Université Sidi Mohammed Benabdellah Année universitaire 2017-2018 Facultédes Sciences Dhar El Mehraz
Département de Mathématiques
Module : Algèbre 2 SMA-SMI
Devoir 1
Exercice 0.1 Soit G un groupe multiplicatif tel que : ∀x ∈ G, x2 = e (e est l'élément neutre). Montrer
que G est abélien.
Exercice 0.2 Soit E un ensemble ni muni d'une loi de composition interne ∗ associative et telle que tous les éléments de E soient réguliers. Montrer que (E, ∗) est un groupe.
Exercice 0.3 Soit (G, ∗) un groupe d'élément neutre e.
1. Soit ϕ l'application de G dans G qui à tout élément g ∈ G associe son inverse g−1.
2. Prouver que ϕ est un homomorphisme de groupe si et seulement si G est abélien.
3. Soit x un élément d'ordre ni de G. Justi er que la partie {e, x, x2, ..., xm−1} est un sous-groupe
de G.
4. On suppose maintenant que est ni, de cardinal impair . En utilisant le théorème de Lagrange, prouver que l'application ψ qui à g associe g2 est surjective.
5. Donner une condition simple assurant que ψ est un homomorphisme de G vers G.
Exercice 0.4 1. Soit G un groupe de cardinal pair. Montrer qu'il existe un élément d'ordre 2. 2. Soit G un groupe de cardinal impair. Montrer que ∀x ∈ G, ∃!y ∈ G, x = y2
Exercice 0.5 Soit n ∈ N? et G = Z
nZ. Soit k ∈ Z et d = k ∧ n.
1. Déterminer l'ordre de k dans G.
2. Montrer que k et d engendrent le même sous-groupe de G. .
3. En déduire que pour tout diviseur d de n, il existe un unique sous-groupe d'ordre d. 4. Quels sont tous les sous-groupes de G ?
Exercice 0.6 Soient n ≥ 2 et k ≥ 1. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. k est un générateuér de Z
nZ
2. k est inversible dans Z nZ
3. n et k sont premier entre eux.
Exercice 0.7 Soit p un nombre premier et G un groupe de cardinal p. 1. Montrer que G est cyclique.
2. En déduire que tous les groupes de cardinal p sont isomorphes. Exercice 0.8 Soit G un groupe.
1. Montrer que si G est pair, alors G possède un élément d'ordre 2. (Considérer l'ensemble E = {x ∈ G/x 6= x−1}.
2. Soit G un groupe non cyclique d'ordre 6 et a un élément de G d'ordre 2.
a) Montrer que si b ∈ G : o(b) = 2 et ab = ba, alors b = a (Ind : considérer le sous-groupe < a, b >).
b) Montrer que G possède un élément d'ordre 3. (Ind. soit b ∈ G − {a, b}. Montrer que si o(b) = 2 alors o(ab) = 3 ).
c) Dans la suite, on note c cet élément.
Montrer que ac = ca et que G = {e, a, c, c2, ac, ac2}.
En déduire que ca = ac2 et que G ' S 3
Exercice 0.9 Soit G =< a > un groupe cyclique d'ordre n. 1. Montrer que tout sous-groupe de G est cyclique.
2
2. Soit H 6= eG un sous-groupe de G et m le plus petit entier strictement positif tel que am ∈ H.
Montrer que m|n et que |H| = n m.
3. Montrer que si d ∈ N est tel que d|n, alors G possède un unique sous-groupe d'ordre d. 4. Déterminer le sous-groupe de Z
104Z d'ordre 4.
Exercice 0.10 Soient n, d ∈ N?, G un groupe abélien d'ordre n noté multiplicativement et f : G //G, x //xd.
1. Montrer que f est un endomorphisme de G.
2. Montrer que si n ∧ d = 1, alors f est un automorphisme de G. 3. En déduire que si n est impair, alors tout élément de G est un carré.
Exercice 0.11 Soient G un groupe et Z(G) = {x ∈ G/x ∗ y = y ∗ x∀y ∈ G} le centre de G. Montrer que G/Z(G) est monogène si et seulement si G est abélien.
Exercice 0.12 Soit p un nombre premier.
1. Soit G un groupe d'ordre p. Montrer que G est cyclique, engendré par n'importe leque de ses éléments.
2. Soient G un groupe, H1 et H2 deux sous-groupes de G, d'ordre p. Montrer que soit H1∩ H2= e,
soit H1= H2.
