin, Pascale Prieur, Gérard Lejeune, Joël Liénard, Pierre Jaussaud, Robert Aquilina, Jean-Michel Danthez, Jean-Marc Chassery, sans oublier Elizabeth Depré dont la patience est infinie. Un merci particulier à André Silvent pour ses corrections toujours judicieuses et son assistance. Sans cette équipe dynamique et pleine de bonne humeur, mon travail n’aurait pas été le même.

Merci à tous mes collègues thésards, en particulier Daniel pour avoir supporté et soutenu mes divagations avec l’aide de Pierre M. et Graffou, Marianne N. (merci pour les corrections), Pierre F., Steeve Z., Philippe R., Jean-Claude B. et tous les autres.

Je remercie tous les membres du laboratoire LIS pour leur accueil et leur aide, notamment lors des pré-soutenances. Une attention toute particulière à Daniel Baribaud que j’ai souvent sollicité pour mes problèmes informatiques et qui m’a toujours aidé.

Enfin, merci à mes proches, familles et copains qui ont également participé à leur manière à la réalisation de cette thèse. Merci surtout à Uli pour avoir supporté tout ça…

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Sommaire

Introduction... 1

Chapitre 1 La philosophie ASPECT... 5

Chapitre 2 Les estimateurs de type Fourier ... 11

2.1. Les différentes catégories de signaux ... 11

2.2. Ce que les estimateurs cherchent à estimer ... 16

2.3. Les estimateurs de la fonction d’autocorrélation ... 16

2.4. Généralités sur les estimateurs de densité spectrale de puissance ... 17

2.4.1. Fenêtre spectrale et fenêtre effective ... 18

2.4.2. Principe du périodogramme et du corrélogramme... 19

2.4.3. Les fenêtres d’apodisation... 21

2.4.4. Caractérisation des fenêtres spectrales... 22

2.4.5. Normalisation des estimateurs... 24

2.4.6. Performances des estimateurs ... 26

2.5. Principes des différents estimateurs de type Fourier... 28

2.5.1. Famille du périodogramme : Welch-WOSA... 29

2.5.2. Famille du corrélogramme : Blackman-Tukey... 31

2.5.3. Per-Cor... 32

2.5.4. STUSE ... 37

2.5.5. Lien entre les méthodes... 41

Chapitre 3 Comportement et performances des estimateurs ... 43

3.1. Comportement des estimateurs vis-à-vis de différents motifs spectraux ... 43

3.2. Densité de probabilité des estimateurs ... 45

3.2.1. Densité de probabilité du périodogramme moyenné sans recouvrement... 46

3.2.2. Généralisation à tous les estimateurs ... 48

3.3. Etude des performances des estimateurs ... 53

3.3.1. Welch-WOSA ... 54

3.3.2. Blackman-Tukey ... 60

3.3.3. Per-Cor... 61

3.3.4. STUSE ... 68

3.3.5. Rênes de la méthode ... 73

3.4. Analyse horizontale des méthodes... 75

3.4.1. Quelques conclusions sur les méthodes ... 75

3.4.2. Comparaison de la variance normalisée, de la bande statistique et du produit stabilité-bande-durée des estimateurs ... 77

