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MATHS

Nom : Prénom : Classe :

Leçons - 3e

1. Révisions

2. Puissances d'un nombre 3. Equations

4. Trigonométrie 5. Arithmétique 6. Théorème de Thalès

7. Développer une expression littérale 8. Statistiques

9. Agrandissement - réduction 10. Factoriser une expression littérale 11. Notions de fonction

12. Repérages dans le plan et dans l'espace 13. Fonctions affines et fonctions linéaires 14. Probabilités

15. Transformations du plan 16. Algorithmique et programmation

M. SEGALAT

• Pour ajouter des nombres relatifs, on peut s'aider d'un schéma (les ronds blancs représentent les nombres positifs et les ronds noirs, les négatifs). Un binôme blanc/noir est égal à zéro.

Par exemple : – 2 + 3 se représente comme ceci :

• Pour multiplier ou diviser des relatifs, on s'occupe d'abord de chercher le signe en utilisant la règle des signes :

– un nombre pair de facteurs négatifs donne un résultat + ; – un nombre impair de facteurs négatifs donne un résultat –.

Par exemple : (+9) × (-7) = (-63) (-8) × (-6) = (+48)

• Fractions égales (utilisé pour réduire au même dénominateur) a

b = a× c

b × c (b et c ≠ 0).

• Addition et soustraction : Les deux fractions doivent absolument être au même dénominateur.

3

4 – ¹

3 = ^3×3

4×3 – ^1×4

3×4 = ⁹ 12 – ⁴

12 = ⁵

12 (12 est le premier multiple qui soit commun à 4 et à 3)

• Multiplication : On décompose les numérateur et dénominateur avant de multiplier.

4

21 × –3

18 = – 2×2×3

3×7×2×3×3 = – 2 63

• Division : Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse.

5 3 ÷ ²

7 = ⁵ 3 × ⁷

2 = ^5×7

3×2 = ³⁵ 6

Fractions

1

2

Relatifs

Pourcentages

3

• Appliquer un pourcentage : On multiplie le pourcentage par la quantité.

Par exemple :

40 % de 36 = 0,4 × 36 = 14,4

• Déterminer un pourcentage : On calcule le quotient ^effectif effectif total . Par exemple :

Dans un établissement scolaire, il y a 315 filles et 205 garçons.

Calculer le pourcentage de filles de cet établissement.

315

315+205 = 315

520 ≈ 0,61 ≈ 61 %

On peut aussi faire un tableau de proportionnalité :

Proportionnalité -

Vitesse 4

• Graphiquement : des grandeurs proportionnelles sont représentées par des points alignés avec l'origine du repère.

• Dans un tableau : des grandeurs sont proportionnelles si les quotients de toutes les colonnes sont égaux.

• Pour calculer un quatrième proportionnelle : Penser aux produits en croix !

a c

b

x ?

• V = ^D

T En utilisant les produits en croix, on trouve aussi: D = V×T et T = ^D V Attention, il faut que les unités soient cohérentes !

Par exemple, pour avoir une vitesse en km/h, il faut diviser une distance en km par un temps en heures décimales (sous forme d’un nombre décimal).

Conversions d’unités 5

• Unités  d’aires : 2 colonnes par unités ! Exemple : 10,5 m² = 1 050 dm²

• Unités  de volumes : 3 colonnes par unités ! Exemple : 15 dm³ = 0,015 m³

• Lien avec les unités de contenance : 1 L = 1 dm³         ou 1 m³ = 1 000 L

Formulaire

6

• Périmètres et aires :

• Volumes :

Puissances Cycle 4 - 3

Nombres et calculs Cours

I — Puissances de 10

Définition 1 : Soit n un nombre entier positif. Le produit de n facteurs égaux à 10 est noté 10ⁿ. 10ⁿ est alors appelée une puissance de 10 et se lit10 exposant n.

10ⁿ = 10| ×10×{z. . .×10}

nfacteurs égaux à10

= 1 0| {z }. . .0

nzéros

.

• 10⁴ = 10 000

• 10² = 100 Propriété 1 :

• 10¹ = 10

• 10⁰ = 1

• 10² se lit dix au carré

• 10³ se lit dix au cube

Définition 2 : Soit n un nombre entier positif.

10⁻ⁿ= 1

10ⁿ = 0,0| {z }. . .01

nchiffres

= 0,0. . .0

| {z }

nzéros

1

• 10⁻² = 0,01

• 10⁻⁵ = 0,00001

Propriété 2 : Soient m et n deux nombres entiers relatifs :

• 10^m×10ⁿ= 10^m+n • 10^m

10ⁿ = 10^m−n • (10^m)ⁿ= 10^m×n

• 10³×10⁵ = 10³⁺⁵= 10⁸

• (10³)⁻² = 10^3×(−2) = 10⁻⁶

• 10³

10⁴ = 10³⁻⁴ = 10⁻¹

Attention : 10³

10⁻⁴ = 10³⁻⁽⁻⁴⁾ = 10³⁺⁴ = 10⁷

II — Préfixes

Définition 3 :Pour nommer plus rapidement certains puissances de 10, on leur a donné des noms :

• 10⁹ se lit un giga et se note 1 G.

• 10⁶ se lit un méga et se note 1 M.

• 10³ se lit un kilo et se note 1 k.

• 10⁻³ se lit unmilli et se note 1 m.

• 10⁻⁶ se lit unmicro et se note 1 µ.

• 10⁻⁹ se lit unnano et se note 1 n.

• 1 Go = 10⁹ octets.

• 1 µm= 10⁻⁶ m = 10⁻³ mm.

III — Écriture scientifique

Définition 4 :La notation scientifique d’un nombre décimal est de la forme a×10ⁿ

où

• a est un nombre décimal tel que 1≤a <10;

• n est un nombre entier relatif.

• L’écriture scientifique de 362,4 est3,624×10².

• L’écriture scientifique de 0,018 est1,8×10⁻².

IV — Puissances d’un nombre

Définition 5 : Soit a un nombre relatif et n un nombre entier positif.

aⁿ = a|×. . .{z ×a}

nfacteurs égaux

On dit alors qu’on a une puissance de a et aⁿ se lit a exposant n.

