Les méthodes une passe

La ligne de fond de spectre f(ν) estimée par une méthode dite une passe, est directement la sortie d’un filtrage linéaire. Seule la nature de ce filtre change entre les estimateurs. La non-linéarité est nécessaire pour permettre d’éliminer les perturbations importantes du spectre.

Les paragraphes suivants présentent les différents types de non-linéarité envisagés. filtre non

linéaire ^f(ν)

( )

5.2.2.1. Filtrage morphologique

Le premier choix envisagé de filtre non linéaire est un filtre morphologique. Il s’appuie sur la morphologie des fonctions et est issu d’une technique couramment utilisée en traitement d’image [SER82], [PIE97]. La ligne de fond est alors le résultat d’une ouverture de taille M qui permet d’éliminer toutes les perturbations de taille supérieure à 2M. Une ouverture sur le spectre γˆ , notée O,_x est obtenue comme l’enchaînement d’une érosion de taille M, notée E, et d’une dilatation de même taille, notée D [PRIEUR95-2], [RED89] :

O(γˆ ,M) = D(E(_x γˆ ,M),M)_x (5.2-1)

Une érosion de taille r consiste ici à garder la valeur minimale du spectre dans la fenêtre k-M, k+M : E(γˆ ,M)[k] = min(_x γˆ [k-M] , … , _x γˆ [k-1] , _x γˆ [k] , _x γˆ [k+1] , … , _x γˆ [k+M])_x (5.2-2) et une dilatation de taille r consiste à garder la valeur maximale du spectre dans la fenêtre ν-M, ν+M :

D(γˆ ,M)[k] = max((_x γˆ [k-M] , … , _x γˆ [k-1] , _x γˆ [k] , _x γˆ [k+1] , … , _x γˆ [k+M])) (5.2-3)_x La ligne de fond de spectre obtenue par filtrage morphologique élimine tout pic émergent d’une taille supérieure à 2M. Pour ces pics, la ligne de fond passe au niveau de la largeur du pic égale à 2M. Pour les autres points du spectre, la ligne de fond reste égale au spectre.

Puisque l’on cherche à éliminer des perturbations de l’ordre de la largeur du lobe principal de la fenêtre spectrale B, la taille de l’ouverture doit être choisie de l’ordre de B/2. Pour une fréquence pure, la ligne de fond passe théoriquement au niveau des zéros de la fenêtre spectrale, soit au niveau du bruit additif local (cf. Figure 5.2-III au niveau des fréquences des sinusoïdes, page 164).

Avantage :

La méthode s’appuie sur la nature intrinsèque d’un pic et non sur son voisinage, ce qui implique qu’une fréquence pure pourra être extraite même si les variations du spectre sont importantes dans son voisinage immédiat (cf. Figure 5.2-IV et Figure A 11-II en annexe A-11 qui présente la moyenne de 1000 réalisations de la ligne de fond de spectre estimée).

Inconvénient majeur :

Le problème du filtrage morphologique pour estimer le fond de spectre sur l’ensemble du spectre, est que la ligne de fond passe par tous les minima du spectre. On sous-estime donc régulièrement le fond de spectre. Cependant, pour la détection, on ne s’intéresse qu’aux pics émergents du spectre, c’est à dire aux fréquences des maxima des pics. Or à ces fréquences, le filtrage morphologique peut permettre d’estimer la DSP du bruit seul. Cependant, les pics dus à la variance de l’estimateur sont en général moins larges que B, la ligne de fond de spectre va donc également passer en dessous de ces pics au lieu de passer au milieu de ceux-ci. La DSP vraie du spectre est sous-estimée (cf. Figure 5.2-III, Figure 5.2-IV), ce qui implique une augmentation importante des fausses alarmes dans une opération de détection. En outre, la ligne de fond de spectre est un très mauvais estimateur de la DSP vraie du bruit (cf. Figure A 11-I et A 11-II en annexe A-11). Pour mieux l’estimer, il faut choisir une ouverture de taille inférieure à B/2, par exemple B/4, la DSP vraie est mieux estimée. Par contre, au niveau des fréquences pures, la ligne de fond de spectre passe également au milieu des pics et non à leur pied, surestimant de façon importante la DSP vraie et diminuant considérablement la probabilité de détection. Il ne faut pas oublier qu’il est alors nécessaire d’utiliser du zero-padding, afin d’obtenir suffisamment de points pour chaque pic.

