cours 18
3.6 LOI CONTINUE 3
Au dernier cours, nous avons vu
Loi exponentielle
f (x) =
( e x 0 x
0 sinon
X ⇠ Exp( )
F (x) =
( e x + 1 0 x
0 sinon
E(X) = 1
Var(X) = 1
2
Au dernier cours, nous avons vu
Loi normale
X ⇠ N (µ, ) f (x) = 1
p2⇡ e (x2 2µ)2
Aujourd’hui, nous allons voir
✓
Loi normaleX ⇠ N (µ, )
y = (x µ)
dy = dx
= 1 p2⇡
Z 1
1
xe y
2
2 dy
x = y + µ
= 1 p2⇡
Z 1
1
( y + µ)e y
2
2 dy
= p
2⇡
Z 1
1
ye y
2
2 dy + µ 1 p2⇡
Z 1
1
e y
2
2 dy
= 1
p2⇡
Z 1
1
xe (x2 2µ)2 dx E(X)
0
X ⇠ N (µ, )
= p
2⇡
Z 1
1
ye y
2
2 dy + µ 1 p2⇡
Z 1
1
e y
2
2 dy E(X)
= p
2⇡
Z 1
1
ye y
2
2 dy + µ u = y2
2
du = ydy
= p
2⇡
Z
e u du + µ
= µ
= p
2⇡ e y
2 2
1
1 + µ
X ⇠ N (µ, )
= 1
p2⇡
Z 1
1
(x µ)2e (x2 2µ)2 dx
Var(X) y = x µ
dy = dx
= 1 p2⇡
Z 1
1
(x µ)2e y
2
2 dy
x µ = y
= 1 p2⇡
Z 1
1
( y)2e y
2
2 dy
=
2
p2⇡
Z 1
1
y2e y
2
2 dy
X ⇠ N (µ, ) Var(X) =
2
p2⇡
Z 1
1
y2e y
2
2 dy
u = y dv = ye y
2
2 dy
v = Z
ye y
2
2 dy
= Z
e wdw
= e w = e y
2 2
w = y2 2 dw = ydy du = dy
=
2
p2⇡
✓
ye y
2 2
1
1 +
Z 1
1
e y
2
2 dy
◆
X ⇠ N (µ, ) Var(X) =
2
p2⇡
Z 1
1
y2e y
2
2 dy
=
2
p2⇡
✓
ye y
2 2
1
1 +
Z 1
1
e y
2
2 dy 0 ◆
=
2
p2⇡
Z 1
1
e y
2
2 dy
= 2
✓ 1 p2⇡
Z 1
1
e y
2
2 dy
◆
= 2
X ⇠ N (µ, )
Var(X) = 2 E(X) = µ
X ⇠ N (µ, )
Comment faire pour calculer
P (X a) = 1
p2⇡
Z a
1
e (x2 2µ)2 dx
Mais la fonction n’a pas de primitive analytique Il faut donc utiliser les séries de Taylor!
Ouin…
Si X ⇠ N (µ, )
on a vu que Z = X µ
est centré réduite
E(Z) = 0 Var(Z) = 1 c’est-à-dire
et donc
Z ⇠ N (0, 1)
Il suffit donc de calculer les séries de Taylor pour une seule loi normale
Mais on ne fera pas ça…
Quelqu’un l’a déjà fait pour nous.
On va utiliser une table de la loi normale
P (Z 1, 64) ⇡ 0, 9495
P (Z a) P (Z a) = 1 P (Z a)
P (a Z b) = P (Z b) P (Z a)
Exemple
On achète une citrouille au marché. Son poids en livre suit une loi normale X ⇠ N (5, 3)Quelle est la probabilité qu’une citrouille prise au hasard ait un poids entre 6 et 7 livres?
P (6 X 7) = P
✓ 6 5
3 X 5
3 7 5 3
◆
= P
✓ 1
3 Z 2 3
◆
= P
✓
Z 2 3
◆
P
✓
Z 1 3
◆
= P (Z 0, 67) P (Z 0, 33)
= 0, 7486 0, 6293 = 0, 1193
Faites les exercices suivants
# 3.49 à 3.59
Approximation d’une loi binomiale à l’aide de la loi normale.
X ⇠ B(n, p)
E(X) = np = µ Var(X) = npq = 2
X ⇡ N (np, p
npq)
avec suffisamment grandn
Le théorème central limite.
X ⇠ B(n, p)
X ⇡ N (np, p
npq)
avec suffisamment grandn Habituellement on utilise cette approximation si
n 30 np 5 nq 5
Correction de continuité.
X ⇠ B(n, p) Y ⇠ N (np, p
npq)
P (X = a) ⇡ P
✓
a 1
2 Y a + 1 2
◆
P (X a) ⇡ P
✓
Y a + 1 2
◆
P (X < a) ⇡ P
✓
Y a 1 2
◆
Exemple
Une variable aléatoire compte le nombre de piles lors d’une série de 40 jets. On veut la probabilitéd’obtenir 20 piles.
X ⇠ B(40; 0, 5) E(X) = np = 20
X ⇠ N (20, p
10)
P (X = 20) = P (19, 5 X 20, 5)
= P
✓ 19, 5 20
p10 X 20
p10 20, 5 20 p10
◆
= P ( 0, 16 Z 0, 16)
= P (Z 0, 16) P (Z 0, 16) = 0, 1272 Var(X) = npq = 10
Faites les exercices suivants
# 3.60 et 3.61
Aujourd’hui, nous avons vu
X ⇠ N (µ, )
Var(X) = 2 E(X) = µ
Z = X µ
Z ⇠ N (0, 1)
X ⇠ B(n, p) X ⇡ N (np, p
npq)
=)