3.5 LOI CONTINUE 2

cours 17

3.5 LOI CONTINUE 2

Au dernier cours, nous avons vu

✓

✓

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

✓

Loi exponentielle

Soit une variable aléatoire ayant comme fonction de densité X f (x) =

( e ^x 0  x

0 sinon

X ⇠ Exp( )

Alors on dira que cette variable aléatoire suit une loi exponentielle.

f (x) =

( e ^x 0  x

0 sinon

X ⇠ Exp( )

Z ₁

1

f (x) dx =

Z ₁

0

e ^x dx

=

Z ₁

0

e ^x dx

u = x du = dx

=

Z _?

?

e^u du = e ^{x 1}

0

= lim

t!1 e ^t + e⁰ = 1

Donc est bien une fonction de densité^{f (x)}

f (x) =

( e ^x 0  x

0 sinon

X ⇠ Exp( )

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx u = x dv = e ^x dx du = dx

v = e ^x

=

Z ₁

0

xe ^x dx

=

✓ xe ^x

+

Z ₁

0

e ^x

dx

◆

= xe ^x +

Z ₁

0

e ^x dx = xe ^x e ^{x 1}

0

f (x) =

( e ^x 0  x

0 sinon

X ⇠ Exp( )

E(X) =

Z ₁

1

xf (x) dx = xe ^x e ^{x 1}

0

= lim

t!1

✓

te ^t e ^t ◆ ✓

0e ⁰ e ⁰ ◆

= 1

Faites les exercices suivants

# 3.45

Dans le cas de la loi exponentielle, on est en mesure de trouver

=

Z _x

0

e ^t dt = e ^{t x}

0 = e ^x + 1

F (x)

P (X  x) = F (x) = e ^x + 1

P (X > x) = 1 F (x) = 1 ( e ^x + 1)

= e ^x

Une des particularités de la loi exponentielle est qu’elle est « sans mémoire ».

P (X > s + t|X > t) = P (X > s) 8s, t 0

P (X > s) = P ((X > s + t) \ (X > t))

P (X > t) = P (X > s + t) P (X > t) P (X > s + t) = P (X > s)P (X > t)

P (X > s + t) = e ^(s+t)

Mais

= e ^se ^t

= P (X > s)P (X > t)

Exemple

Quelle est la probabilité que vous ayez à attendre X ⇠ Exp

✓ 1 10

◆

P (X > 10) = 1 P (X  10) = 1 F (10)

plus de 10 min?

entre 10 et 20 min?

= 1 10

P (10  X  20) = F (20) F (10)

= 1 (1 e ¹⁰¹⁰ )

= e ¹ ⇡ 0, 3679

= (1 e ²) (1 e ¹)

= e ¹ e ² ⇡ 0, 2325

Faites les exercices suivants

# 3.46 à 3.48

Loi normale

Un variable aléatoire ayant comme fonction de densité

est dite une loi normale X ⇠ N (µ, )

f (x) = 1

p2⇡ e ^{(x2 2µ)2} où µ et

sont des constantes

p 1

2⇡

Z

e ^{(x2 2µ)2} dx Malheureusement

ne possède pas de primitive analytique (x) =

p 1

2⇡

Z ₁

1

e ^{(x2 2µ)2} dx y = x µ dy = dx

Z ₁

1

e ^y

2

2 dx = p

2⇡

donc si

on aura bien

= 1 On doit vérifier que ^{f (x) =} p¹

2⇡ e ^{(x2 2µ)2} est bien une fonction de densité

= 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

✓Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆2

=

✓Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆ ✓Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆

=

✓Z ₁

1

e ^x

2

2 dx

◆ ✓Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆

=

Z ₁

1

Z ₁

1

e ^x

2

2 e ^y

2

2 dxdy

=

Z ₁

1

Z ₁

1

e ^{(x2 +y2 )2} dxdy L’astuce

✓Z ₁ ?

1

e ^y

2

2 dy

◆2

=

Z ₁

1

Z ₁

1

e ^{(x2 +y2 )2} dxdy

x = r cos ✓ y = r sin ✓ x² + y² = r² cos² ✓ + r² sin² ✓ = r²

Cartésien

Polaire

dx dy

rd✓

dr dxdy = rd✓dr

✓Z ₁ ?

1

e ^y

2

2 dy

◆2

=

Z ₁

1

Z ₁

1

e ^{(x2 +y2 )2} dxdy

x = r cos ✓ y = r sin ✓ x² + y² = r² cos² ✓ + r² sin² ✓ = r²

=

Z ₁

0

Z 2⇡

0

e ^r

2

2 r d✓dr

✓Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆2

=

Z ₁

1

Z ₁

1

e ^{(x2 +y2 )2} dxdy

=

Z ₁

0

Z 2⇡

0

e ^r

2

2 r d✓dr

=

Z ₁

0

✓

e ^r

2

2 r✓

2⇡

0

◆

dr

= 2⇡

Z ₁

0

e ^r

2

2 r dr

= 2⇡

Z ₁

0

e ^u du u = r²

2 du = rdr

En intégrant par rapport à

on considère constantr ^✓

✓Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆2

= 2⇡

Z ₁

0

e ^u du

= 2⇡( e ^u) ¹

0

= 2⇡( e ¹ + e⁰)

= 2⇡

0

✓Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆2

= 2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 = p

2⇡

p1

2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 = 1

p1

2⇡

Z ₁

1

e ^{(x2 2µ)2} dx = 1

Aujourd’hui, nous avons vu

Loi exponentielle

f (x) =

( e ^x 0  x

0 sinon

X ⇠ Exp( )

F (x) =

( e ^x + 1 0  x

0 sinon

E(X) = 1

Var(X) = 1

2

Aujourd’hui, nous avons vu

Loi normale

X ⇠ N (µ, ) f (x) = 1

p2⇡ e ^{(x2 2µ)2}

Devoir: