Problèmes matriciels

Problèmes matriciels

Exercice 1. I+a(X^tY −Y^tX)inversible ?

Soient X, Y ∈ Mn,1(R) indépendantes,a∈Ret M la matricen×ntelle quemij =xiyj−xjyi. A quelle conditionI+aM est-elle inversible ?

Exercice 2. Matrice orthogonale pour une forme(p, q) SoitJ =_I

n 0

0 −I_p

etM =_{A B}

C D

telle que ^tM J M =J. Montrer queAet D sont inversibles.

Exercice 3. Calcul d’inverse SoitA=





a −b −c −d

b a d −c

c −d a b

d c −b a



∈ M4(R), aveca, b, c, d non tous nuls.

Démontrer queAest inversible et calculerA⁻¹. Exercice 4. Matrices normales

SoitA∈ Mn(C) de valeurs propresλ1, . . . , λn. Montrer queAA^∗=A^∗A⇔tr(AA^∗) =|λ1|²+. . .+|λn|². Exercice 5. Dérivée d’une orthogonale

SoitS, matrice orthogonale d’ordre impair, de coefficients fonction detdérivables. Montrer que dS dt n’est pas inversible.

Exercice 6. Matrice orthogonale ?

Déterminera, b, c, réels non nuls pour que la matriceM =−²₃

−1/2 a/c a/b c/a −1/2 c/a b/a a/c −1/2

!

soit la matrice d’une isométrie.

Exercice 7. Noyaux deAet ^tA

SoitA∈ Mn(R) telle que pour toutX ∈ Mn,1(R) on a tr(^tXAX)>0. Comparer les noyaux deAet^tA.

Exercice 8. Matrice orthogonale ?

1) Peut-on définir surR²une structure euclidienne telle que l’endomorphismef dont la matrice dans la base canonique estM = _{1 1}

−3 −2

soit une rotation ? 2) Généraliser à une matriceM ∈ M2(R) quelconque.

3) Généraliser à une matriceM ∈ Mn(R) quelconque.

Exercice 9. Valeurs propres d’une matrice complexe

Soit M ∈ M_n(C) et λ∈ sp(M). Montrer que <(λ) est compris entre la plus grande et la plus petite valeur propre de ¹₂(M +M^∗).

Exercice 10. Centrale MP 2001

1) Montrer que toute matrice symétrique réelle positive a ses coefficients diagonaux positifs. Montrer

Exercice 12. Centrale MP 2001

1) PourM ∈GLn(R) montrer l’existence de deux matrices orthogonalesU etV telles que^tU M V soit diagonale.

2) Même question pourM ∈ Mn(R).

3) DéterminerU et V pourM =

0 1 1

−1 0 1

−1 −1 0

! . Exercice 13. X MP^∗2001

SoitA∈ M_n(R) telle queA²=−I_n. 1) Montrer quenest pair.

2) Montrer queAest semblable àA⁰ = _{0 −I}

n/2 I_n/2 0

.

3) On supposeA∈ O(n). Montrer queA est semblable à la matriceA⁰ précédente avec une matrice de passage orthogonale.

Exercice 14. X MP^∗2001

SoientAetB deux matrices hermitiennes etC=A+B. On notea1>a2>. . .>anles valeurs propres de la première, b1 > b2 > . . . > bn celles de la deuxième, c1 > c2 > . . . > cn celles de la troisième.

Montrez que pour toution aci>ai+bn. Indication : se ramener au casbn= 0.

Exercice 15. Centrale MP 2002

Soientn∈N^∗,Sn(R) l’espace des matricesn×nsymétriques à coefficients réels,S_n⁺(R) le sous-ensemble des matrices positives, S_n⁺⁺(R) le sous-ensemble des matrices définies positives et ϕ ∈ L(Sn(R)). On suppose queϕ(S_n⁺⁺(R)) =S_n⁺⁺(R).

1) Montrer que : ∀M ∈S_n(R),∃A∈R⁺ tq∀λ > A,M+λI_n ∈S_n⁺⁺(R).

2) Montrer queϕ∈GL(S_n(R)) et queϕ(S_n⁺(R)) =S_n⁺(R).

3) On supposen= 2 etϕ(I₂) =I₂. Montrer que : ∀M ∈S₂(R),χ_ϕ(M)=χ_M. Montrer que det(ϕ(M)) = det(M) (i.e. ϕconserve le déterminant).

Exercice 16. Mines MP 2002

Déterminer{M ∈ Mn(R) tqM(^tM M)²=In}.

matrices.tex – page 2

solutions

Exercice 1.

