Comparaison des fenêtres effectives et spectrales

(b) var x Bs x T

support fenêtre effective en % de N

20 40 60 80 100 1 1.5 2 2.5 (c)

Figure 3.4-I : comparaison des performances des méthodes en fonction du support de la fenêtre

effective M. Les courbes comparent (a) la variance normalisée, (b) le produit bande statistique durée,

(c) le produit stabilité-bande-durée, pour plusieurs méthode en fonction du support de la fenêtre effective M exprimé en % du nombre de points N (=1000). En trait continu épais : Corrélogramme A-biaisé, avec une fenêtre linéaire de Blackman et Mca=M. En trait continu fin ⎯ : Welch-WOSA, avec une fenêtre quadratique de Blackman, un décalage de 30% optimisé pour minimiser le résidu et

Lww=M. En pointillés épais : Blackman-Tukey avec une fenêtre linéaire de Blackman et Mbt=M. En pointillés fin --- : Per-Cor avec des fenêtres linéaire et quadratique de Blackman, un décalage de 30% optimisé pour minimiser le résidu et Lpc=Mpc=M.

3.4.3. Comparaison des fenêtres effectives et spectrales

Pour tous les estimateurs, la fenêtre effective et la fenêtre spectrale ne dépendent pas du nombre de points du signal. Pour la méthode STUSE, il faut cependant se placer dans l'hypothèse où le paramètre Q est très inférieur au nombre de segments, soit pour une taille de segments très inférieure au nombre de points du signal. Le tableau Tab. 3.4-II résume de façon qualitative les performances des fenêtres spectrales pour les différentes méthodes lorsque le support de la fenêtre effective est identique pour chacune des méthodes et qu'elles sont utilisées suivant les conseils d'utilisation indiqués précédemment. Les niveaux permettant de comparer les méthodes entre elles sont symboliques, lorsqu'ils sont noirs, c'est un point fort de la méthode. La complexité numérique relative est un critère qualitatif, fondé sur la comparaison du nombre d'opérations de chaque méthode et du temps de calcul, lorsque le support de la fenêtre effective est identique pour chacune des méthodes.

3.4 Analyse horizontale des méthodes

Tab. 3.4-II : comparaison qualitative des fenêtres spectrales méthodes

performances

WELCH-WOSA STUSE

BLACKMAN-TUKEY ^Per-Cor résolution (à partir de BS et B-3db) atténuation de l'ensemble des lobes secondaires atténuation des lobes secondaires éloignés du lobe principal fuites d'énergie

spectre positif OUI NON

NON / OUI pour la fenêtre de Bartlett NON atténuations des lobes négatifs pas de lobes négatifs complexité numérique relative possibilité d'obtenir un biais nul NON OUI

NON / OUI pour la fenêtre rectangulaire

NON

= meilleure performance = moins bonne performance = point fort

Comparaison des fenêtres effectives et spectrales de Per-Cor avec celles des autres méthodes. Cas général :

- pour Lpc=Mpc, les fenêtres spectrales sont proches des fenêtres spectrales obtenues avec la méthode Welch-WOSA pour Lww=Lpc et hww=hpc, dont les lobes secondaires seraient lissés, sans lobes secondaires négatifs assurant ainsi la positivité du spectre et ceci quelle que soit la fenêtre linéaire (sauf la fenêtre linéaire de Bartlett) (cf. Figure 3.4-III (a) et (c)). Les bandes statistiques, les variances normalisées et les produits stabilité-bande-durées sont alors du même ordre de grandeur (cf. Tab. 3.4-I). Cette configuration offre l'intérêt d'avoir des fenêtres spectrales dont les lobes secondaires

sont lissés et d'amplitudes faibles, cela peut faciliter l'interprétation des spectres, le biais n'étant plus

- pour Lpc>>Mpc, les fenêtres spectrales sont proches des fenêtres spectrales obtenues avec la méthode Blackman-Tukey pour Mbt=Mpc et gbt=gpc (cf. Figure 3.4-III (b) et (d)). Les bandes statistiques, les variances normalisées et les produits stabilité-bande-durées sont alors du même ordre de grandeur (cf. Tab. 3.4-I). Cette configuration n'offre donc pas d'intérêt particulier.

- pour 2Mpc >Lpc > Mpc, les fenêtres spectrales ont des allures intermédiaires entre les fenêtres spectrales avec la méthode Welch-WOSA pour Lww=Lpc, hww=hpc et les fenêtres spectrales obtenues

avec la méthode Blackman-Tukey pour Mbt=Mpc et gbt=gpc. En règle générale : les lobes secondaires sont de moins en moins lissés et de plus en plus nombreux, le niveau des lobes secondaires augmente, le lobe principal diminue en surface, la bande statistique diminue, le facteur de fuite d'énergie augmente et le facteur de décroissance des lobes secondaires passe de celui de la fenêtre quadratique à celui de la fenêtre linéaire. On remarque également que des lobes négatifs apparaissent. La bande statistique, la variance normalisée et le produit stabilité-bande-durée sont alors compris entre celles obtenues avec la méthode Welch-WOSA et celles obtenues avec la méthode Blackman-Tukey (cf. Tab. 3.4-I). Cette configuration offre l'intérêt d'avoir des fenêtres spectrales intermédiaires entre

les deux méthodes, cependant les résultats obtenus sont très dépendants de la taille des segments par

rapport au support de corrélation et par rapport aux fenêtres d'apodisation, il est alors difficile de prévoir a priori l'allure exacte de la fenêtre spectrale. Il a par ailleurs été montré (paragraphe 3.3.3) que le produit stabilité-bande-durée, donc le compromis résolution / variance, était moins bon que dans le cas où Lpc=Mpc. Cependant, lorsque Lpc reste inférieur à 10 % du nombre de points du signal, cette détérioration n'est pas très sensible.

Cas du Corrélogramme A-biaisé :

- si la fenêtre linéaire est rectangulaire et Mca=N, la fenêtre spectrale correspond à la fenêtre spectrale obtenue avec la méthode Blackman-Tukey pour Mbt=Mca et une fenêtre linéaire de Bartlett.

- pour les autres fenêtres linéaires : pour Mca=N, l'allure de la fenêtre spectrale est proche de celle de la fenêtre spectrale obtenue avec la méthode Blackman-Tukey pour Mbt=Mca et une fenêtre linéaire de Bartlett dont les lobes secondaires seraient lissés. Le pied de pic du lobe principal est relativement important par rapport à celui des fenêtres spectrales des autres méthodes (dans le cas où M=N, cf. Figure 3.4-III). L’atténuation du niveau de la fenêtre spectrale pour les fréquences éloignées du lobe principal est également moins bonne et peut générer des problèmes de biais si la dynamique du spectre est importante.

Lorsque le rapport N/Mca augmente, les lobes secondaires sont de moins en moins lissés, mais l'allure reste sensiblement proche du cas Mca=N, tant que N<4Mpc. Ensuite, la fenêtre spectrale tend vers la fenêtre spectrale obtenue avec la méthode Blackman-Tukey pour Mbt=Mca et gbt=gca.

3.4 Analyse horizontale des méthodes fenêtre effective indice du retard -50 0 50 0 0.5 1 (a) Welch-WOSA fenêtre effective indice du retard -50 0 50 0 0.5 1 (b) Blackman-Tukey fenêtre effective indice du retard -50 0 50 0 0.5 1 (c) Per-Cor fenêtre effective indice du retard -50 0 50 0 0.5 1 (d) Per-Cor fenêtre effective indice du retard -50 0 50 0 0.5 1

(e) Corrélogramme A-biaisé

fenêtre effective indice du retard -50 0 50 0 0.5 1 (f) Corrélogramme A-biaisé fenêtre effective indice du retard -50 0 50 0 0.5 1 (g) STUSE fenêtre effective indice du retard -50 0 50 0 0.5 1 (h) STUSE