• 2⁴ = 2×2×2×2 = 16

• (−3)² = (−3)×(−3) = 9

• a⁻ⁿ= 1 aⁿ

• a^m×aⁿ=a^m+n

• a^m

aⁿ =a^m−n aveca̸= 0

• (a^m)ⁿ =a^m×n

• a¹ =a

• a⁰ = 1

• aⁿ×bⁿ = (a×b)ⁿ

• aⁿ bⁿ =

a

b n

avec b̸= 0

• 2⁴×3⁴ = (2×3)⁴ = 6⁴.

• 6⁴ 3⁴ =

Å6 3

ã4

= 2⁴

• (−5)⁴×(−5)⁻² = (−5)⁴⁻² = (−5)².

V — Utilisation de la calculatrice

Avec la calculatrice 1 :

• Pour calculer 10⁴ on tape 10^4

• Pour calculer 10⁻⁶ on tape 10^p6

• Pour calculer 5⁷ on tape 5^7

• Pour calculer (−2)⁻⁶ on tape (p2)^p6

Exercice 1 : Donner l’écriture scientifique deA= 2⁴ ×10³×(−3)² ×10⁻⁶ 8×(10³)² . Correction

A= 2⁴×10³×(−3)²×10⁻⁶ 8×(10³)²

= 2⁴×(−3)²

8 × 10³×10⁻⁶ (10³)²

= 16×9

8 × 10⁻³ 10⁶

= 2×8×9

8 ×10⁻³⁶

= 18×10⁻⁹

= 1,8×10¹×10⁻⁹

= 1,8×10⁻⁸

Équations

Cycle 4 - 3

Nombres et calculs Cours

I — Définitions

Définition 6 : Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques (appelés membres de gauche et de droite de l’équation) dont l’une au moins est littérale.

Définition 7 : Une équation du premier degré à une inconnue est une équation dont les membres développés et réduits ne comportent qu’une inconnue d’exposant 1.

• 3x+ 2 = 5 est une équation du premier degré d’inconnue x.

• 4 = 5−t est une équation du premier degré d’inconnue t.

Définition 8 : Une équation du second degré à une inconnue est une équation dont les membres développés et réduits ne comportent qu’une inconnue d’exposant 2.

• 5x²−3x+ 2 = 0 est une équation du second degré d’inconnuex.

• x² = 9 est une équation du second degré d’inconnuex.

II — Résolution

Définition 9 : Résoudre une équation du premier degré à une inconnue revient à trouver la valeur qui vérifie l’égalité proposée. Cette valeur est appelée solution de l’équation.

• x= 3 est solution de l’équation 2x+ 5 = 11 car 2×3 + 5 = 11.

• textcolorredCertaines équations n’admettent aucune solution et d’autres en admettent une infinité.

Propriété 4 : Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on utilise les propriétés suivantes :

• Si on additionne ou soustrait un même nombre aux deux membres d’une équation, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions.

• Si on multiplie ou divise par un même nombre non nul les deux membres d’une équation, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions.

x+ 2 = 3 x+ 2−2= 3−2

x= 1

x−2 = 3 x−2+2 = 3+2

x= 5

2x= 3 2x

2 = 3 2 x= 3 2

x 2 = 3 x

2×2= 3×2 x= 6

Propriété 5 : Les solutions d’une équation du second degré à une inconnue du type du type x² =a (où a est un nombre relatif) dépendent de la valeur dea :

• si a <0, il n’y a pas de solutions ;

• si a= 0, il y a une seule solution x= 0;

• si a >0, il y a deux solutions :x=√

a et x=−√ a.

• L’équation x² =−9n’a aucun solution.

• L’équation x² = 0 a une solution x= 0.

• L’équation x² = 9 a deux solutions : x=√

9 = 3 et x=−√

9 = −3.

Exercice 2 : Résoudre l’équation7x−3 = 2x+ 6.

Correction

7x−3 = 2x+ 6

7x−3−2x= 6 on fait passer lesx du même coté

5x−3 = 6 on réduit l’expression

5x= 6 + 3 on isole le terme en x

5x= 9 on réduit l’expression

x= 9

5 on détermine la valeur dex

La solution de l’équation 7x−3 = 2x+ 6 est doncx= 9/5. Donc S = ß9

5

™ .

III — Problème

Définition 10 : Mettre en équation un problème, c’est traduire son énoncé par une égalité mathématique.

Méthode 1 : Pour résoudre un problème,

• on définit la lettre de la quantité qu’on cherche (souvent x),

• on écrit l’équation correspondant au problème,

• on résout cette équation,

• on écrit une phrase-réponse indiquant la solution du problème.

Exercice 3 : Quel est le nombre dont le triple augmenté de4 est égal à 19? Correction

Notons x ce nombre (on définit tout d’abord ce qu’on cherche).

On doit résoudre3x+ 4 = 19 (on met le problème en équation).

3x+ 4 = 19 3x= 19−4 3x= 15

x= 15÷3 = 5.

La solution est donc le nombre 5.

Trigonométrie Cycle 4 - 3

Espace et géométrie Cours

I — Vocabulaire

Premier cas

On considère l’angle ABC’ dans le triangle ABC.

hypoténuse côté opposé

à l’angle ABC’

côté adjacent à l’angle ABC’

A B

C

Second cas

On considère l’angle BCA’ dans le triangle ABC.

hypoténuse côté adjacent

à l’angle BCA’

côté opposé à l’angle BCA’

A B

C

II — Fonctions trigonométriques

Définition 11 : Le cosinus d’un angle α, noté cos(α), est défini comme étant le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et celle de l’hypoténuse,

cos(α) = côté adjacent à α hypoténuse

Définition 12 : Le sinus d’un angleα, noté sin(α), est défini comme étant le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et celle de l’hypoténuse,

sin(α) = côté opposé à α hypoténuse

Définition 13 : La tangente d’un angleα, notétan(α), est définie comme étant le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et celle du côté adjacent à cet angle.

tan(α) = côté opposé à α côté adjacent à α

Si on considère l’angleABC’ dans le triangle ABC.

hypoténuse côté opposé

à l’angle ABC’

côté adjacent à l’angle ABC’

A B

C

cos(ABC) =’ adj

hyp = AB

BC sin(ABC) =’ opp

hyp = AC

BC tan(ABC) =’ opp

adj = AC AB

Si on considère l’angleBCA’ dans le triangle ABC.

hypoténuse côté adjacent

à l’angle BCA’

côté opposé à l’angle BCA’

A B

C

cos(BCA) =’ adj

hyp = AC

BC sin(BCA) =’ opp

hyp = AB

BC tan(BCA) =’ opp

adj = AB AC

Avec la calculatrice 2 : La touche pour cos est k; celle pour sin est j et celle pour tan estl.