M =X^tY −Y ^tX. Soit Z ∈ Mn,1(R) tq (I+aM)Z = 0. Donc Z ∈vect(X, Y) : Z =λX+µY. On remplace : (1−a^tY X)λ−a^tY Y µ=a^tXXλ+ (1 +a^tY X)µ= 0.

CNS ⇔a²(^tXX^tY Y −(^tXY)²) + 16= 0.

Exercice 2.

On a ^tAA−^tCC =In. SoitX tel queAX= 0. Donc^tXX=−^t(CX)(CX), doncX= 0.

Exercice 3.

A^tA= (a²+b²+c²+d²)I.

Exercice 4.

TrigonaliserAdans une base orthonormée.

Exercice 6.

a=b=±c.

Exercice 7.

Ils sont égaux (décomposerA en symétrique + antisymétrique).

Exercice 8.

1) sp(M) ={j, j²} ⇒on prend comme base orthonormalea=₁

0

etb=^√1

3(2f(a) +a) = ^√₃

−2√ 3

. 2) M est une matrice de rotation ssi sp(M)⊂U\ {±1}ouM =±I.

3) M est la matrice d’une application orthogonale ssi sp(M)⊂UetM estC-diagonalisable (alorsM est R-semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs sont des matrices de rotation).

Exercice 10.

1) Inégalité de Cauchy-Schwarz.

2) Il existeP orthogonale de même taille queA telle queD=^tP AP est diagonale positive.

AlorstP 0 0 I

U_{P 0}

0 I

= _D tP C

tCP B

est symétrique positive donc sidii = 0 alors la ligneide^tP C est nulle. Ainsi tP 0

0 I

U⁰_{P 0}

0 I

= _D tP C

0 0

est, après renumérotation éventuelle des lignes et colonnes, de la formeU⁰⁰=_D0 C⁰

0 0

oùD⁰ est diagonale inversible etU⁰ est semblable àU⁰⁰. Enfin U⁰⁰ est diagonalisable : _{I D}0−1C⁰

0 I

U⁰⁰_{I −D}0−1C⁰

0 I

=_D0 0

0 0

. Exercice 11.

Transformer une base de trigonalisation deA par l’algorithme de Schmidt.

Exercice 12.

1) Si ^tU M V = D est diagonale alors ^tM M = V D^2tV. Inversement, comme ^tM M est symétrique définie positive, il existeDdiagonale inversible etV orthogonale telles que^tM M=V D^2tV. On pose M =U D^tV ce qui définit U puisque D^tV est inversible et on a V D^2tV =^tM M =V D^tU U D^tV d’où^tU U =I.

2) M est limite de matrices M_k inversibles que l’on peut décomposer sous la forme M_k = U_kD_k^tV_k avec U_k, V_k orthogonales et D_k diagonale. Comme O(n) est compact on peut supposer, quitte à extraire des sous-suites, que les suites (Uk) et (Vk) convergent vers des matrices U, V orthogonales d’où^tU M V = lim_k→∞^tUkMkVk= lim_k→∞Dk =D diagonale.

3) En diagonalisant ^tM M on trouve V =





√1 2

√1 6

√1 3 0 ^√2

6 −√¹ 3

−√¹ 2

√1 6

√1 3



, D =

√3 0 0

0 √

3 0

0 0 0

!

. Comme D n’est pas inversible il faut ruser pour trouverU. On donne des coefficients indéterminés àU et on écrit que

tU M V =D ce qui donneU =

a b+√

2 c

−a−√³

6 −b−√¹

2 −c

a b c

!

aveca, b, c∈R. On choisit alors a, b, cde

sorte queU ∈ O(3) d’où, par exemple,c=^√1

3,a=−^√1₆,b=−^√1₂ et U =





−^√1 6

√1 2

√1 3

√2

6 0 −√¹

3

−√¹ 6 −√¹

2

√1 3



.

Exercice 13.

1) det(A)²= (−1)ⁿ.

2) AestC-diagonalisable (annulateur simple) et ses valeurs propres sonti,−iavec la même multiplicité (Aest réelle). La matriceA⁰donnée a les mêmes propriétés doncAetA⁰sontC-semblables à la même matrice diagonale, et doncC-semblables l’une à l’autre. Comme laC-similitude entre matrices réelles est équivalente à laR-similitude (résultat bien connu),Aet A⁰ sontR-semblables.

3) Soite1 unitaire ete⁰₁=Ae1. Alors e⁰₁est unitaire et Ae⁰₁=−e1 d’où (e1|e⁰₁) = (Ae1|Ae⁰₁) =−(e1|e⁰₁) = 0

donc (e1, e⁰₁) est une famille orthonormale. Si F1 est le sev engendré par (e1, e⁰₁) alors F₁^⊥ est stable parA donc on peut construire par récurrence une base orthonormale (e1, . . . , e_n/2, e⁰₁, . . . , e⁰_n/2) telle queAei =e⁰_i et Ae⁰_i=−ei.