3.4.3. Comparaison des fenêtres effectives et spectrales... 80

3.4.4. Conclusion ... 86

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SOMMAIRE

Chapitre 4 La pré-analyse ... 89

4.1. Test d’échantillonnage de Shannon ... 90

4.2. Détection de non-stationnarités dans le plan temps-fréquence... 95

4.2.1. Détection à partir du spectrogramme ou du corrélogramme glissant ... 96

4.2.2. Détection de non-stationnarités en fréquence à partir de la variance normalisée.. 108

4.3. Analyse de l’autocorrélation... 115

4.3.1. Détection de périodicité globale et estimation du rapport signal sur bruit... 116

4.3.2. Détection de périodicité prépondérante ... 125

4.4. Point méta-scénario... 131

4.4.1. Alarmes et hypothèses sur la nature du signal... 131

4.4.2. Choix de la méthode et des paramètres de l’analyse primaire ... 135

Chapitre 5 Critères d’interprétation spectrale... 139

5.1. Critère de détection ... 139

5.1.1. Principe du détecteur ... 140

5.1.2. Validation et performances du détecteur... 144

5.1.3. Influence des erreurs d’estimations ... 148

5.1.4. Résultats sur signaux réels ... 152

5.1.5. Conclusion ... 156

5.2. La ligne de fond de spectre... 157

5.2.1. Généralités ... 158

5.2.2. Les méthodes une passe ... 159

5.2.3. La méthode n passes ... 166

5.2.4. Comparaison des performances en détection ... 173

5.2.5. Critère de qualité du fond de spectre ... 179

5.2.6. Conclusion sur l’estimation du fond de spectre... 180

5.3. Ajustement de la fenêtre spectrale ... 182

5.3.1. Principe ... 182

5.3.2. Résultats du critère ... 188

5.3.3. Conclusion sur l’ajustement de la fenêtre spectrale... 195

5.4. Conclusion sur les critères d’interprétation spectrale ... 195

Chapitre 6 Méta-scénario ... 197

6.1. Estimateurs spectraux de Fourier et du fond de spectre... 197

6.1.1. Estimateurs de Fourier retenus ... 198

6.1.2. Estimateurs du fond de spectre... 198

6.2. Objectif : recherche de fréquences pures ... 201

6.3. Objectif recherche de motifs bande étroite... 208

6.4. Objectif recherche de motifs large bande... 213

6.4.1. La détection des motifs large bande... 214

6.4.2. Démarche associée aux motifs large bande... 215

6.5. Conclusion sur le méta-scénario ... 221

Conclusion et perspectives ... 223

Bibliographie ... 227

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ANNEXES ... 235

A-1. Les fenêtres spectrales... 236

A-2. La méthode Welch-WOSA, facteur de normalisation... 245

A-3. Densité de probabilité de l’estimateur Welch-WOSA sans recouvrement... 245

A-4. Rênes de la méthode Welch-WOSA... 248

A-5. Test d’échantillonnage de Shannon ... 251

A-6. Détection de non-stationnarités dans le plan temps-fréquence... 252

A-6.1. Détection à partir du spectrogramme ou du corrélogramme glissant ... 252

A-6.2. Détection de non-stationnarités à partir de la variance normalisée ... 255

A-7. Détection de périodicité globale et estimation du rapport signal sur bruit ... 260

A-8. Détection de périodicité prépondérante... 264

A-9. Estimation du support de corrélation et notion de bande étroite... 267

A-10. Critère de détection à partir des estimateurs de type Fourier ... 271

A-11. La ligne de fond de spectre... 274

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INTRODUCTION

Introduction

L’analyse spectrale constitue un élément clef du traitement du signal. Elle a pour objectif d’améliorer la connaissance d’un signal en s’intéressant au domaine fréquentiel. L'analyse spectrale vise à extraire le spectre énergétique d'un signal. Lors d'une hypothèse de stationnarité, le spectre est une représentation monodimensionnelle de la fréquence et décrit complètement le signal sur le plan énergétique à l’ordre deux. La plupart des signaux étant issus de processus aléatoires, l’analyse spectrale s’appuie fréquemment sur le domaine des probabilités et des statistiques. Depuis 30 ans, l’analyse spectrale a connu d’importantes avancées, avec l’introduction de nombreuses méthodes d’estimation du spectre. Cependant, cette multiplication des possibilités d’analyse rend également plus complexe la maîtrise du choix optimal d’une méthode par rapport à une autre. Par ailleurs, cette stratégie est limitative, puisque qu’elle vise à s’orienter sur une méthode particulière avec ses limitations sans exploiter les possibilités offertes par les autres méthodes.

Un spectre peut donc être estimé par un ensemble très riche de méthodes faisant coopérer les informations apportées par le signal observé et éventuellement des modèles a priori du signal, modèle physique ou modèle mathématique. Il découle alors une complexité algorithmique générée par un ensemble de paramètres dont le choix influe sur les performances. Les choix réalisés, les hypothèses a priori, les performances statistiques sont des éléments cruciaux pour l’interprétation du spectre.

En parallèle avec l’émergence de nouvelles méthodes d’analyse spectrale, des travaux ont été développés afin d’unifier, de comparer, de connaître les performances, les avantages et les inconvénients des différentes méthodes [JEN68], [ADN90-2], [MAR87], [KAY88]. Notre approche vise à proposer une stratégie d’analyse spectrale qui soit à même d’exploiter les avantages de chaque méthode. C’est dans cette optique que se situe le sujet de cette thèse. L'originalité réside dans un concept de décision fondée, non pas sur le choix d'une méthode pour un signal analysé, mais sur une confrontation de méthodes couplée à une interprétation spectrale. Il s’agit d’être en mesure d’interpréter chaque estimation spectrale à l’aide de critères adaptés afin de détecter, caractériser et classifier les différentes composantes spectrales d’un signal.

Cette démarche ne prend son sens que dans la mesure où elle pourra guider l’analyse d’un signal pour un utilisateur non nécessairement expert en traitement du signal. L’objectif est de développer un système capable non seulement de gérer et d’interpréter les résultats, mais aussi de proposer les différentes étapes de la démarche d’analyse en fonction des résultats précédents. Un tel système ne peut s’envisager que dans le cadre des systèmes à base de connaissances.

L’association du traitement du signal et des systèmes à base de connaissances n’est pas nouvelle. Elle a donné lieu d’une part à des réflexions sur des modèles de représentation des connaissances mises en jeu dans le traitement du signal [NII88], [OPP92], [SHE94], et d’autre part à des systèmes experts notamment dans le domaine du diagnostic [PRE91], [ JIO98] et de la détection [OPP92], [BAS97] mais aussi dans des domaines d’application spécifiques tel que le domaine médical (par exemple pour l’analyse des encéphalogrammes [GLO98]). Ces systèmes, bien qu’exploitant les techniques de traitement du signal, en particulier d’analyse spectrale, sont orientés vers des domaines d’applications bien déterminés afin de résoudre des problèmes spécifiques. Dans le domaine de l’analyse spectrale, notons le travail de Konvalinka et Filipic [KON90] qui présente un système expert fondé sur la décomposition des spectres estimés en segments, afin de construire une estimation du spectre plus fine par jonction des « meilleurs » segments. Les différentes approches retenues dans ces systèmes ne correspondent pas à notre stratégie. L’objectif de ce mémoire n’est pas de réaliser un système à base de connaissances, mais de déterminer les connaissances en traitement du signal à mettre en jeu dans un tel système.