• Pour calculer cos(56), on tape k56 ce qui donne 0,5591929035.

• Pour calculer sin(56), on tape j56 ce qui donne 0,8290375726.

• Pour calculer tan(56), on tape l56 ce qui donne 1,482560969.

III — Calculer une longueur en connaissant une longueur et un angle

Méthode 2 : Pour résoudre un exercice de trigonométrie, il faut

• faire un schéma,

• noter sur ce schéma les données de l’énoncé,

• repérer sur le triangle l’hypoténuse et les côtés adjacents et opposés,

• choisir quelle fonction trigonométrique il faut utiliser à l’aide de la formule CAH−SOH −T OA.

Exercice 4 : Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BC = 5 cm et ABC’ = 53°.

Calculer la longueur AC au mm près.

Correction

hyp (5 cm) opp

A adj B

C

53°

Dans le triangleABC rectangle en A :

• sinÄ

ABC’ä

= opp

hyp = AC BC.

• Donc sin (53) = AC 5 .

• Donc AC = 5×sin(53)≈4 cm.

IV — Calculer la mesure d’un angle dans un triangle rectangle

Méthode 3 : Pour calculer la mesure d’un angle dans un triangle rectangle, il faut connaître au moins les longueurs de deux côtés, utiliser les fonctions trigonométriques et la calculatrice.

Avec la calculatrice 3 :

• Pour calculer une mesure de l’angleα tel que cos(α) = 3 5, on écritα= cos⁻¹

Å3 5

ã

et on tapeqk3P5ce qui donne 53,13010235°.

• Pour calculer une mesure de l’angleα tel que sin(α) = 3 5, on écritα= sin⁻¹

Å3 5

ã

et on tapeqj3P5 ce qui donne 36,86989765°.

• Pour calculer une mesure de l’angleα tel que tan(α) = 3 5, on écritα= tan⁻¹

Å3 5

ã

et on tape ql3P5ce qui donne 30,96375653°.

Exercice 5 : Calculer un angle dans un triangle rectangle SoitABC un triangle rectangle en A tel que AB= 3 et BC = 5 cm.

Calculer une mesure de l’angle ABC’ arrondie au degré près.

Correction

hyp (5 cm) opp

adj (3 cm)

A B

C

Dans le triangleABC rectangle en A,

cos(ABC) =’ adj

hyp = AB BC = 3

5. DoncABC’ = cos⁻¹

Å3 5

ã

≈53°.

Arithmétique Cycle 4 - 3

Nombres et calculs Cours

I — Multiples et diviseurs

Définition 14 : Si le reste de la division euclidienne d’un entier apar un entierb est zéro, on dit que :

• a est divisible parb

• b est un diviseur de a

• a est un multiple de b.

Le reste de la division de 123 par 3 est 0. On dit donc que :

• 123 est divisible par 3,

• 3 est un diviseur de 123,

• 123 est un multiple de 3.

Propriété 6 :

• Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4 , 6 ou 8.

• Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

• Un nombre entier est divisible par 4 si ces deux derniers chiffres forment un nombre multiple de 4.

• Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.

• Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

• Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.

• 148 est un multiple de 2et de 4 car il se termine par 8 et car48 = 4×12.

• 483 est un multiple de 3car 4 + 8 + 3 = 15et 15 = 3×5.

II — Décomposer un nombre en facteurs premiers

Définition 15 : Un nombre premier est un nombre qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 60

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Liste des nombres premiers inférieurs à 100 (crible d’Erathostène)

Les nombres premiers inférieurs à 100 sont donc :

• 2

• 3

• 5

• 7

• 11

• 13

• 17

• 19

• 23

• 29

• 31

• 37

• 31

• 37

• 41

• 47

• 53

• 59

• 61

• 67

• 71

• 73

• 79

• 89

• 97 Attention, le nombre 1 n’est pas premier.

Propriété 7 : Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut se décomposer en un produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique.

Par exemple,

42 = 2×21 = 2×3×7.

Par exemple,

504 = 2×252

= 2×2×126

= 2×2×2×63

= 2×2×2×3×21

= 2×2×2×3×3×7

= 2³×3²×7

Avec la calculatrice 4 : Pour obtenir la décomposition en facteurs premiers de 504, on tape

• 504B pour mettre le nombre en mémoire,

• q-Bpour le résultat.

III — Nombres premiers entre eux

Définition 16 : Soient a et b deux nombres entiers. Si a et b n’ont que le nombre 1 comme diviseur commun alors on dit que a et b sont premiers entre eux et les fractions a

b et b a sont irréductibles.

• 10 = 1×2×5 et21 = 1×3×7.

Donc10 et21 sont premiers entre eux.

• Ainsi 10et 21n’ont que le nombre 1comme diviseur commun.

• Les fractions 10 21 et 21

10 sont irréductibles.

Exercice 6 : Mettre la fraction 630

924 sous forme irréductible.

Correction

On décompose les nombres en facteurs premiers :

• 630 = 10×63 = 2×5×7×9 = 2×3²×5×7

• 924 = 4×231 = 4×3×77 = 2²×3×7×11 Ils ont donc2, 3et 7 comme facteurs communs.

Or, 2×3×7 = 42.

Donc 630

924 = 630÷42 924÷42 = 15

22.

Exercice 7 : Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante : « Découper dans ces plaques des carrés, tous identiques, les plus grands possible, de façon à ne pas avoir de perte. » Quelle sera la longueur du côté du carré ? Combien obtiendra-t-on de carrés par plaque ?

Correction

Il faut diviser les longueurs110 et 88par un même diviseur, le plus grand possible.

On calcule donc les diviseurs communs à110 et à 88.

On décompose en facteurs premiers :

• 110 = 10×11 = 2×5×11,

• 88 = 8×11 = 2³ ×11.

Les diviseurs communs à110 et88sont 2 et11.

Or, 2×11 = 22.

Donc110÷22 = 5et 88÷22 = 4.

La longueur des côtés du carré sera donc de 22 cm.

Il y aura donc 5 rangées de 4 carrés soit5×4 = 20 carrés par plaque.