Exercice 14.

On remplace A parA+bnI et B parB−bnI ce qui ne modifie pas C. Maintenant les valeurs propres de B sont positves donc pour tout x ∈ Cⁿ on a (Ax | x) 6 (Cx | x). Soit (x1, . . . , xn) une base orthonormale propre pourAet (y1, . . . , yn) une base orthonormale propre pourC. Siz∈vect(x1, . . . , xi) alors (Az |z)>aikzk² et siz ∈vect(yi, . . . , yn) alors (Az |z)6(Cz |z)6cikzk². Or vect(x1, . . . , xi) et vect(y_i, . . . , y_n) ont une intersection non triviale (la somme des dimensions est égale à n+ 1) donc il existez6= 0 tel quea_ikzk²6c_ikzk²d’où a_i 6c_i.

matrices.tex – page 4

Exercice 15.

1) PrendreAsupérieur ou égal à la plus petite des valeurs propres de−M.

2) Surjectivité deϕ: Imϕest un sev deS_n(R) contenantS_n⁺⁺(R) donc contenant vect(S_n⁺⁺(R)) =S_n(R) d’après la question précédente. On en déduit queϕest un isomorphisme grâce au théorème du rang.

SiM ∈S⁺_n(R) alorsM = limp→∞(M+In/p) doncM ∈Sn⁺⁺(R).

Réciproquement, siM ∈Sn⁺⁺(R) alors M = lim_p→∞(M_p) avec M_p définie positive, donc pour tout x ∈ Rⁿ on a ^txM x = lim_p→∞(^txM_px) > 0, c’est-à-dire M ∈ S_n⁺(R). Ainsi : Sn⁺⁺(R) = S_n⁺(R).

Commeϕ est continue (car linéaire en dimension finie) on en déduit ϕ(S⁺_n(R))⊂S⁺_n(R). De plus, ϕ(S_n⁺⁺(R)) =S_n⁺⁺(R) soit S_n⁺⁺(R) = ϕ⁻¹(S⁺⁺_n (R)). Comme ϕ⁻¹ est une application linéaire con- tinue : ϕ⁻¹(S_n⁺(R))⊂S_n⁺(R), d’où S_n⁺(R)⊂ϕ(S⁺_n(R)).

3) SoitM ∈S2(R) de valeurs propresa, baveca6b, et soienta⁰6b⁰ les valeurs propres deϕ(M). Pour tout λ >−b on a M +λI2 ∈ S₂⁺⁺(R) donc ϕ(M) +λI2 ∈S⁺⁺₂ (R) c’est-à-dire λ > b⁰. Ceci prouve queb⁰ 6b et on montre l’égalité en considérant ϕ⁻¹. De même, en considérant−M on montre que a⁰ =a. FinalementχM = (X−a)(X−b) =χϕ(M). De plus, det(M) =ab= det(ϕ(M)).

Remarque : soient A= _{1 0}

0 0

, B =_{0 0}

0 1

, C = _{0 1}

1 0

, et A⁰ =ϕ(A), B⁰ =ϕ(B), C⁰ =ϕ(C).

On sait queA⁰ est orthodiagonalisable avec pour valeurs propres 0 et 1, donc il existeP ∈ O(2) telle que A⁰ = ^tP AP. A⁰+B⁰ = ϕ(I₂) = I₂ d’où B⁰ = I₂−A⁰ = ^tP BP. Posons C⁰ = ^tP_{u v}

v w

P. 0 = tr(C) = tr(C⁰) =u+w et −1 = det(C) = det(C⁰) =uw−v² doncw=−uet u²+v²= 1. De plus,−1 = det(A+C) =−u−u²−v²d’oùu= 0 etv=±1.

Si v = 1 alors C⁰ =^tP CP et par linéarité, ϕ(M) =^tP M P pour toute M ∈S2(R). Si v =−1 on trouve de mêmeϕ(M) =^tQM QavecQ=P_{1 0}

0 −1

∈ O(2). Réciproquement, toute application de la formeM 7→^tP M P avecP ∈ O(2) vérifie les hypothèses de la question. Les fonctions ϕlinéaires vérifiant la seule conditionϕ(S₂⁺⁺(R)) = S₂⁺⁺(R) sont les fonctions de la forme M 7→^tP M P avec P∈GL2(R) (écrireϕ(I2) =^tT T puis considérerM 7→^tT⁻¹ϕ(M)T⁻¹).

Généralisation en dimension quelconque ? Exercice 16.

M = (^tM M)⁻²est symétrique définie positive, donc diagonalisable en base orthonormale. En examinant la forme diagonale on trouve M =I.