Fonctions homographiques et ping-pong

Licence 1, 20052006 Approfondissement en Mathématiques R. Vergnioux

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Fonctions homographiques et ping-pong

On noteSL(2,Z) l'ensemble des matrices A= ^a_c^b_d

à coecients entiers telles quead−bc= 1, et on dénit la fonction homographiqueh_Aassociée à A en posant, pourz∈C:

hA(z) = az+b cz+d.

L'objectif des deux premiers exercices est d'établir quelques propriétés géométriques des fonctions homographiques. On considère au deuxième exercice les disques et les demi-plans ouverts suivant :

D_k = {z∈C | |z−_2k¹|< _2k¹ } et H_k = {z∈C| Re(z)> k}, D⁰ = {z∈C | |z|<1} et H⁰ = {z∈C| |Re(z)|>1}.

Rappelons qu'on appelle antécédent de y par une fonctionf tout élément xtel que f(x) =y.

Exercice 1. On xe une matriceA= ^a_cd^b

dansSL(2,Z), et un nombre complexe w. a. Montrer que les coecientsc etdne peuvent être tous deux nuls.

b. Quel est le domaine de dénition deh_A? (On distinguera deux cas.)

c. On supposec6= 0. Combien d'antécédents wa-t-il par h_A? (On distinguera deux cas.) Exercice 2. On considère le cas oùA est triangulaire inférieure, c'est-à-direA= ¹_k⁰₁

avec k∈Z.

a. Montrer qu'on a|2k h_A(z)−1|<1 sik >0et Re(z)>0.

(On évitera de mettrez sous forme cartésienne ou trigonométrique.) b. En déduire queh_A envoie H₀ dansD_k si kest strictement positif.

c. Montrer qu'on a|h_A(z)|<1si |k| ≥2et |z|>1. (On pourra utiliser une inégalité triangulaire.) d. En déduire queh_A envoie H⁰ dansD⁰ si|k| ≥2.

e. Vérier par ailleurs que siA= ¹₀^k₁

avec |k| ≥2, l'applicationhA envoieD⁰ dansH⁰.

Rappelons que la composée f ◦g de deux fonctions f et g est dénie par(f ◦g)(x) =f(g(x)), lorsque cela est possible. L'objectif du prochain exercice est de montrer que la composition des fonctions homographiques correspond à la multiplication des matrices. On noteI = ¹₀⁰₁

Précision facultative. Lorsqu'on compose des fonctions homographiques, on est confronté à des. problèmes de domaine de dénition. Pour remédier à cela, on rajoute un point abstrait ∞ àCen posantC˜ =C∪ {∞}. On étend ensuiteh_A à C˜ en posant, sic6= 0, ˜h_A(−d/c) =∞ et˜h_A(∞) =a/c, et si c= 0, ˜hA(∞) =∞. On obtient ainsi une fonction˜hA: ˜C→C˜ dénie sur C˜ entier.

Exercice 3. SoitA= ^a_cd^b

et A⁰ = ^a_c0⁰b⁰ d⁰

deux matrices de SL(2,Z).

a. Exprimer les coecients du produitA⁰Aen fonction de ceux deA et A⁰. b. Vérier queA⁰Aest un élément de SL(2,Z).

c. Vérier queA admet _−c^{d −b}_a

comme inverse.

d. Lorsque la quantitéh_A⁰(h_A(z))est dénie, l'exprimer comme quotient de deux polynômes enz. e. En déduire queh_A⁰◦h_A=h_A⁰_A.

(Pour être vraiment correct il faut écrire cette égalité avec les fonctions˜h.)

Pour le dernier exercice, on xe deux matrices de SL(2,Z) : A = ¹₂⁰₁

etB = ¹₀²₁

. On veut montrer qu'on ne peut jamais avoir d'identité du type

A^k1B^l1A^k2B^l2A^k3· · ·B^lp−1A^kp=I (∗) où les puissancesk₁,l₁, . . . ,lp−1,k_p sont des entiers relatifs non nuls (sauf éventuellement le premier et le dernier). On dit alors que les matricesA etB sont libres dansSL(2,Z). Pour cela on utilise les résultats géométriques du deuxième exercice. Rappelons qu'on noteZ^∗ l'ensemble des entiers relatifs non nuls.

Exercice 4. (Facultatif) On prendA= ¹₂⁰₁

etB = ¹₀²₁ . a. CalculerA² et A³. Deviner une formule générale pourAⁿ.

b. Démontrer la formule de la question précédente par récurrence surn∈N.

(On utilisera en particulier l'identitéAⁿ⁺¹ =AAⁿ.) c. Montrer que la formule est également valable pourn <0.

(On utilisera la formuleA⁻ⁿ= (Aⁿ)⁻¹ et le résultat de la question 3c).

d. En remarquant queB est la transposée deA, donner une formule pourBⁿ.

e. Montrer à l'aide des questions 2d et 2e qu'on ah_A^k(H⁰)⊂D⁰ eth_B^k(D⁰)⊂H⁰ pour toutk∈Z^∗. f. En déduire que h_Ak◦h_Bl◦hA^m(H⁰)⊂D⁰ pour tous k, l, m∈Z^∗. Peut-on avoir A^kB^lA^m=I?

Avec exactement le même raisonnement, on montre qu'on ne peut pas avoir d'identité du type (∗) avec des produits de longueur arbitraire commençant et nissant par une puissance non nulle de A. Pour les produits qui commencent par une puissance non nulle deAet nissent par une puissance non nulle deB, il faut une petite astuce supplémentaire. Considérons par exempleC =A^kB^lA^mBⁿ aveck, l, m, n∈Z^∗, et écrivonsn=n₁+n₂ avec n₁, n₂ ∈Z^∗. En multipliant à gauche parBⁿ² et à droite parB⁻ⁿ² on a :

C=I ⇐⇒Bⁿ²CB⁻ⁿ² =Bⁿ²B⁻ⁿ² ⇐⇒Bⁿ²A^kB^lA^mBⁿ¹⁺ⁿ²B⁻ⁿ² =I

⇐⇒Bⁿ²A^kB^lA^mBⁿ¹ =I.

Mais à nouveau, cela est impossible car le membre de gauche envoie D⁰ dans H⁰. En eet Bⁿ¹ envoie D⁰ dans H⁰, qui est envoyé par A^m dans D⁰, que B^l envoie à nouveau dans H⁰, qui est à nouveau envoyé parA^k dansD⁰, queBⁿ² envoie nalement dans H⁰. Autrement dit,A etB jouent au ping-pong ...