Figure à découper et à coller

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 60

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Liste des nombres premiers inférieurs à 100 (crible d’Erathostène)

Le théorème de Thalès

Cycle 4 - 3

Espace et géométrie Cours

I — Théorème de Thalès

Théorème 1 : Soient (M B)et (CN) deux droites sécantes en A.

Si les droites(M N) et(BC) sont parallèles, alors AM

AB = AN

AC = M N BC

Trois positions sont possibles pour la droite (M N). Les deux premiers sont les cas dits clas- siques et le dernier est dit configuration en papillon.

A

A A

B C B C B C

M N

M N

M N

Le théorème de Thalès permet, à partir de deux droites parallèles, 1. principalement de calculer des longueurs,

2. d’obtenir des relations de proportionnalité sur des longueurs, 3. d’obtenir des relations de proportionnalité sur des aires.

Exercice 8 : Soient (AC)et (AB) deux droites sécantes enA.

Soient M un point de(AB) et N un point de (AC)tels que (M N) soit parallèle à (BC).

Supposons que AB= 5 cm, AM = 3 cm, M N = 8 cm et AC = 7 cm.

Calculer les longueurs AN et BC au mm près.

Correction

Les droites (M B) et(N C)sont sécantes en A.

Les droites (M N)et (BC)sont parallèles.

On applique le théorème de Thalès :

AM

AB = AN

AC = M N BC 3

5 = AN 7 = 8

BC

DoncAN = 3×7

5 = 4,2. La longueur AN mesure 4,2 cm.

DoncBC = 5×8 3 = 40

3 = 13,3. La longueurBC mesure 13,3 cm.

II — Réciproque du théorème de Thalès

Théorème 2 : Soient d etd^′ deux droites sécantes en A.

Soient B etM deux points de d distincts de A.

Soient C etN deux points ded^′ distincts deA.

Si les pointsA,M,B d’une part et les points A,N,C d’autre part sont alignés dans le même ordre et si

AM

AB = AN AC alors les droites (M N) et (BC)sont parallèles.

Cette réciproque n’est pas vraiment une réciproque au sens propre du terme.

Elle permet de démontrer à partir de données de longueur que deux droites sont parallèles.

Exercice 9 : Soient A, B etC trois points non alignés.

Soient M ∈[AB) etN ∈[AC).

On donne AB= 4 cm, AM = 8 cm, AN = 6 cm et AC = 3 cm.

Démontrer que les droites (M N) et(BC) sont parallèles.

Correction

A

B C

M N

Les pointsB,AetM d’une part et les points C, A et N d’autre part sont alignés dans le même ordre.

AM AB = 8

4 = 2

AN AC = 6

3 = 2

Donc

AM

AB = AN AC.

Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (M N) et (BC) sont paral- lèles.

Développer une expression littérale Cycle 4 - 3

Nombres et calculs Cours

I — Développer

Définition 17 : Étant donnés trois nombres k, a etb, on a k×(a+b) =k×a+k×b=ka+kb.

3x(5−4x) = 3x×5−3x×4x

= 15x−12x²

Définition 18 : Étant donnés quatre nombres a, b,c etd, on a

(a+b)×(c+d) = a×c+a×d+b×c+b×d=ac+ad+bc+bd.

(5x−2)×(4x+ 3) = 5x×4x+ 5x×3−2×4x−2×3

= 20x²+ 15x−8x−6

= 20x²+ 7x−6

Attention : il ne faut pas confondre2x² et (2x)².

II — Réduire une expression littérale

Définition 19 : Réduire une expression littérale revient à l’écrire avec le moins de termes possible. Pour cela, on regroupe les termes en x², les termes en x et ceux sans lettre.

x+ 2x²+ 4x+ 5 + 3x²+ 5x+ 6 = 2x²+ 3x²+x+ 4x+ 5x+ 5 + 6

=5x²+10x+ 11.

Propriété 8 :

• Quand on supprime des parenthèses précédées du signe +, on supprime ces parenthèses et le signe+ puis on recopie ce qu’il y a entre ces parenthèses sans changer les signes.

• Quand on supprime des parenthèses précédées du signe −, on supprime ces parenthèses et le signe− puis on recopie ce qu’il y a entre ces parenthèses en changeant tous les signes.

3x+ (4x−6) = 3x+4x−6= 7x−6

III — Identités remarquables

Définition 20 :Identités remarquables Étant donnés deux nombres a etb, on a (a+b)² =a²+ 2ab+b²,

(a−b)² =a²−2ab+b², (a+b)(a−b) = a²−b².

Ces trois égalités sont appelées identités remarquables et le terme 2ab s’appelle le double produit.

(x+ 3)² =x²+ 2×x×3 + 3²

=x²+ 6x+ 9

(5x−3)² = (5x)²−2×5x×3 + 3²

= 25x²−30x+ 9

(x+ 3)(x−3) =x²−3²

=x²−9

On peut utiliser ces identités remarquables pour le calcul mental :

101² = (100 + 1)²

= 100² + 2×100×1 + 1²

= 10 000 + 200 + 1

= 10 201

99² = (100−1)²

= 100²−2×100×1 + 1²

= 10 000−200 + 1

= 9 801

99×101 = (100−1)×(100 + 1)

= 100²−1²

= 10 000−1

= 9 999

Exercice 10 : Développer puis réduireA= (3x+ 4)²−(2x−3)².

Correction

En utilisant les identités remarquables :

A= (3x+ 4)²−(2x−3)²

= (3x)²+ 2×3x×4 + 4²

− (2x)²−2×2x×3 + 3²

= 9x²+ 24x+ 16

− 4x²−12x+ 9

= 9x²+ 24x+ 16−4x²+ 12x−9

= 5x²+ 36x+ 7

Sans utiliser les identités remarquables :

A= (3x+ 4)²−(2x−3)²

= (3x+ 4)(3x+ 4)−(2x−3)(2x−3)

= (3x×3x+ 3x×4 + 4×3x+ 4×4)−(2x×2x−2x×3−3×2x+ 3×3)

= 9x² + 12x+ 12x+ 16

− 4x²−6x−6x+ 9

= 9x² + 24x+ 16

− 4x²−12x+ 9

= 9x²+ 24x+ 16−4x²+ 12x−9

= 5x²+ 36x+ 7

Statistiques Cycle 4 - 3

Organisation et gestion de données, fonctions

Cours

I — Vocabulaire

Définition 21 : Les statistiques sont un ensemble d’outils mathématiques permettant de dé- terminer des caractéristiques d’un ensemble de données. A la différence des probabilités, toutes les données sont déjà connues.