Dans une opération de détection, le filtrage morphologique permet en général de bien détecter les fréquences pures, même dans un fond à variations importantes, mais ceci au prix d’une augmentation très importante des fausses alarmes.

5.2 La ligne de fond de spectre

5.2.2.2. Filtrage médian et percentile

Dans ce paragraphe, le filtre non linéaire envisagé est un filtre médian (passe-bas) qui consiste à faire glisser une fenêtre sur le spectre, en remplaçant l’échantillon central de la fenêtre par la valeur médiane des échantillons de la fenêtre :

f[i] = médiane(γˆ_x

[ ]

où 2M+1 est la taille de la fenêtre [PRIEUR95-2], [JUH91].

La taille de la fenêtre doit être choisie en fonction de la fenêtre spectrale. Pour éliminer l’influence des perturbations dues à une fréquence pure (point 1 du cahier des charges), il est nécessaire de choisir une taille 2M+1>2B, voire même 2M+1>3B au cas où 2 fréquences pures côte-à-côte seraient présentes. La méthode s’appuie sur le voisinage direct de la fréquence d’intérêt. Mais pour rester « local », afin de pouvoir suivre les évolutions du fond de spectre (point 2 du cahier des charges), il est préférable de choisir 2M+1<6B.

Cette méthode répond correctement au cahier des charges pour 3B ≤ 2M+1 ≤ 4B (cf. Figure 5.2-III, Figure 5.2-IV et Figure A 11-I et A 11-II en annexe A-11). En dessous de 3B, la ligne de fond de spectre reste influencée de façon importante par les fréquences pures, surestimant la DSP vraie du bruit non seulement à leur fréquence, mais aussi dans leur voisinage immédiat, surtout lorsque deux fréquences pures sont côte-à-côte. Au-dessus de 4B, il devient difficile de suivre les variations du spectre lorsque le bruit n’est pas blanc.

Avantages :

- Le filtrage médian s’adapte relativement bien à chaque réalisation (cf. Figure 5.2-III et Figure 5.2-IV), la ligne de fond de spectre passe « au milieu des pics » du bruit, et élimine bien l’influence des fréquences pures isolées. Ceci même s’il y en a 2 côte-à-côte. On surestime parfois la DSP vraie du bruit à la fréquence d’une fréquence pure, mais uniquement lorsque celle-ci est d’amplitude importante. Cela ne pose pas de problème majeur lors d’une opération de détection, le rapport entre le maximum du pic et le fond de spectre restant très important (cf. Figure 5.2-III).

- Cette méthode permet un bon suivi des variations du spectre, même relativement brutales (cf. Figure 5.2-IV). Bien entendu le suivi est d’autant meilleur que M est petit.

- La méthode est simple et rapide (il existe des algorithmes rapides ) [JUH91].

Inconvénients :

- Au niveau des fréquences pures, surtout d’amplitude importante, la DSP du bruit de fond peut être surestimée (cf. Figure 5.2-III et Figure A 11-II en annexe A-11).

- La ligne de fond estimée par un filtrage médian a tendance à sous-estimer la DSP vraie du bruit lorsque seuls des pics du bruit sont présents, en particulier lorsque le degré de liberté équivalent de l’estimateur est faible. Ceci se remarque particulièrement lorsque l’on moyenne la ligne de fond de spectre sur plusieurs réalisations. La tendance à sous-estimer se dégage nettement pour un degré de liberté égal à 2 (cf. Figure 5.2-III et Figure A 11-II en annexe A-11). Dans une opération de détection, le nombre de fausses alarmes risque d’être supérieur à celui donné par la théorie et établi à partir de la DSP vraie du bruit.