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La stratégie d’analyse présentée dans cette thèse est la prolongation d’une étude théorique sur l’unification des méthodes d’analyses spectrales stationnaires présentée dans la thèse de C. Adnet [ADN90-1], [ADN90-2], [ADN90-3], [MAR88]. Cette étude a été suivie d’un premier travail sur un système d’aide à l’analyse spectrale qui a fait l’objet de la thèse de P. Martini [MART95]. Dans cette thèse, le choix des méthodes et des paramètres reproduit la démarche empirique d’un expert et, à cette fin, les critères d’interprétation sont élaborés à partir des techniques d’analyse de données. Bien que la philosophie d’analyse soit directement issue de ce travail, l’approche n’est pas identique. En particulier, la démarche d’analyse est construite à partir des performances des estimateurs. Les critères d’interprétation prennent en compte les performances et les particularités des méthodes, ainsi que la nature du signal (signal aléatoire, déterministe…).

L'étude s'insère dans un projet de conception et de réalisation d'un système d'aide à l'Analyse SPECTrale [DUR97] : l'opération ASPECT entre deux partenaires industriels, EDF (Electricité De France, Direction des Etudes et Recherches, Chatou) et le CTSN (Centre Technique des Systèmes Navals, Toulon) et deux partenaires universitaires, le LIS (Laboratoire des Images et des Signaux, Grenoble) et le LEN7 (Laboratoire d’Electronique de l’ENSEEIHT¹, Toulouse). Ce projet s’est déroulé au sein du GdR-PRC² Information Signal Images viSion. Ce partenariat a fixé le cadre de l’étude, en particulier les domaines privilégiés d’applications : la mécanique vibratoire et l’acoustique.

La démarche d’analyse a été construite sur des signaux réels fournis par les partenaires industriels.

Dans ce contexte, l’étude s’est focalisée sur les estimateurs à base de transformée de Fourier.

Les estimateurs de type Fourier (Welch-WOSA, Blackman-Tukey, PER-COR, Lag-Reshape, STUSE) sont des méthodes non-paramétriques qui ne nécessitent pas de modèle a priori. Elles sont adaptées à tout type de signaux. La démarche générale d’analyse n’est pas restreinte aux seules analyses spectrales de type Fourier. Les méthodes dites « haute-résolution » (AR, Prony, Capon, méthodes par déflation…) ont été également appliquées. Certaines méthodes s’appuient sur des modèles précis physique ou systémique du signal. Ces techniques ont été développées pour élargir le domaine d’utilisation de l’analyse spectrale à des traitements sur des durées très courtes nécessitant une meilleure résolution que celle proposée par les méthodes de type Fourier. Les signaux réels de l’opération ASPECT sont des signaux longs (de taille en général supérieure à 50 000 points). Dans ces conditions, les méthodes de type Fourier sont les plus adaptés, les autres méthodes ne pouvant gérer des tailles aussi importantes. Elles n’interviennent alors que pour résoudre des problèmes particuliers mis en évidence par les analyses de type Fourier. D’autres types d’analyse ont été étudiées (analyse cyclostationnaire, cepstrale, détection d’harmoniques). Cependant, ce mémoire est centré sur la démarche d’analyse et l’interprétation des méthodes à base de transformée de Fourier qui constituent le cœur du système.

Le premier chapitre introduit la philosophie d’analyse. Il fixe le contexte, les enjeux et la stratégie adoptée afin de construire la démarche complète d’analyse d’un signal dans le cadre de l’opération ASPECT.

La nature des signaux, leurs propriétés et les définitions qui s’ensuivent sur leur représentation énergétique en fréquence sont essentiels pour la compréhension des estimateurs de type Fourier. Dans le deuxième chapitre, nous rappelons ces notions qui fixent le cadre théorique des estimateurs. Nous présentons ensuite, de façon originale, les différents estimateurs de type Fourier retenus. En particulier, nous présentons les notions communes qui permettent de fixer les performances des estimateurs et mettons en évidence les particularités de chaque méthode.

1 Ecole Nationale Supérieure d’Electrotechnique, d’Electronique, d’Informatique, d’Hydraulique de Toulouse.

2 Groupement De Recherche - Programme de Recherche Coordonnée.

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INTRODUCTION

La définition d’une démarche d’analyse fondée sur les performances des estimateurs nécessite une évaluation minutieuse de toutes les performances, de leur lien avec les paramètres, des propriétés et du comportement des méthodes. La littérature recense un nombre important de résultats qui sont toutefois incomplets. Nous avons repris et complété toutes ces études et nous présentons ces résultats dans le troisième chapitre. Dans certains cas complexes, des techniques d’optimisation par une procédure itérative sont développées.

Le quatrième chapitre est consacré à la première phase de l’analyse ou pré-analyse. Cette phase s’avère essentielle dans le cadre d’une démarche complète. Nous proposons une suite d’étapes et de critères qui permettent de détecter des problèmes pour l’analyse spectrale, mais aussi de caractériser certaines propriétés du signal qui permettent alors de fixer les paramètres de la première analyse spectrale.

Le cinquième chapitre présente les différents critères d’interprétation associés aux méthodes de type Fourier. Nous avons élaboré ces critères, qui s’appuient sur les performances et les propriétés des méthodes, afin de détecter, de caractériser et de classifier les structures spectrales à partir d’une estimation donnée du spectre.

Enfin, dans le dernier chapitre, nous proposons la démarche d’analyse des structures spectrales d’un signal à partir des estimateurs de type de Fourier et des résultats des critères d’interprétation.

Cette démarche est déclinée suivant les différents types de composantes spectrales. Sans faire appel aux représentations spécifiques d’un système à base de connaissance, ce chapitre fixe les connaissances nécessaires à la réalisation d’un tel système.