Figure 3.4-II : fenêtres effectives de différentes méthodes à support fixé, M=100. Les fenêtres effectives q[m] sont normalisées par leur maximum q[0]. (a) Welch-WOSA : fenêtre de Hanning,

Lww=M=100, (b) Blackman-Tukey : fenêtre de Hanning, Mbt=M=100, (c) Per-Cor : fenêtres de Hanning, Lpc=Mpc=M=100, (d) Per-Cor : fenêtres de Hanning, Lpc=2Mpc=2M=200, (e) Corrélogramme A-biaisé : fenêtre de Hanning, Mca=M=N, (f) Corrélogramme A-biaisé : fenêtre de Hanning,

Mca=M=N/10, (g) STUSE : fenêtre de Hanning, Lst=78, dec%=15, Q=2, (h) STUSE : fenêtre de Hanning, Lst=51, dec%=25, Q=4.

fenêtre spectrale dB fréquence réduite -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 -100 -50 0 (a) Welch-WOSA, BS = 2,08

fenêtre spectrale dB fréquence réduite

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 -100

-50 0

(b) Blackman-Tukey, BS = 1,33

fenêtre spectrale dB fréquence réduite

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 -100

-50 0

(c) Per-Cor, BS = 2,45

fenêtre spectrale dB fréquence réduite

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 -100

-50 0

(d) Per-Cor, BS = 1,67

fenêtre spectrale dB fréquence réduite

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 -100

-50 0

(e) Corrélogramme A-biaisé, BS = 2,16

fenêtre spectrale dB fréquence réduite

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 -100

-50 0

(f) Corrélogramme A-biaisé, BS = 1,41

fenêtre spectrale dB fréquence réduite

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 -100

-50 0

(g) STUSE, BS = 2,10

fenêtre spectrale dB fréquence réduite

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 -100

-50 0

(h) STUSE, BS = 1,05

Figure 3.4-III : modules des fenêtres spectrales correspondant aux fenêtres effectives de la Figure 3.4-II. L'échelle est en dB et est normalisée par le maximum de la fenêtre spectrale. Les bandes statistiques normalisées par le bin fréquentiel (1/MTe) sont indiquées sous les courbes. La période d'échantillonnage est égale à 1 s.

Comparaison des fenêtres effectives et spectrales de la méthode STUSE avec celles des autres méthodes :

- si la fenêtre quadratique hpc n'est pas rectangulaire :

- lorsque le support non biaisé Mnb de la fenêtre effective est nul (ce qui implique que Q et le décalage sont faibles) : l'allure de la fenêtre spectrale est proche de celle de la fenêtre spectrale obtenue avec la méthode Welch-WOSA pour Lww=Mst (support total de la fenêtre effective) et hww=hst. Cependant il y a apparition de lobes secondaires négatifs et en particulier les deux premiers, plus le décalage et/ou Q

3.4 Analyse horizontale des méthodes

sont grands plus le lobe principal devient faible en largeur de bande comme en surface par rapport au lobe principal de Welch-WOSA, à la place des lobes secondaires positifs et négatifs apparaissent. Si on compare l'enveloppe de ces premiers lobes négatifs, elle correspond approximativement au lobe principal de Welch-WOSA. Les lobes secondaires plus éloignés sont peu modifiés (cf. Figure 3.4-III (a) et (g)). La bande statistique qui était proche de celle de la fenêtre Welch-WOSA, diminue.

- lorsque Mnb devient positif et augmente, l'évolution de la fenêtre spectrale est dans un premier temps identique (toujours pour un support total constant, cf. Figure 3.4-III (a), (g) et (h)). Cependant dès que

Mnb devient supérieur à environ 25% du support total, la fenêtre spectrale tend vers une allure indépendante de la fenêtre quadratique utilisée (cf. paragraphe 3.3.4) avec pour caractéristiques : - une bonne atténuation des lobes secondaires loin du lobe principal,

- un lobe principal faible en largeur de bande comme en surface,

- des premiers lobes secondaires d'amplitude importante, le premier étant négatif, - une bande statistique et une bande à -3dB faibles,

- des fuites d'énergies importantes, mais concentrées dans les premiers lobes secondaires,

- le cas de la fenêtre quadratique rectangulaire a été étudié paragraphe 3.3.4, il ne permet pas

d'obtenir des fenêtres effectives ayant des caractéristiques intéressantes par rapport aux autres méthodes.