Pour améliorer ce dernier point, on peut envisager d’utiliser la méthode du percentile, qui est une adaptation du filtre médian. Au lieu de remplacer l’échantillon central de la fenêtre par la valeur médiane des échantillons, on le remplace par la valeur à p% des échantillons. On réarrange les échantillons par ordre croissant, la sortie du filtre percentile est alors la valeur du K^ème échantillon tel que K soit égal à la partie entière de (2M+1)p/100. J.A. Shooter et S.L. Watkins ont montré [SHO77] que pour un degré de liberté équivalent donné, un certain pourcentage p devait être choisi pour assurer une moyenne égale à la DSP vraie du bruit. Le percentile est obtenu par la formule :

( ) ∫ =^rp x x p r 0 d 100 χ^{2 (5.2-5)}

où p ( )x

r²

χ ^{désigne la densité de probabilité de la loi gamma de degré de liberté équivalent r.}

Par exemple pour un degré de liberté équivalent égal à 2, le percentile à choisir est égal à 63%. Pour un degré de liberté équivalent de 16,25, le percentile est égal à 54,7%, donc proche du filtre médian (50%). On adapte le choix du percentile au degré de liberté équivalent obtenu. Il ne faut cependant pas oublier que cette élévation du pourcentage va avoir pour effet de moins bien éliminer l’influence des fréquences pures (cf. Figure A 11-III en annexe A-11), ou alors va obliger à agrandir la taille de la fenêtre au détriment d’un bon suivi du fond. Par ailleurs, sur des portions où le fond est à variations brusques, le suivi du fond sera moins bon.

5.2.2.3. Filtrage tri-trou

Le dernier choix de filtre non linéaire concerne un filtre tri-trou. Le « trou » consiste à ne pas prendre en compte la zone autour de l’échantillon étudié, pour ne calculer la moyenne que sur les échantillons se trouvant dans deux demi-fenêtres autour de cette zone et dans lesquelles on a enlevé les δ% plus grandes valeurs (« tri ») [PRIEUR95-2]. Cette méthode permet par ailleurs d’estimer la variance de l’estimation associée au bruit b, ˆ ²

b γ σ . On obtient : f[i] = ( ₋ )_∑

[ ]

[ ] [ ]

où M est la largeur de chaque demi-fenêtre d’estimation, j∈[i-M-T/2+1,i-T/2]U[i+T/2+1,i+M+T/2-1], zone d’estimation et T largeur du trou centré sur l’échantillon i (cf. Figure 5.2-II).

dsp

indice des points dans la fenetre tri−trou

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

Figure 5.2-II : fenêtre d’estimation du tri-trou, trait en pointillés : partie du spectre dans la zone du trou de taille T=7, en trait continu fin : δ% plus grandes valeurs du spectre dans la zone d’estimation des deux demi-fenêtres de taille respective égale à M=17, trait continu épais : partie du spectre utilisée pour le calcul de la moyenne.

Pourquoi le trou ?

L’utilisation d’un trou autour de la fréquence d’intérêt a pour but de privilégier la détection. En effet, on fait l’hypothèse qu’à cette fréquence, il y a une fréquence pure. On cherche d’office à éliminer son influence en ne prenant pas en compte les points de son voisinage direct. La taille du trou doit donc être de l’ordre de T=B. Il est nécessaire de choisir une taille de trou relativement petite pour que les deux demi-fenêtres ne prennent pas en compte des points trop éloignés de la fréquence d’intérêt, afin de rester local et mieux suivre les évolutions du spectre.

Pourquoi le tri ?