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CHAPITRE 1 La philosophie ASPECT

Chapitre 1

La philosophie ASPECT

L’objectif de l’opération ASPECT est de construire un système d’aide à l’analyse spectrale. Ce système doit permettre, à un utilisateur non nécessairement expert en traitement du signal, de mener à bien une analyse spectrale fiable d’un signal. L'originalité de l'opération ASPECT réside dans le concept de décision basée, non pas sur le choix d’une méthode pour un signal analysé, mais sur une confrontation de méthodes. Cette confrontation a pour but d’estimer, non pas un spectre comme il est d’usage en analyse spectrale, mais les structures spectrales du signal et un certain nombre de propriétés de ce signal. Cette confrontation de méthodes est réalisée par une interprétation itérative des spectres fondée sur les propriétés des méthodes. Un spectre ne peut être interprété qu’en considérant son processus de génération. Cette philosophie nouvelle est illustrée au sein d’un

« colimaçon » qui converge vers les caractéristiques du signal initial après la traversée guidée de multiples méthodes.

Chaque analyse complète débute par une pré-analyse, étape très importante qui évalue a priori les propriétés de base d’un signal : non-stationnarité, non-gaussianité, périodicité, structure du bruit de fond, rapport signal sur bruit... Ces propriétés aboutissent à des hypothèses sur la nature du signal, hypothèses qui permettent un choix adapté des paramètres d'une première méthode d'analyse. Les analyses s’enchaînent ensuite en fonction des interprétations des spectres estimés et des objectifs qui en découlent à chaque pas : application d’une méthode particulière pour lever une ambiguïté sur une bande spectrale particulière, recherche de familles d’harmoniques, caractérisation bande étroite/bande large,... Enfin, les caractéristiques estimées sont confrontées avec les informations a priori disponibles sur le signal.

Le colimaçon spectral proposé est en fait une procédure hiérarchique d’analyse se frayant un chemin dans un arbre décrivant les différentes possibilités d’analyse en fonction des interprétations successives, ce que nous avons appelé le méta-scénario. Les orientations aux différents nœuds de l’arbre sont prises à partir d’objectifs visant à améliorer les performances pour l’estimation de chaque structure spectrale du spectre et non du spectre global. Le méta-scénario regroupe la base de connaissance associée au comportement et aux performances des estimateurs et des critères d’interprétation vis-à-vis des différentes structures spectrales. Les décisions sont prises lors d’un point charnière qui conclut chaque étape et s’appuient sur des critères d’interprétation appliqués à chaque analyse spectrale.

Les idées et critères proposés dans ASPECT sont issus d'un travail préliminaire réalisé sur les signaux réels fournis par les partenaires industriels, focalisant l’étude sur deux domaines :

- en mécanique vibratoire : surveillance de l’état vibratoire de machines et auxiliaires (CTSN), surveillance d’engrenages (EDF) ;

- en acoustique : mesure de bruits propres et rayonnés (CTSN).

Ce travail a abouti à l'écriture de scénarios d'analyse qui décrivent toute la démarche d'un expert, de la première phase (observations de la forme temporelle) jusqu'à l'estimation des caractéristiques spectrales du signal [DUR97]. Un scénario retrace la démarche d’analyse pour un signal réel particulier. L’objectif est triple, mettre au point les différentes étapes de l’analyse, étudier la façon de gérer les résultats et de choisir le cheminement d’analyse, et enfin envisager les critères nécessaires pour aider l’interprétation. Ces scénarios ont également permis de valider l’étude théorique des estimateurs et de leur comportement vis-à-vis des différentes structures spectrales. Il convient de

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construire la démarche en confrontant les différentes méthodes d'analyse spectrale et leurs propriétés théoriques. Un scénario prend alors en compte les différentes étapes de l'interprétation spectrale. Ce scénario coordonne non seulement les choix successifs des méthodes et de leur jeu de paramètres, mais aussi l'interprétation de chaque spectre en tenant compte des étapes précédentes. Chaque étape apporte sa contribution à l'établissement du contenu spectral et au choix de l'étape suivante. L’étude des performances des estimateurs est primordiale pour la mise au point du cheminement d’analyse, en particulier le choix de l’estimateur adapté à l’objectif recherché en fonction des analyses précédentes.

Les scénarios sont élaborés sur des signaux réels. A cette fin, une banque de signaux provenant du CTSN et d'EDF a été constituée [DUR96-SignEDF], [DUR96-SignDCN]. Elle contient des signaux dont les spectres offrent des structures variées. Trois scénarios ont été complètement rédigés.

• Sur un signal vibratoire mesuré sur un engrenage de trains parallèles et obtenu lors d'un essai de fatigue et fourni par EDF dans le cadre de l'opération, signal ENG8-E5-21RH-SPV [DUR97- ENG8 E5]. La fréquence d’échantillonnage est de 6365 Hz et le signal comporte 65 536 points.

L’engrenage ne contenait pas de défaut visible. Les différentes raies spectrales associées aux défauts classiques sont alors de très faible amplitude. Le signal est constitué de différentes séries d’harmoniques principalement organisées en bande latérale autour des harmoniques de la fréquence d’engrènement et d’un bruit faiblement coloré. Les rapports signal sur bruit entre les différentes raies spectrales et le bruit sont variés, allant de très faibles à très importants. De plus, les raies spectrales sont très nombreuses (>100).

• Sur un signal vibratoire correspondant à un essai effectué sur la plate-forme PEGASE du CTSN, signal PEG-SH1-a11 [DUR97-PEG]. Il s’agit de la mesure de l’ensemble des sources vibratoires d’une station d’huile captée grâce à un accéléromètre (moteur, pompe, bruit hydraulique…). Il y a également une pompe d’eau douce en route, mais elle est non instrumentée. Le signal est échantillonné à 3000 Hz et contient 50000 points. Le signal est constitué d’harmoniques sur l’ensemble du spectre, de fréquences pures isolées dans un bruit coloré avec des parties très larges bandes et d’autres beaucoup plus étroites.

• Sur un signal acoustique correspondant au bruit rayonné capté par un hydrophone lors du passage d’un navire au-dessus de celui-ci, signal MF-CHARLIE 1-VOIE6 [DUR97-MF]. Le signal mesure le bruit du moteur diesel qui propulse le navire, mais également le bruit du moteur diesel qui sert d’alternateur et le bruit des divers moteurs auxiliaires. Le signal a été rééchantillonné. Après une décimation d’un facteur 8, il comporte 100 000 points pour une fréquence d’échantillonnage de 5000 Hz. Une série de pics bande étroite harmoniques entre eux de 4,96 Hz a été mise en évidence. Il ne s’agit pas de fréquences pures, mais bien de composantes bande étroite à caractère aléatoire.

Les scénarios n’incluent pas les critères d’interprétation, les interprétations sont celles qu’un expert en traitement du signal en accord avec celui du domaine d’application tire des résultats de chaque analyse. Cependant, les scénarios ont servi de base pour la conception des critères. L’ensemble des scénarios ne sera pas repris dans ce document, nous nous contentons de décrire leur aboutissement, soit le principe de la démarche d’analyse, les critères d’interprétation et le méta-scénario.

La stratégie d’analyse et d’interprétation se décompose en quatre phases principales, la pré- analyse, la phase d’analyses spectrales à partir des estimateurs de types Fourier, la phase d’analyses complémentaires et enfin l’interprétation finale et la confrontation avec les informations a priori. Dans ce document, nous présentons principalement les deux premières phases : la pré-analyse et la phase d’analyse spectrale de type Fourier qui forment le cœur du système (cf. Figure I).

Il a été choisi de ne considérer comme information a priori que le nombre de points du signal, la fréquence d’échantillonnage et éventuellement la fréquence de coupure du filtre anti-repliement.

Néanmoins, des informations supplémentaires peuvent être insérées à tout moment dans la démarche pour orienter ou éviter certaines étapes.

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¾ Phase de pré-analyse

La pré-analyse évalue a priori les propriétés de base d’un signal. Elle permet de détecter des problèmes pour l’analyse (mauvais échantillonnage, non-stationnarité, changement des propriétés statistiques au cours du temps…) et d’émettre des hypothèses sur la nature du signal (présence d’une partie périodique et dans ce cas rapport signal sur bruit, support de corrélation…). La pré- analyse est constituée d’étapes successives et indépendantes. L’enchaînement des étapes est fixé a priori quel que soit le signal. Bien évidemment, les conclusions de cette pré-analyse sont propres à chaque signal. En fin de pré-analyse, un point méta-scénario permet de choisir les paramètres de la première analyse spectrale, dite analyse primaire.

¾ Phase d’analyse spectrale de type Fourier

La première série d’analyse spectrale est toujours obtenue avec les estimateurs de type Fourier.

Ces méthodes sont particulièrement adaptées dans le contexte de l’opération ASPECT. Ce sont des méthodes non-paramétriques qui ne font pas référence à un modèle a priori et sont adaptées à tout type de signaux. Leurs performances sont évaluables, notamment leur variance et leur résolution fréquentielle, ce qui facilite l’interprétation des spectres. De plus, les estimateurs de type Fourier sont adaptés aux signaux longs, ce qui est le cas des signaux de la banque ASPECT (plus de 50000 points en général). C’est pourquoi ces méthodes constituent un maillon essentiel dans une démarche d’analyse globale.

Cette phase d’analyse spectrale est constituée d’une série d’étapes, chacune déterminée par les résultats des analyses précédentes. Les hypothèses résultantes de la pré-analyse, fixent un premier jeu de paramètres pour l’application d’une première méthode de Fourier dans le cadre d’une analyse dite analyse primaire. Les analyses des étapes suivantes sont appelées analyses secondaires. L’analyse primaire diffère des analyses secondaires de par le choix des paramètres de la méthode. En effet, dans le cas d’une analyse primaire, les paramètres sont fixés à partir d’éléments issus de la pré-analyse. Dans une analyse secondaire, les paramètres de la méthode sont fixés par rapport à des objectifs à atteindre sur les performances de la méthode. Le nombre d’étapes et les paramètres de chaque étape ne sont pas connus à l’avance.

Chacune des étapes repose sur la mise en œuvre d'une méthode d'analyse spectrale. Chaque étape est constituée de trois modules fondamentaux dont les objectifs précis sont définis de la façon suivante :

Î l’estimation spectrale. Le résultat est la densité spectrale de puissance (DSP) estimée, courbe monodimensionnelle en fréquence, mais également les performances liées à l’estimateur spectral : variance, résolution fréquentielle…

Î l’interprétation brute. Le résultat du module précédent est sous forme d’une courbe : l’estimation du spectre du signal. Le deuxième module consiste à interpréter cette estimation en fonction de la méthode d’analyse qui l’a généré. Nous avons appelé cette phase interprétation brute car elle ne fait pas référence aux étapes précédentes. L’interprétation est effectuée par des critères d’interprétation qui permettent de détecter et caractériser les structures spectrales à l’aide d’attributs.