Définition 22 : Voici la liste des termes utilisés en Statistiques : Population : Ensemble sur lequel porte l’étude.

Individu : Un élément de l’ensemble étudié.

Caractère : Critère étudié dans la population.

Effectif d’une valeur : Nombre d’éléments correspondant à cette valeur.

Effectif total : Nombre total d’éléments.

Fréquence d’une valeur : Quotient de l’effectif d’une valeur par l’effectif total.

Par exemple, si on considère une série de notes d’un devoir pour une classe :

• La population est l’ensemble des notes.

• L’individu est une note.

• Un caractère peut être de savoir si une note est supérieure à 10.

• L’effectif d’une valeur est le nombre de notes égales à cette valeur.

• L’effectif total est le nombre total de notes.

• La fréquence d’une valeur peut être de savoir combien il y a de notes au dessus de 10 (en pourcentage).

• Liste non ordonnée des notes de deux élèves A et B Élève A : 9 - 11 - 18 - 7 - 17 - 11 - 12 - 18

Élève B : 13 - 13 - 12 - 10 - 8 - 14 - 12 - 10 - 11.

• Liste ordonnée croissante de ces notes Élève A : 7 - 9 - 11 - 11 - 12 - 17 - 18 - 18 Élève B : 8 - 10 - 10 - 11 - 12 - 12 - 13 - 13 - 14.

• Tableau d’effectifs en fonction de l’élève

Élève A : Notes 7 9 11 12 17 18

Effectif 1 1 2 1 1 2

Élève B : Notes 8 10 11 12 13 14

Effectif 1 2 1 2 2 1

II — Moyennes

Définition 23 : La moyenne d’une série statistique est le nombre égal à la somme des données de la série divisée par l’effectif total de la série. On la note souvent x.¯

Pour l’élève A :

¯

x= 9 + 11 + 18 + 7 + 17 + 11 + 12 + 18

8 = 103

8 = 12,875.

Pour l’élève B :

¯

x= 13 + 13 + 12 + 10 + 8 + 14 + 12 + 10 + 11

9 = 103

9 ≈11,444.

Définition 24 : La moyenne pondérée d’une série statistique est la somme des produits de chaque donnée par son coefficient divisée par la somme des coefficients. On la note aussi souvent x.¯

Pour un élève, cela correspond à mettre des coefficients à certains devoirs. Pour les deux élèves A et B, il n’y a pas de coefficient (chaque note a la même importance), la moyenne pondérée est donc la moyenne classique.

• Pour l’élève A :

¯

x= 7×1 + 9×1 + 11×2 + 12×1 + 17×1 + 18×2

1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 = 103

8 = 12,875.

• Pour l’élève B :

¯

x= 8×1 + 10×2 + 11×1 + 12×2 + 13×2 + 14×1

1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 = 103

9 ≈11,444.

III — Médiane

Définition 25 : La médiane d’une série statistique est la valeur qui partage une série statistique ordonnée en deux séries de même effectif. On note généralement cette valeur Med.

• Pour l’élève A, il y a 8 notes. On partage donc la série en deux séries de 4 données.

7 9 11 11

| {z }

4notes

12 17 18 18

| {z }

4notes

Pas de noteau milieu.

La médiane est alors la moyenne des deux notes du milieu : Med= 11 + 12

2 = 11,5.

• Pour l’élève B, il y a 9 notes. On partage la série en deux séries de 4 données.

8 10 10 11

| {z }

4notes

12 12 13 13 14| {z }

4notes

La médiane est alors la valeur dumilieu : Med = 12.

IV — Étendue

Définition 26 : L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur de la série et la plus petite valeur de la série.

• Pour l’élève A, l’étendue est18−7 = 11.

• Pour l’élève B, l’étendue est 14−8 = 6.

V — Fréquence

Définition 27 : La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total. Elle peut être écrite sous forme de nombre décimal, de fraction mais le plus souvent sous la forme d’un pourcentage.

• Pour l’élève A, la fréquence de la note 11 est de 2

8 ×100 = 25%.

• Pour l’élève B, la fréquence de la note 11 est de 1

9×100≈11,1%.

VI — Utilisation de la calculatrice (Casio fx 92 - Spéciale Collège)

Avec la calculatrice 5 : Supposons qu’on souhaite entrer le tableau suivant : Notes 7 9 11 12

Effectif 3 1 2 1

• w21 pour entrer dans le mode STATS et entrer un tableau

• 7B pour entrer la première note

• 9B pour entrer la seconde note

• 11Bpour entrer la troisième note

• 12Bpour entrer la dernière note.

• R$pour aller dans la colonne effectif.

• 3B pour entrer l’effectif de la première note

• 1B pour entrer l’effectif de la seconde note

• 2B pour entrer l’effectif de la troisième note

• 1B pour entrer l’effectif de la dernière note.

• C pour finir.

Normalement, cela affiche : Statistiques 1 variable.

Avec la calculatrice 6 : Récupérer les résultats, on tape les commandes suivantes :

• T2pour calculer les valeurs

• pour la moyenne, on lit la valeur de x¯ : x¯= 9,14.

• pour la médiane, on lit la valeur de Med : Med= 9.

• pour l’étendue, on lit max(x) etmin(x) et on les soustrait :12−7 = 5.

Agrandissement réduction Cycle 4 - 3

Espace et géométrie Cours

I — Solides et volumes

Définition 28 : Un prisme droit est un solide qui a

• deux faces parallèles et superposables qui sont des polygones appelées bases ;

• des faces rectangulaires perpendiculaires aux bases, appelées faces latérales.

h

Prisme de hauteur h.

Définition 29 : Un cylindre droit ou cylindre de révolution est un solide qui a

• deux disques superposables appelés bases ;

• une surface entourant les bases dont le patron est un rectangle appelée surface latérale.

r

h

Cylindre de révolution de hauteurh et de rayon r.

Définition 30 : Un cône de révolution est un solide qui a

• une base qui est un disque ;

• une surface latérale ;

• un sommet.

h

r

Cône de révolution d’hauteur h et de rayon r.