Pour la méthode STUSE, l'intérêt principal réside dans la possibilité d'obtenir des fenêtres

effectives avec un support non biaisé Mnb. Dans le cas où Mnb est nul, les fenêtres spectrales offrent des premiers lobes secondaires élevés, certains négatifs, bien que l'atténuation des autres lobes secondaires soit bonne. La surface globale des premiers lobes (en module) est de l'ordre de celle du lobe principal que l'on obtiendrait avec la méthode Welch-WOSA pour un support de fenêtre effective identique ou à bande statistique identique. La variance n'étant pas particulièrement améliorée (cf. paragraphe 3.4.2.1), les fenêtres n'apportent pas d'améliorations sensibles par rapport au cas Welch-WOSA en ce qui concerne l'atténuation des lobes secondaires, la présence de lobes négatifs importants ne facilitant pas l'interprétation des spectres.

Dans le cas où l'on désire obtenir une estimation "non biaisée" avec Mnb>0 (cf. paragraphe 2.5.4) : la méthode ne peut être comparée qu'avec la méthode Blackman-Tukey pour une fenêtre linéaire rectangulaire, seule autre possibilité d'obtenir une fenêtre effective constante sur un certain nombre de points.

Pour une fenêtre linéaire rectangulaire avec la méthode Blackman-Tukey la fenêtre spectrale a, tout comme les fenêtres spectrales de la méthode STUSE, des lobes secondaires négatifs. La fenêtre effective est égale à la fenêtre linéaire, son support "non biaisé" est donc le support total de la fenêtre linéaire. L'intérêt de la méthode STUSE est de permettre d'obtenir un support non biaisé inférieur au support total de la fenêtre effective ce qui se traduit sur la fenêtre spectrale par une meilleure atténuation des lobes secondaires éloignés du lobe principal, au prix d'une élévation des premiers lobes secondaires. Le véritable support de l'autocorrélation n'étant jamais connu de façon précise, il ne peut être qu'estimé, en outre les signaux sont souvent mixtes, constitués de plusieurs signaux de supports de corrélation différents, il est alors difficile de choisir correctement le support de la fenêtre effective qui doit être non biaisé. Les fenêtres spectrales de la méthode STUSE permettent de mieux contrôler l'influence des différentes structures du spectre. Deux structures éloignées fréquentiellement s'influenceront mutuellement moins qu'avec la méthode Blackman-Tukey dont les lobes secondaires éloignés du lobe principal sont plus élevés.

En ce qui concerne la variance de l'estimateur, tout dépend de la bande statistique de la fenêtre spectrale :

- lorsque le support de la fenêtre effective est identique pour les deux fenêtres, ce qui implique que le support non biaisé de la fenêtre effective STUSE est inférieur à celui de la fenêtre effective rectangulaire de Tukey, la bande statistique STUSE est supérieure à celle de Blackman-Tukey, la variance est alors meilleure dans le cas de STUSE.

- lorsque le support non biaisé de la fenêtre effective STUSE est égal au support de la fenêtre rectangulaire Blackman-Tukey, le support total de la fenêtre effective STUSE est alors supérieur à celui de Blackman-Tukey. Plus le support total de la fenêtre effective STUSE est élevé, plus la bande statistique STUSE va diminuer, dès qu'elle sera inférieure à celle de Blackman-Tukey, la variance STUSE sera supérieure. En général, cependant si le support de la fenêtre effective STUSE reste inférieur à deux fois le support non biaisé, la différence de variance entre les deux estimateurs reste limitée.