Î le point charnière. Ce module fait référence à la base de connaissance du méta-scénario. Il permet de compléter l’interprétation par confrontation avec les étapes précédentes et a pour objectifs de :

- comparer les résultats à ceux des étapes précédentes. Nous avons dénommé cette phase l’interprétation comparative ;

- remettre à jour la caractérisation des structures spectrales. Ces nouvelles hypothèses, appelées hypothèses spectrales courantes, confirment ou infirment les hypothèses de l’étape précédente ou apportent de nouveaux éléments ;

- définir les indéterminations.

(15)

Le point charnière permet également de prendre des décisions :

- choisir un objectif à poursuivre, afin de lever les indéterminations et les ambiguïtés ;

- choisir l’étape suivante et ses paramètres en fonction des étapes précédentes. Le module conclut sur l’application d’une méthode d’analyse pour un objectif déterminé. Les éléments sont suffisants pour définir le jeu de paramètres de cette méthode. Les différentes possibilités sont : modifier les paramètres de la méthode d’analyse spectrale, changer de méthode, modifier les paramètres des critères d’interprétation ou effectuer des analyses complémentaires.

L’ensemble des choix est effectué parmi un ensemble de pistes possibles. Plusieurs possibilités d’objectif et d’étapes suivantes peuvent être proposées. En effet, le but est de guider l’analyse et non d’imposer une démarche. L’utilisateur doit pouvoir influencer et modifier la stratégie d’analyse. Des priorités sont définies entre les différents choix présentés.

Ainsi, différentes étapes s’enchaînent, chaque étape constituant un tour du colimaçon. Une même méthode peut être appliquée plusieurs fois, des variations sur les paramètres étant nécessaires pour modifier les performances. Dans d’autres cas, un ensemble de méthodes s’enchaînent pour atteindre un seul et même objectif.

¾ Phase d’analyses complémentaires

Ensuite, suivant les conclusions de la phase d’analyse spectrale de type Fourier, d’autres analyses peuvent être proposées.

Il peut s’agir de méthodes d’analyse spectrale : méthode de Prony par déflation, méthode « haute- résolution » (AR, Prony, Capon [KAY88], [MAR87]…). Elles peuvent être appliquées sur des sous-bandes fréquentielles après une opération de filtrage, rééchantillonnage. En effet, le nombre de points ne doit pas être trop important pour appliquer ces méthodes pour des raisons de complexité calculatoire, de vitesse de calcul, mais aussi de complexité spectrale. Par exemple, pour estimer correctement un spectre riche en fréquences pures et avec un bruit très coloré à l’aide de la méthode Auto-Régressive, l’ordre doit être ajusté à la complexité spectrale et peut alors être très important. Sans oublier que l’ordre est souvent difficile à choisir. Les résultats des estimateurs de type Fourier permettent de choisir l’estimateur et ses paramètres, ainsi que les sous-bandes d’intérêt. Par exemple, la méthode de Prony par déflation est proposée pour permettre d’estimer des fréquences pures « cachées » par la présence des fréquences pures de forte puissance dans certaines sous-bandes. Le nombre de fréquences pures détectées et la coloration du bruit permettent de proposer le choix des paramètres. D’autres types d’analyses sont envisagés : détection d’harmoniques, analyse cyclostationnaire, analyse cepstrale [CAP92-1], [CAP92-2].

Cette phase est décomposée de la même façon que la phase d’analyse spectrale de type Fourier.

Cependant, des critères spécifiques et une démarche spécifique à chaque type d’analyse doivent être mis en place. Dans les scénarios, ces différentes analyses ont été appliquées. En ce qui concerne l’étude présentée dans ce document, cette phase ne sera pas considérée bien que des études spécifiques soient déjà bien avancées :

• les méthodes par déflation fondé sur la Transformée de Fourier ou sur la méthode de Prony ont été étudiées au LEN7 (C. Mailhes, A. Ducasse, F. Castanié [DUC97]). Elles fonctionnent par une succession d’estimations et de déflations après optimisation des paramètres ;

• le spectre auto-cohérent a été développé au CTSN (R. Aquilina et R. Danthez [DAN98]).

Cette méthode inclut une fonction de détection de fréquence pure et de détermination de sa fréquence exacte ;

• la détection d’harmoniques a été étudiée à partir d’un système développé à EDF (P. Prieur, C. Lapaille, M. Bounaas, M. Durnerin [PRIEUR97], [DUR98-Harmo]) et un système développé au LIS par G. Lejeune, V. Leisse, M. Durnerin [LEI97]) ;

• l’analyse cyclo-stationnaire a été étudiée au LIS (G. Lejeune, J-L. Lacoume [LEJ97]) et à EDF (P. Prieur [PRIEUR95-1]).

(16)

¾ Phase d’interprétation finale et de confrontation avec les informations a priori

Une conclusion est présentée sur l’ensemble des caractéristiques spectrales du signal, et non pas, rappelons-le, sur le choix d’une méthode d’analyse. Lorsque des informations a priori existent, les résultats de l’interprétation finale sont comparés à ces informations. La position de ce module en toute fin d’analyse est discutable. Ce choix a été réalisé afin d’exploiter dans un premier temps toutes les possibilités de l’analyse spectrale. Ce choix n’est pas préjudiciable. Etant donnée la structure de la démarche, des informations a priori peuvent être intégrées au niveau du point charnière de chaque étape afin de modifier éventuellement l’objectif de l’étape suivante.