Définition 31 : Une pyramide est un solide qui a

• une base qui est un polygone ;

• des faces latérales qui ont un sommet commun qui est le sommet de la pyramide.

h

Pyramide à base carrée de hauteur h

Définition 32 : L’unité de volume usuelle est le mètre cube notée m³. Elle correspond au volume d’un cube d’un mètre d’arête.

km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³

Le cube

c

V =c³ =c×c×c

Le pavé droit (parallélépipède rectangle)

h

L

ℓ V =L×ℓ×h Le prisme droit

h

V =ABase×h

Le cylindre r

h

V =π×r²×h

La pyramide

h

V = ABase×h 3

Le cône

h

r

V = π×r²×h 3

II — Agrandissement et réduction

Propriété 9 : Lorsqu’on utilise le théorème de Thalès, on passe d’un triangle à un autre. Les longueurs de ces deux triangles sont liées par des égalités de rapports. Notons k la valeur de ces rapports égaux.

• Si k > 1, on passe d’un petit triangle à un grand triangle. On dit qu’on réalise un agran- dissement de coefficient k.

• Sik <1, on passe d’un grand triangle à un petit triangle. On dit qu’on réalise une réduction de coefficient k.

Propriété 10 : Dans le cas d’un agrandissement ou d’une réduction de coefficient k, 1. les longueurs sont multipliées park,

2. les aires sont multipliées park², 3. les volumes sont multipliés par k³,

Ainsi, dans un agrandissement de coefficient3,

• les longueurs sont multipliées par3,

• les aires sont multipliées par3² = 9,

• les volumes sont multipliés par 3³ = 27.

Exercice 11 : Calculer la longueur et le volume du cube mesurant 2 cm de côté sur un plan à l’échelle 1 :4.

Correction

L’échelle 1 :4 signifie que 1 cm sur le plan mesure réellement 4 cm.

Il y a donc un coefficient d’agrandissement égal à 4.

La longueur réelle du cube est donc de 4×2 = 8 cm.

Le volume réel du cube est donc de 4³×2 = 128 cm³. Exercice 12 :

SABCD est une pyramide à base rectangulaire ABCD, de hauteur [SA]. On donne SA = 15 cm, AB = 8 cm et BC = 11 cm.

1. Calculer le volume V₁ de la pyramide SABCD.

2. Démontrer que SB = 17 cm.

3. On note E le point de [SA] tel que SE = 12 cm et F le point de [SB] tel que SF = 13,6 cm.

Montrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.

4. On coupe cette pyramide par le plan passant par E et parallèle à la base de la pyramide.

La pyramide SEFGH ainsi obtenue, est une réduction de la pyramide SABCD.

(a) Quel est le coefficient de la réduction ?

(b) En déduire le volumeV₂ de la pyramide SEFGH en fonction de V₁.

A B

C

E F D

G H

S

Correction

1. V₁ = A_ABCD×SA

3 = 8×11×15

3 = 440 cm³.

2. Dans le triangle SAB rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore : SB² =SA² +AB²

= 15²+ 11²

= 289.

DoncSB =√

289 = 17cm.

3. Les points S, E, A d’une part et S, F, B d’autre part sont alignés dans le même ordre.

SE SA = 12

15 = 4 5. SF

SB = 13,6 17 = 4

5. Donc SE

SA = SF SB.

Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (AB) sont parallèles.

4. (a) Le coefficient de réduction est égal à SE SA = 4

5 = 0,8.

(b) V₂ = 0,8³ ×V₁ = 0,8³×440 = 225,28cm³.

III — Triangles égaux

Définition 33 : Deux triangles sont égaux lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur.

A

B

C

E

F

G

Les triangles ABC etEF G sont égaux car AB=EF,AC =EG etCB =F G.

Propriété 11 : Si deux triangles sont égaux alors leurs angles sont deux à deux de même mesure.

A

B

C

E

F

G

Les triangles ABC etEF G sont égaux donc ABC’ =EF G,’ BCA’ =F GE’ et CAB’ =GEF’. Propriété 12 : Si deux triangles ont deux à deux un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur alors ils sont égaux.

A

B

C

E

F

G

On a :

• AB=EF et AC =EG,

• BAC’ =F EG.’

Donc les trianglesABC et EF Gsont égaux.

Propriété 13 : Si deux triangles ont deux à deux un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure alors ils sont égaux.

A

B

C

E

F

G

On a :

• AC =EG,

• BAC’ =EF G’ et ACB’ =EGF’.

Donc les trianglesABC et EF Gsont égaux.

IV — Triangles semblables

Définition 34 : Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure.

A

B C

A^′

D

E

F

Les triangles ABC etDEF sont semblables.

• Si deux triangles sont égaux alors ils sont semblables mais deux triangles semblables ne sont pas forcément égaux.

Propriété 14 : Si deux triangles sont semblables alors les longueurs des côtés des triangles sont proportionnelles.

Propriété 15 : Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles alors ces triangles sont semblables.

• C’est le cas dans les configurations de Thalès.

Exercice 13 : Soient ABC et DEF deux triangles tels que ABC’ = DEF’ et CAB’ =F DE.’ Montrer que les triangles ABC etDEF sont semblables.

Correction

La somme des angles dans un triangle est égale à 180°.

DoncACB’ = 180−ABC’ −CAB’ etDF E’ = 180−DEF’ −F DE.’ DoncACB’ =DF E’ .

Donc les trois angles des deux triangles sont égaux.

Donc les deux trianglesABC etDEF sont semblables.

Figures à découper et à coller

h

Prisme de hauteurh.

r

h

Cylindre de révolution de hauteur h et de rayon r.

h

r

Cône de révolution d’hauteur h et de rayon r.

h

Pyramide à base carrée de hauteur h

Le cube

c

V =c³ =c×c×c

Le pavé droit (parallélépipède rectangle)

h

L

ℓ V =L×ℓ×h Le prisme droit

h

V =ABase×h

Le cylindre r

h

V =π×r²×h La pyramide

h

V = ABase×h 3

Le cône

h

r

V = π×r²×h 3

A B

C

E F D

G H

S

Factoriser une expression littérale Cycle 4 - 3

Nombres et calculs Cours

Définition 35 : Factoriser une expression, c’est transformer les sommes en produits.

