3.6 LOI CONTINUE 3

(1)

cours 18

3.6 LOI CONTINUE 3

(2)

Au dernier cours, nous avons vu

Loi exponentielle

(3)

Au dernier cours, nous avons vu

Loi exponentielle

X ⇠ Exp( )

(4)

Au dernier cours, nous avons vu

Loi exponentielle

f (x) =

( e ^x 0  x

0 sinon

X ⇠ Exp( )

(5)

Au dernier cours, nous avons vu

Loi exponentielle

f (x) =

( e ^x 0  x

0 sinon

X ⇠ Exp( )

F (x) =

( e ^x + 1 0  x

0 sinon

(6)

Au dernier cours, nous avons vu

Loi exponentielle

f (x) =

( e ^x 0  x

0 sinon

X ⇠ Exp( )

F (x) =

( e ^x + 1 0  x

0 sinon

E(X) = 1

(7)

Au dernier cours, nous avons vu

Loi exponentielle

f (x) =

( e ^x 0  x

0 sinon

X ⇠ Exp( )

F (x) =

( e ^x + 1 0  x

0 sinon

E(X) = 1

Var(X) = 1

2

(8)

Au dernier cours, nous avons vu

Loi normale

(9)

Au dernier cours, nous avons vu

Loi normale

X ⇠ N (µ, )

(10)

Au dernier cours, nous avons vu

Loi normale

X ⇠ N (µ, ) f (x) = 1

p2⇡ e ^(x^{2 2}^µ)2

(11)

Aujourd’hui, nous allons voir

✓

Loi normale

(12)

X ⇠ N (µ, )

(13)

X ⇠ N (µ, )

E(X)

(14)

X ⇠ N (µ, )

= 1

p2⇡

Z ₁

1

xe ^(x^{2 2}^µ)2 dx E(X)

(15)

X ⇠ N (µ, )

y = (x µ)

= 1

p2⇡

Z ₁

1

xe ^(x^{2 2}^µ)2 dx E(X)

(16)

X ⇠ N (µ, )

y = (x µ)

dy = dx

= 1

p2⇡

Z ₁

1

xe ^(x^{2 2}^µ)2 dx E(X)

(17)

X ⇠ N (µ, )

y = (x µ)

dy = dx

= 1

p2⇡

Z ₁

1

xe ^(x^{2 2}^µ)2 dx E(X)

(18)

X ⇠ N (µ, )

y = (x µ)

dy = dx

= 1

p2⇡

Z ₁

1

xe ^(x^{2 2}^µ)2 dx E(X)

(19)

X ⇠ N (µ, )

y = (x µ)

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

xe ^y

2

2 dy

= 1

p2⇡

Z ₁

1

xe ^(x^{2 2}^µ)2 dx E(X)

(20)

X ⇠ N (µ, )

y = (x µ)

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

xe ^y

2

2 dy

= 1

p2⇡

Z ₁

1

xe ^(x^{2 2}^µ)2 dx E(X)

(21)

X ⇠ N (µ, )

y = (x µ)

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

xe ^y

2

2 dy

= 1

p2⇡

Z ₁

1

xe ^(x^{2 2}^µ)2 dx E(X)

(22)

X ⇠ N (µ, )

y = (x µ)

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

xe ^y

2

2 dy

x = y + µ

= 1

p2⇡

Z ₁

1

xe ^(x^{2 2}^µ)2 dx E(X)

(23)

X ⇠ N (µ, )

y = (x µ)

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

xe ^y

2

2 dy

x = y + µ

= 1 p2⇡

Z ₁

1

( y + µ)e ^y

2

2 dy

= 1

p2⇡

Z ₁

1

xe ^(x^{2 2}^µ)2 dx E(X)

(24)

X ⇠ N (µ, )

y = (x µ)

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

xe ^y

2

2 dy

x = y + µ

= 1 p2⇡

Z ₁

1

( y + µ)e ^y

2

2 dy

= 1

p2⇡

Z ₁

1

xe ^(x^{2 2}^µ)2 dx E(X)

(25)

X ⇠ N (µ, )

y = (x µ)

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

xe ^y

2

2 dy

x = y + µ

= 1 p2⇡

Z ₁

1

( y + µ)e ^y

2

2 dy

= 1

p2⇡

Z ₁

1

xe ^(x^{2 2}^µ)2 dx E(X)

(26)

X ⇠ N (µ, )

y = (x µ)

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

xe ^y

2

2 dy

x = y + µ

= 1 p2⇡

Z ₁

1

( y + µ)e ^y

2

2 dy

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

= 1

p2⇡

Z ₁

1

xe ^(x^{2 2}^µ)2 dx E(X)

(27)

X ⇠ N (µ, )

y = (x µ)