Figure I : schéma de la philosophie ASPECT.

La représentation classique d’un spectre obtenue à partir d’une unique estimation est insuffisante pour décrire et caractériser le contenu spectral d’un signal. Nous avons cherché de nouveaux modes de représentation en nous intéressant aux différentes composantes d’un spectre, qui sont souvent dues à des phénomènes physiques différents. La démarche d’analyse ne converge pas vers une simple estimation spectrale, courbe monodimensionnelle estimant la densité spectrale de puissance du signal pour chaque fréquence. La démarche s’attache à détecter, estimer et caractériser chaque composante spectrale. Les domaines d’application fixent le contexte des signaux étudiés : le signal est constitué d’une partie aléatoire à spectre continu et à puissance moyenne finie additionné éventuellement de fréquences pures (signaux déterministes). La partie aléatoire peut être issue de la combinaison de plusieurs processus aléatoires, nous ne faisons pas d’hypothèse sur la densité de probabilité des processus aléatoires. Dans ces conditions, la démarche présentée peut être étendue à d’autres domaines d’application.

Entrée du système : Signal temporel :

temps Pré-analyse

Composantes spectrales

estimation en fréquence de la partie continue du spectre

+

estimation des fréquences pures (fréquence/amplitude)

+ attributs Sortie du système :

Critères

d’interprétation Point charnière Estimation spectrale

dsp

fréquence

dsp

fréquence

- confrontation avec les étapes précédentes, - conclusions sur les structures spectrales, - choix d’un objectif, - choix de l’étape suivante.

(17)

Les composantes spectrales ont été décomposées en trois types de motifs :

- les fréquences pures, signaux déterministes périodiques caractéristiques des signaux vibratoires ; - les motifs bande étroite dus à des signaux aléatoires. La bande des motifs bande étroite n’est pas

définie de façon absolue, mais par rapport aux conditions de mesure du signal, soit par rapport à la durée du signal. La taille du signal fixe la résolution fréquentielle maximale que l’on puisse obtenir avec les estimateurs de type Fourier. La définition d’un motif bande étroite n’est pas fixe, la caractérisation bande étroite dépend de la façon dont les estimateurs permettent de l’estimer et de le détecter. La dynamique d’un motif, sa forme et sa largeur de bande influent sur la caractérisation bande étroite. De tels motifs peuvent être dus à une sinusoïde dont la fréquence au lieu d’être fixe (fréquence pure), varie de façon aléatoire ou pseudo-aléatoire. Dans le cas de la mesure d’un bruit rayonné par un navire, le fonctionnement d’un moteur diesel, par exemple, subit des variations (légers changements de vitesses, modifications de la charge sur les hélices, effet doppler…), ce qui se traduit par l’émission de motifs bande étroite au lieu de fréquence pure ; - les motifs large bande forment le reste des motifs du spectre. Ils sont a priori associés au bruit

coloré à spectre continu, par exemple, au bruit de mer dans un signal d’acoustique sous-marine ou un bruit hydraulique dans une canalisation. Un même phénomène physique peut générer à la fois des motifs large bande et des motifs bande étroite. La distinction entre les deux types de motifs n’est faite que par leur comportement différent vis-à-vis des estimateurs spectraux.

A chaque type de motifs vont être associé des attributs qui permettent de les caractériser. Pour une fréquence pure, il s’agit de sa fréquence, de son amplitude, de la densité spectrale de puissance du bruit à sa fréquence, et si elle fait partie d’une famille d’harmoniques, la fréquence du fondamental et l’indice de l’harmonique, mais aussi d’un indice de confiance dans sa détection. Une fréquence pure est également associée au motif du bruit sur lequel elle est localisée. Pour un motif large bande ou bande étroite, il s’agit de sa largeur de bande, de son estimation spectrale et des paramètres et performances de l’estimation qui ont permis de l’estimer « au mieux », notamment la variance, et des autres motifs localisés dans la même bande fréquentielle. Cette caractérisation des motifs est obtenue grâce aux résultats des critères d’interprétation combinés au résultat de la démarche elle-même, par comparaison des différentes étapes. Cette comparaison est guidée par le méta-scénario.

Par ailleurs, pour pouvoir comparer les estimations entre elles et déterminer l’étape suivante, d’autres attributs sont associés aux différents motifs suivant les résultats des critères d’interprétation.

Ces attributs sont nécessaires à la construction de la démarche d’analyse et sont liés à chaque étape. Ils permettent de fixer les attributs finaux qui caractérisent les motifs du spectre. Ces attributs sont intimement liés aux critères d’interprétation. Pour n’en citer qu’un, il s’agit pour une fréquence pure de sa classe de détection, c’est-à-dire d’un attribut qui permet de déterminer si la fréquence pure a été détectée avec une forte probabilité par le critère de détection. Cet attribut est associé à une analyse spectrale donnée. L’ensemble de ces attributs doit être conservé pendant la démarche d’analyse car le choix des étapes dépend de l’ensemble des analyses précédentes.