I — Factoriser avec un facteur commun

Méthode 4 :

1. On recherche tout d’abord une expression commune à chaque terme de l’expression : le facteur commun.

2. On recopie ce facteur commun.

3. On recopie entre crochets ce qui n’est facteur commun dans l’expression.

4. On réduit l’expression entre les crochets.

A =(x+ 1)(x+ 2) +(x+ 1)(x+ 3)

=(x+ 1)[(x+ 2) + (x+ 3)]

= (x+ 1) [x+ 2 +x+ 3]

= (x+ 1) [2x+ 5]

B = (x+ 1)(x+ 2) + (x+ 1)

=(x+ 1)(x+ 2) +(x+ 1)×1

=(x+ 1)[(x+ 2) +1]

= (x+ 1) [x+ 2 + 1]

= (x+ 1) [x+ 3]

C= (x+ 1)²−(x+ 1)(2x+ 3)

=(x+ 1)(x+ 1)−(x+ 1)(2x+ 3)

=(x+ 1)[(x+ 1)−(2x+ 3)]

= (x+ 1) [x+ 1−2x−3]

= (x+ 1) [−x−2]

II — Factoriser sans facteur commun

Définition 36 : Soient a et b deux nombres :

a²+ 2ab+b² = (a+b)²

a²−2ab+b² = (a−b)² a²−b² = (a+b)(a−b)

Méthode 5 :

1. On recherche deux termes qui sont des carrés.

2. On compte le nombre de termes et on regarde les signes de l’expression : cela nous permet d’identifier quelle identité remarquable on va utiliser.

3. On identifie ensuite la valeur dea et celle de b.

4. On écrit l’expression factorisée.

• De la formea²+ 2ab+b² = (a+b)² :

A=x²+ 6x+ 9

=x²+ 2×x×3 + 3²

= (x+ 3)²

• De la formea²−2ab+b² = (a−b)² :

B =x²−10x+ 25

=x²−2×x×5 + 5²

= (x−5)²

• De la formea²−b² = (a+b)(a−b) :

C =x²−36

=x²−6²

= (x+ 6)(x−6)

D= 49x²−(x+ 1)²

= (7x)²−(x+ 1)²

= [(7x) + (x+ 1)] [(7x)−(x+ 1)]

= [8x+ 1] [6x−1]

III — Equation-produit

Définition 37 : Une équation-produit est une équation du type A×B = 0

où, au moins un des deux facteurs (A ou B) est une expression littérale.

Propriété 16 : Si un produit est nul alors au moins un de ses facteurs est nul.

Exercice 14 : Résoudre l’équation (5x+ 15)(3x−6) = 0.

Correction

(5x+ 15)(3x−6) = 0

Si un produit est nul alors au moins un de ses facteurs est nul.

5x+ 15 = 0 5x=−15

x=−15/5 x=−3.

ou

3x−6 = 0 3x= 6

x= 6/3 x= 2.

Les solutions sont doncx=−3ou x= 2.

DoncS ={−3; 2}.

Notions de fonction

Cycle 4 - 3

Organisation et gestion de données, fonctions

Cours

I — Formule algébrique

Définition 38 : Une fonction est un processus mathématique qui, à un nombre, fait correspondre un nombre unique.

Définition 39 : Soit f une fonction qui au nombre xassocie le nombre f(x). On note f :x→f(x).

Le nombref(x)se lit f dex.

Par exemple, si on considère la fonction qui, à un nombre, associe son double. Pour définir cette fonction, il faut lui donner

• un nom (par exemple g)

• une formule 2×x (on calcule le double du nombre).

On obtient

g :x→g(x) = 2x.

Définition 40 : Soit f la fonction qui, àx, associe le nombre f(x).

• f(x) est appeléimage du nombre x par la fonctionf;

• xest appelé antécédentdu nombre f(x) par la fonctionf.

f :x f(x)

xa pour image f(x)

f(x) a pour antécédentx

Si on considère la fonction g :x→g(x) = 2x alors

• l’image de 3par la fonction g est6 car g(3) = 2×3 = 6,

• l’antécédent de 6par la fonction g est3.

Si on considère la fonction f(x) = 3x+ 2 alors

• 1a pour image 5 par la fonctionf car f(1) = 3×1 + 2 = 5

• 8a pour antécédent 2 par la fonctionf car f(x) = 8 3x+ 2 = 8

3x= 8−2 3x= 6

x= 6÷3 = 2

II — Tableau de valeurs

Définition 41 : Un tableau de valeurs pour une fonction f est un tableau constitué de deux lignes dont la première affiche les valeurs de xet la seconde, les valeurs correspondantes de f(x).

Si on considère la fonction g :x→g(x) = 2x alors

• Un tableau de valeurs de g est :

x 1 2 5 12 g(x) 2 4 10 24

• On lit que 2 a pour image4 par la fonction g.

• On lit que 10a pour antécédent 5 par la fonctiong.

III — Représentation graphique

Définition 42 : Un repère est constitué de deux axes sécants.

• Le point d’intersection de ces deux axes est appelé origine du repère.

• Le premier axe (en bas) est celui des abscisses.

• Le second axe (en haut) est celui des ordonnées.

• Dans le cas où les deux axes sont perpendiculaires, on dit que le repère est orthogonal.

• Dans le cas où les deux axes sont perpendiculaires et gradués avec la même unité, on dit que le repère est orthonormal.

Définition 43 : Etant donnée une fonction f :

• l’ensemble de points de coordonnées (x;f(x)) est appelé représentation graphique de la fonctionf;

• on note cette représentation graphiqueCf;

• on appellex l’abscisse et f(x) l’ordonnée de ce point.

Si on considère la fonction g :x→g(x) = 2x,

• Un tableau de valeurs de g est :

x 1 2 5 12 g(x) 2 4 10 24

• La courbe représentative Cg de cette fonction g passent par les points : – A(1; 2),

– B(2; 4), – C(5; 10),

• On obtient le graphique suivant :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

x g(x)

× ×

×

×

En résumé :

Soit f une fonction.

• Algébriquement : f(1) = 2 etf(3) = 4 – 1 a pour image2

– 4 a pour antécédent3

• Avec un tableau :

x 1 3 f(x) 2 4 – 1 a pour image2

– 4 a pour antécédent3

• Graphiquement :

x

f(x) Cf

1 2

3 4

– 1 a pour image2 – 4 a pour antécédent3

Repérage dans le plan, dans l’espace Cycle 4 - 3

Espace et géométrie Cours

I — Placer un point dans un repère

Définition 44 :

• On appelle repère la donnée de deux axes gradués sécants en un point appelé origine du repère.

• On appelle repère orthogonal un repère dont les axes sont perpendiculaires.