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

xe ^y

2

2 dy

x = y + µ

= 1 p2⇡

Z ₁

1

( y + µ)e ^y

2

2 dy

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

= 1

p2⇡

Z ₁

1

xe ^(x^{2 2}^µ)2 dx E(X)

(28)

X ⇠ N (µ, )

y = (x µ)

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

xe ^y

2

2 dy

x = y + µ

= 1 p2⇡

Z ₁

1

( y + µ)e ^y

2

2 dy

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

= 1

p2⇡

Z ₁

1

xe ^(x^{2 2}^µ)2 dx E(X)

(29)

X ⇠ N (µ, )

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy E(X)

(30)

X ⇠ N (µ, )

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy E(X)

(31)

X ⇠ N (µ, )

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy E(X)

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ

(32)

X ⇠ N (µ, )

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy E(X)

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ u = y²

2

(33)

X ⇠ N (µ, )

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy E(X)

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ u = y²

2

du = ydy

(34)

X ⇠ N (µ, )

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy E(X)

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ u = y²

2

du = ydy

(35)

X ⇠ N (µ, )

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy E(X)

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ u = y²

2

du = ydy

(36)

X ⇠ N (µ, )

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy E(X)

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ u = y²

2

du = ydy

= p

2⇡

Z

e ^u du + µ

(37)

X ⇠ N (µ, )

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy E(X)

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ u = y²

2

du = ydy

= p

2⇡

Z

e ^u du + µ

= p

2⇡ e ^y

2 2

1

1 + µ

(38)

0

X ⇠ N (µ, )

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy E(X)

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ u = y²

2

du = ydy

= p

2⇡

Z

e ^u du + µ

= p

2⇡ e ^y

2 2

1

1 + µ

(39)

0

X ⇠ N (µ, )

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy E(X)

= p

2⇡

Z ₁

1

ye ^y

2

2 dy + µ u = y²

2

du = ydy

= p

2⇡

Z

e ^u du + µ

= µ

= p

2⇡ e ^y

2 2

1

1 + µ

(40)

X ⇠ N (µ, ) Var(X)

(41)

X ⇠ N (µ, )

= 1

p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^(x^{2 2}^µ)2 dx Var(X)

(42)

X ⇠ N (µ, )

= 1

p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Var(X) y = x µ

(43)

X ⇠ N (µ, )

= 1

p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Var(X) y = x µ

dy = dx

(44)

X ⇠ N (µ, )

= 1

p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Var(X) y = x µ

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^y

2

2 dy

(45)

X ⇠ N (µ, )

= 1

p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Var(X) y = x µ

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^y

2

2 dy

(46)

X ⇠ N (µ, )

= 1

p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Var(X) y = x µ

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^y

2

2 dy

(47)

X ⇠ N (µ, )

= 1

p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Var(X) y = x µ

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^y

2

2 dy

(48)

X ⇠ N (µ, )

= 1

p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Var(X) y = x µ

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^y

2

2 dy

(49)

X ⇠ N (µ, )

= 1

p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Var(X) y = x µ

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^y

2

2 dy

x µ = y

(50)

X ⇠ N (µ, )

= 1

p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Var(X) y = x µ

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^y

2

2 dy

x µ = y

(51)

X ⇠ N (µ, )

= 1

p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Var(X) y = x µ

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^y

2

2 dy

x µ = y

(52)

X ⇠ N (µ, )

= 1

p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Var(X) y = x µ

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^y

2

2 dy

x µ = y

= 1 p2⇡

Z ₁

1

( y)²e ^y

2

2 dy

(53)

X ⇠ N (µ, )

= 1

p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Var(X) y = x µ

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^y

2

2 dy

x µ = y

= 1 p2⇡

Z ₁

1

( y)²e ^y

2

2 dy

(54)

X ⇠ N (µ, )

= 1

p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Var(X) y = x µ

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^y

2

2 dy

x µ = y

= 1 p2⇡

Z ₁

1

( y)²e ^y

2

2 dy

=

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

(55)

X ⇠ N (µ, )