Les rares travaux présents dans la littérature ayant abordé ce problème délicat d’aide à l’interprétation spectrale sont en fait des propositions d’architecture d’algorithmes, sans choix ni interprétation. Nous proposons une démarche basée sur trois points originaux :

1. l’objectif n’est pas le choix d’une méthode mais la confrontation de méthodes ;

2. le résultat d’analyse n’est pas un spectre mais le descriptif du signal par un ensemble de structures spectrales munies de propriétés spécifiques ;

3. un spectre est interprété au moyen de critères intégrant le processus de génération de ce spectre.

L’enjeu de cette étude n’est pas restreint à un problème d’estimation. La démarche d’analyse et les critères d’interprétation permettent de quantifier des attributs associés aux structures spectrales.

L’enjeu est non seulement d’estimer ces structures, mais aussi de les détecter et de les caractériser.

(18)

CHAPITRE 2 Les estimateurs de type Fourier

Chapitre 2

Les estimateurs de type Fourier

L’objectif de ce chapitre est le cadre et les bases théoriques de l’étude. Avant de décrire les différents estimateurs spectraux de type Fourier, nous présentons les différents types classiques de signaux. Cette approche est nécessaire pour fixer la définition de la densité spectrale de puissance (DSP), mais également pour préciser le contexte théorique des estimateurs. Nous abordons ensuite les notions communes à tous les estimateurs qui permettent de fixer leurs performances. Nous ne présentons pas l’écriture généralisée qui permet de regrouper l’ensemble des estimateurs dans une unique forme analytique [MAT87], ou une partie des estimateurs [CLE84], [MUL90], mais cherchons à préciser les différences de chacun. Chaque estimateur est donc présenté séparément. Les performances qui ont une définition commune, telle que la fenêtre spectrale, sont précisés. Les différences et particularités des estimateurs sont également mis en valeur.

2.1. Les différentes catégories de signaux

Avant de présenter les différents estimateurs de densité spectrale de puissance, il est nécessaire de préciser un certain nombre de notions sur les catégories de signaux, en particulier sur ceux rencontrés dans la banque de signaux de l’opération ASPECT. Nous précisons ainsi la définition de la densité spectrale de puissance et le cadre théorique des estimateurs.

En ce qui concerne la puissance et l'énergie, il existe plusieurs catégories de signaux [ROU70], [KUN80], [MAX-LAC96], [JEN68], [PRIEST81], nous présentons et décrivons uniquement ceux qui sont le plus couramment rencontrés. Soit x(t) un signal à temps continu.

S Les signaux déterministes à énergie finie sont des signaux dont la puissance instantanée ^x( )^t ²

est intégrable sur ℜ :

( ) ^<^∞

+∞∫

∞

−

t t

x ²d (2.1-1)

De tels signaux ont une puissance moyenne nulle. Les signaux de durée temporelle finie vérifient cette propriété.

La transformée de Fourier d'un tel signal s'écrit :

( ) ( )( ) ^+∞_∫ ( )

∞

−

= −

= xt xt t

X ν TF e ²^π^j^t^νd (2.1-2)

avec ( ) ( ( )) ^+∞_∫ ( )

∞

−

= +

=TF^-¹ X ν Xν e ²^π^j^t^νdν t

x (2.1-3)

La relation de Parseval s'écrit :

( ) _∫ ( )

∫ ^+∞

∞

− +∞

∞

−

= ν dν

d ²

2 t X

t

x (2.1-4)

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et montre que la densité spectrale d'énergie est donnée par :

( )ν X( )ν ²

S_x = (2.1-5)

en unité du signal au carré par hertz.

La fonction d'autocorrélation d'un tel signal est :

( ) ^+∞_∫ ( ) ( )

∞

−

= xt x t t

xτ τ ^*d

Γ (2.1-6)

et la relation de Wiener-Kintchine s'écrit :

( )ν (Γx( )τ )

Sx =TF (2.1-7)

S Les signaux déterministes à puissance moyenne finie non périodiques. Ces signaux ont généralement une énergie totale infinie. Ils ont pour propriété que leur puissance moyenne P_moy sur un intervalle T a une limite finie pour T tendant vers l'infini :

∫ ( )

+

∞ −

→

= ^/²

2 /

moy lim 1 2d existe

T T

t t T x

T

P (2.1-8)

La puissance instantanée est supposée localement sommable. La puissance moyenne peut être réécrite en introduisant :

( )^t ( ) ( ) ( )^t ^x^t ^x₀^t _pour^pour_t^t _T^T_/^/₂²

x_T _T

>

= <

= Π (2.1-9)

alors

( ) _t

T t x

P T lim ^T ² d

moy =^+∞∫ →+∞

∞

−

(2.1-10)

Pour les signaux à puissance moyenne finie, on peut écrire :

( ) ( )

ν ν lim d

lim ² d ²

T X T

T t t x T

T T

+∞

= → +∞

→ ∫

∫ ^+∞

∞

− +∞

∞

−

(2.1-11)

avec ^XT( )ν =TF(^xT( )^t ) (2.1-12)

ce qui permet de définir la densité spectrale de puissance :

( ) ( ) ( )

2 2 /

2 /

j 2 2

x lim lim 1 ⁺ ∫ e d

−

+∞

→

= +∞

→

= ^T

T

t

T xT t t

T T T X T

ν

ν π

ν

γ (2.1-13)

qui s'exprime en unité du signal au carré par Hertz.

La fonction d'autocorrélation d'un tel signal est :

( ) ⁺ _∫ ( ) ( )

−

∞

→

= ^/²

2 /

* d

lim 1

T T

T

x xT t x t t

T T τ τ

Γ (2.1-14)