• On appelle repère orthonormal ou orthonormé un repère dont les axes sont perpendiculaires et dont les graduations sont identiques sur les deux axes.

Définition 45 :

• L’axe horizontal d’un repère est l’axe des abscisses.

• L’axe vertical d’un repère est l’axe des ordonnées.

Définition 46 : Un point M dans un repère est repéré par son abscisse x_M et son ordonnée y_M. Ces deux nombres sont appelés les coordonnées deM dans le repère et on noteM(x_M;y_M).

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 x

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 y

A

B

Les coordonnées de A sontA(2; 3) et celles deB sont B(−3;−2).

II — Placer un point sur le globe terreste

Définition 47 : L’altitude est l’élévation verticale d’un lieu ou d’un objet par rapport à un niveau de base (sur le globe, ce niveau de base est le niveau de la mer).

• L’altitude de la ville de Nexon est de 360 m.

• L’altitude du Mont-Blanc est de 4 696 m.

• L’altitude du lac de Tibériade en Israël est de -214 m.

Définition 48 :

• L’équateur est le cercle imaginaire autour de la Terre situé à égale distance des deux pôles.

Un parallèle est un cercle imaginaire parallèle à l’équateur.

• Un méridien est un demi-cercle qui joint les deux pôles. Le méridien de Greenwich est le méridien qui passe par l’Observatoire de Greenwich, près de Londres.

• La latitude est la distance mesurée en degrés qui sépare un parallèle de l’Equateur. Elle est positive au dessus de l’Equateur et négative en dessous de l’Equateur.

• La longitude est la distance mesurée en degrés qui sépare un méridien du méridien de Greenwich. Elle est positive quand on se situe à gauche du méridien de Greenwhich et négative quand on se situe à droite de ce méridien.

• Un point est repéré par les données de sa latitude et de la longitude.

Les coordonnées du collège de Nexon sont :

• Latitude : 45,6787215° N

• Longitude : 1,1857944° E

Figure à découper et à coller

Fonctions affines et fonctions linéaires

Cycle 4 - 3

Organisation et gestion de données, fonctions

Cours

I — Définitions

Définition 49 :

• Etant donné un nombre a, on appelle fonction linéaire de coefficient a la fonction qui, à un nombre xassocie le nombre ax. On la note

f :x→ax.

• Etant donné deux nombres aet b, on appelle fonction affine la fonction qui, à un nombre x associe le nombreax+b. On la note

f :x→ax+b.

• Dans chaque cas, le nombre a est appelé coefficient directeur de la fonction.

• Le nombre b dans les fonctions affines est appelé ordonnée à l’origine.

• La fonction associée au fait de prendre le triple de x (c’est à dire multiplier x par 3) est la fonction linéaire de coefficient directeur3 définie par

f :x→f(x) = 3x.

• La fonction associée au fait de multiplier un nombre par 2 et de lui soustraire 3 est la fonction affine de coefficient directeur 2et d’ordonnée à l’origine −3 définie par

g :x→2x−3.

II — Représentation graphique

Propriété 17 :

• Si une fonction f est une fonction affine ou linéaire alors sa représentation graphique est une droite.

• Si, de plus, cette fonction f est une fonction linéaire alors cette droite passe par l’origine du repère.

Définition 50 : Soitfune fonction linéaire ou affine de coefficienta. NotonsCf la représentation graphique de f.

• Si le nombre a est positif, Cf est une droite qui monte. On dit alors que la fonction f est croissante.

• Si le nombreaest nul,Cf est une droite horizontale. On dit que la fonctionf est constante.

• Si le nombre a est négatif, Cf est une droite qui descend. On dit que la fonction f est décroissante.

1 2 3 1

2 3

f :x→0,5x est une fonction linéaire croissante

car a = 0,5>0

1 2 3

1 2 3

f :x→ −3/4x+ 5/2est une fonction affine décroissante

car a=−3/4<0

1 2 3

1 2 3

f :x→2,5est une fonction affine constante

car a= 0

1 2 3

1 2 3

C_f

C_g

f(x) =g(x)

f(x)> g(x) f(x)< g(x)

Comparaison des fonctionsf etg

III — Calculs des coefficients

Méthode 6 : Pour calculer le coefficient directeur a d’une fonction linéairef(x) =ax, on doit connaître un point et son image (x, f(x)):

a= f(x) x .

Méthode 7 : Pour calculer le coefficient directeur d’une fonction affinef(x) =ax+b, on doit connaître deux points et leurs imagesA (x_A;f(x_A))et B (x_B;f(x_B)) :

a = f(x_B)−f(x_A) xB−xA

.

L’ordonnée à l’origine b est obtenue en calculant b=f(x_A)−a×x_A.

• Soit f une fonction linéaire telle que 2 ait pour imagef(2) = 10.

Doncf(x) = 5x.

• Soit g une fonction affine telle queg(2) = 13 etg(3) = 18

a= g(3)−g(2)

3−2 = 18−13 3−2 = 5

b=g(2)−5×2 = 13−5×2 = 3 Doncg(x) = 5x+ 3.

Méthode 8 : Sur un graphique, on considère le point d’intersection entre l’axe des ordonnées et la droite représentant la fonction.

• Si on obtient0, la fonction est une fonction linéaire de la forme f(x) =ax.

• Si on obtient un nombrebnon nul, la fonction est une fonction affine de la formef(x) =ax+b avecb, le nombre lu.

Pour lire graphiquement le coefficient directeur de la fonction :

• on repère un point sur la droite et on note son ordonnée y1;

• on se déplace d’une unité vers la droite parallèlement à l’axe des abscisses ;

• on monte ou on descend verticalement pour trouver le point de la droite ayant cette abscisse ;

• on lit alors son ordonnée y₂.

• La valeur de a est alorsy₂−y₁.

x

−2 −1 0 1 2 3

−

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

y Cf

Valeur de b=−1

Valeur de a= 2

Sur le graphique :

• La valeur de la fonction en x = 0 est −1 donc b=−1;

• Valeur de a : on passe de (1; 1) à (2; 3) donc a= 3−1 = 2.

• Donc f(x) = 2x−1.

Par le calcul :

• On prend deux points sur la courbe : A(1; 1) et B(2; 3).

• On a a= 3−1

2−1 = 2. Donc a= 2.

• f(2) = 3. Donc b = 3−2×2 = −1. Donc b=−1.

• Donc f(x) = 2x−1.