Dans les deux demi-fenêtres d’estimation, il peut bien sûr y avoir des fréquences pures. Puisque les échantillons de plus faible amplitude ont une forte probabilité d’appartenir au bruit (contexte additif), on ne prend pas en compte les points de plus grande amplitude. De même que pour le filtre

5.2 La ligne de fond de spectre

médian, la taille de la fenêtre totale d’estimation 2M doit rester locale (point 2 du cahier des charges), mais permettre l’élimination d’éventuelles fréquences pures. Il est alors préférable de choisir 2B<2M<5B. Pour le pourcentage de tri, il faut s’assurer, suivant la taille de la fenêtre d’estimation, d’éliminer au moins B points. Si le pourcentage est insuffisant et si une fréquence pure est présente dans la fenêtre d’estimation, la DSP vraie du bruit seul sera surestimée. D’un point de vue détection, si par ailleurs la fréquence d’intérêt est au niveau d’un pic du bruit, la conséquence est favorable. Le pic a moins de chance d’être détecté que si aucune fréquence pure n’est présente dans la fenêtre (la probabilité de fausse alarme diminue). Par contre, si la fréquence d’intérêt est au niveau d’une fréquence pure, la probabilité de détection risque de chuter.

Un compromis acceptable peut être obtenu pour une taille de trou égale à B, une taille de fenêtre d’estimation égale à 2M=4B, et un pourcentage de rejet de l’ordre de 20% (cf. Figure 5.2-III, Figure 5.2-IV et Figure A 11-I et A 11-II en annexe A-11), ou pour 2M=3B, et un pourcentage de rejet de l’ordre de 25%, si l’on désire favoriser le suivi du fond. La ligne de fond de spectre passe bien en pied de pic des fréquences pures isolées (cf. Figure 5.2-III), mais commence à se détériorer dans le voisinage des 2 fréquences pures d’amplitude importante côtes à côtes à 0,2 et 0,21 Hz, puisque dans ce voisinage la DSP du bruit est surestimée. Cependant, au niveau même des maxima des fréquences pures, la DSP vraie du bruit est correctement estimée et lors d’une opération de détection ces fréquences seront correctement détectées.

Au niveau des pics du bruit le problème est plus délicat, en particulier au niveau du suivi du fond de spectre (cf. Figure 5.2-IV) et des problèmes de fausse alarme dans une opération de détection. Pour assurer un bon suivi, il faut que la taille de la fenêtre d’estimation reste petite sachant qu’il faut d’office éliminer les points du trou. On observe en outre que la ligne de fond de spectre sous-estime la DSP vraie du bruit. Ceci est logique puisqu’on enlève les δ% plus grandes valeurs, ce qui fausse alors la moyenne s’il n’y a que des pics du bruit dans la fenêtre d’estimation. La ligne de fond de spectre passe au pied des pics du bruit alors que sur la réalisation l’expert la ferait passer au milieu des pics (cf. Figure 5.2-IV (b) entre 0,1 et 0,2 Hz). Dans une opération de détection, le nombre de fausses alarmes risque d’augmenter considérablement. Pour améliorer les résultats, il faut diminuer le pourcentage de rejet, mais c’est alors au niveau de la détection des fréquences pures qu’il y a une nette dégradation. On peut également choisir d’augmenter la taille de la fenêtre d’estimation et de diminuer légèrement le pourcentage de rejet pour obtenir plus de points du bruit dans la fenêtre d’estimation. Mais c’est alors le suivi du fond qui se dégrade. On peut également envisager de ne pas utiliser de trou pour rester le plus local possible, ce qui nécessite d’augmenter le pourcentage de rejet pour éliminer les fréquences pures. Au final les problèmes de sous-estimation de la DSP vraie du bruit ne sont pas résolus. Le choix des paramètres de la méthode du tri-trou est comme on le voit un problème délicat, qui, pour trouver le compromis idéal, doit être adapté au type de signal que l’on analyse. Par contre, la méthode obtient des performances équivalentes quel que soit le degré de liberté équivalent de la loi gamma associée à l’estimateur.

Avantages :

- Au niveau des fréquences pures, le filtrage tri-trou estime correctement ou sous-estime la DSP vraie du bruit seul, ce qui favorise la détection.

- Les performances sont identiques quel que soit le degré de liberté équivalent de l’estimateur. - Le filtrage tri-trou donne une estimation de la variance associée au bruit de l’estimateur.

Inconvénients :

- Le filtrage tri-trou sous-estime la DSP vraie du bruit. Dans une opération de détection, le nombre de fausses alarmes risque alors d’être considérablement supérieur à celui donné par la théorie.

- La méthode ne s’adapte pas bien à chaque réalisation.

- La méthode peut poser des problèmes de surestimation de la DSP vraie du bruit lorsque plusieurs fréquences pures sont proches.

- Dans une situation où le signal est inconnu, les paramètres offrant le meilleur compromis sont difficiles à choisir.

- La méthode est plus complexe et moins rapide que le filtrage médian ou morphologique.

dsp (dB) fréquence (Hz) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -20 -10 0 10 20 30 ^Bf

(a) filtrage morphologique M=B/2=12

dsp (dB) fréquence (Hz) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -20 -10 0 10 20 30 ^Bf (b) filtrage médian 2M+1=4B=97 dsp (dB) fréquence (Hz) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -20 -10 0 10 20 30 ^Bf

(c) filtrage tri-trou M=2B=48, T=25, rejet=20%

Figure 5.2-III : signal 1 (bruit blanc plus sinusoïdes), estimation de la ligne de fond de spectre pour les différentes méthodes une passe (trait épais) comparée à la DSP estimée (trait fin). La DSP vraie du bruit blanc seul est égale à 0 dB (trait en pointillés). Pour les filtrages médian et morphologique, la bande Bf=2M+1 est indiquée par le trait continu placé sous l’indication Bf. Pour le filtrage tri-trou, la taille de la fenêtre d’estimation est indiquée par le trait continu placé sous l’indication Bf, la fenêtre est constituée des deux demi-fenêtres de taille M, séparées d’un trou de taille T.

5.2 La ligne de fond de spectre dsp (dB) fréquence (Hz) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -6 -4 -2 0 2 4 6 Bf

(a) filtrage morphologique M=B/2=12

dsp (dB) fréquence (Hz) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -6 -4 -2 0 2 4 6 Bf (b) filtrage médian 2M+1=4B=97 dsp (dB) fréquence (Hz) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -6 -4 -2 0 2 4 6 Bf

(c) filtrage tri-trou M=2B=48, T=25, rejet=20%

Figure 5.2-IV : signal 2 (bruit coloré), estimation de la ligne de fond de spectre pour les différentes méthodes une passe (trait épais) comparée à la DSP estimée (trait fin) et à la DSP vraie du bruit (trait en pointillés). Pour les filtrages médian et morphologique, la bande Bf=2M+1 est indiquée par le trait continu placé sous l’indication Bf. Pour le filtrage tri-trou, la taille de la fenêtre d’estimation est indiquée par le trait continu placé sous l’indication Bf, la fenêtre est constituée des deux demi-fenêtres de taille M, séparées d’un trou de taille T.

5.2.2.4. Conclusion sur les méthodes une passe

La méthode qui offre le meilleur compromis, tant du point de vue performances que simplicité et facilité du choix des paramètres, est le filtrage médian. Il peut être avantageux d’utiliser les autres méthodes dans le cas où l’on désire privilégier la détection au prix d’une augmentation, qui risque d’être conséquente, des fausses alarmes. Il existe d’autres variations, souvent plus complexes, de ces méthodes une passe, le gain n’étant souvent obtenu que dans des cas particuliers. Le problème est de fixer les paramètres pour un compromis général. Nous citerons cependant la norme A MINIMA [NIC92]. Elle consiste à choisir une fenêtre autour de la fréquence d’intérêt de taille 2M+1, à découper cette fenêtre en P segments adjacents, à prendre le minimum de chaque segment, puis à calculer la moyenne de ces minima et enfin à multiplier cette moyenne par une constante qui dépend de la densité de probabilité du spectre (soit du degré de liberté équivalent de la loi gamma) afin de retrouver la moyenne correcte. Cette méthode est à rapprocher de la méthode du percentile, mais est rendue plus complexe par le choix des deux tailles de fenêtres et du coefficient multiplicateur. Elle permet cependant de mieux éliminer l’influence des fréquences pures.