= 1

p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Var(X) y = x µ

dy = dx

= 1 p2⇡

Z ₁

1

(x µ)²e ^y

2

2 dy

x µ = y

= 1 p2⇡

Z ₁

1

( y)²e ^y

2

2 dy

=

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

(56)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

(57)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

u = y

(58)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

u = y dv = ye ^y

2

2 dy

(59)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

u = y dv = ye ^y

2

2 dy du = dy

(60)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

u = y dv = ye ^y

2

2 dy v =

Z

ye ^y

2

2 dy du = dy

(61)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

u = y dv = ye ^y

2

2 dy v =

Z

ye ^y

2

2 dy w = y²

du = dy 2

(62)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

u = y dv = ye ^y

2

2 dy v =

Z

ye ^y

2

2 dy w = y²

2 dw = ydy du = dy

(63)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

u = y dv = ye ^y

2

2 dy v =

Z

ye ^y

2

2 dy

= Z

e ^wdw

w = y² 2 dw = ydy du = dy

(64)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

u = y dv = ye ^y

2

2 dy v =

Z

ye ^y

2

2 dy

= Z

e ^wdw

= e ^w

(65)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

u = y dv = ye ^y

2

2 dy v =

Z

ye ^y

2

2 dy

= Z

e ^wdw

= e ^w = e ^y

2 2

(66)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

u = y dv = ye ^y

2

2 dy v =

Z

ye ^y

2

2 dy

= Z

e ^wdw

= e ^w = e ^y

2 2

=

2

p2⇡

✓

ye ^y

2 2

1

1 +

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆

(67)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

u = y dv = ye ^y

2

2 dy v =

Z

ye ^y

2

2 dy

= Z

e ^wdw

= e ^w = e ^y

2 2

=

2

p2⇡

✓

ye ^y

2 2

1

1 +

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆

(68)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

u = y dv = ye ^y

2

2 dy v =

Z

ye ^y

2

2 dy

= Z

e ^wdw

= e ^w = e ^y

2 2

=

2

p2⇡

✓

ye ^y

2 2

1

1 +

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆

(69)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

u = y dv = ye ^y

2

2 dy v =

Z

ye ^y

2

2 dy

= Z

e ^wdw

= e ^w = e ^y

2 2

=

2

p2⇡

✓

ye ^y

2 2

1

1 +

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆

(70)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

u = y dv = ye ^y

2

2 dy v =

Z

ye ^y

2

2 dy

= Z

e ^wdw

= e ^w = e ^y

2 2

=

2

p2⇡

✓

ye ^y

2 2

1

1 +

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆

(71)

Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

=

2

p2⇡

✓

ye ^y

2 2

1

1 +

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆

(72)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

=

2

p2⇡

✓

ye ^y

2 2

1

1 +

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆

(73)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

=

2

p2⇡

✓

ye ^y

2 2

1

1 +

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy 0 ◆

(74)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

=

2

p2⇡

✓

ye ^y

2 2

1

1 +

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy 0 ◆

=

2

p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

(75)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

=

2

p2⇡

✓

ye ^y

2 2

1

1 +

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy 0 ◆

=

2

p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

= ²

✓ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆

(76)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

=

2

p2⇡

✓

ye ^y

2 2

1

1 +

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy 0 ◆

=

2

p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

= ²

✓ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆

(77)

X ⇠ N (µ, ) Var(X) =

2

p2⇡

Z ₁

1

y²e ^y

2

2 dy

=

2

p2⇡

✓

ye ^y

2 2

1

1 +

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy 0 ◆

=

2

p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

= ²

✓ 1 p2⇡

Z ₁

1

e ^y

2

2 dy

◆

= ²

(78)

X ⇠ N (µ, )

Var(X) = ² E(X) = µ

(79)

X ⇠ N (µ, )

Comment faire pour calculer

(80)

X ⇠ N (µ, )

P (X  a)

(81)

X ⇠ N (µ, )

P (X  a) = 1

p2⇡

Z _a

1

e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

(82)

X ⇠ N (µ, )

P (X  a) = 1

p2⇡

Z _a

1

e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Mais la fonction n’a pas de primitive analytique

(83)

X ⇠ N (µ, )

P (X  a) = 1

p2⇡

Z _a

1

e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Mais la fonction n’a pas de primitive analytique Il faut donc utiliser les séries de Taylor!

(84)

X ⇠ N (µ, )

P (X  a) = 1

p2⇡

Z _a

1

e ^(x^{2 2}^µ)2 dx

Mais la fonction n’a pas de primitive analytique Il faut donc utiliser les séries de Taylor!

Ouin…

(85)

Si

(86)

Si _X _⇠ _N _(µ, ₎

(87)

Si _X _⇠ _N _(µ, ₎

on a vu que Z = X µ

est centré réduite

(88)

Si _X _⇠ _N _(µ, ₎

est centré réduite c’est-à-dire

(89)

Si _X _⇠ _N _(µ, ₎

E(Z) = 0

c’est-à-dire

(90)

Si _X _⇠ _N _(µ, ₎

E(Z) = 0 Var(Z) = 1 c’est-à-dire

(91)

Si _X _⇠ _N _(µ, ₎

et donc

(92)

Si _X _⇠ _N _(µ, ₎

et donc

Z ⇠ N (0, 1)

(93)

Si _X _⇠ _N _(µ, ₎

et donc

Z ⇠ N (0, 1)

Il suffit donc de calculer les séries de Taylor pour une seule loi normale

(94)

Mais on ne fera pas ça…

(95)

Quelqu’un l’a déjà fait pour nous.

(96)

On va utiliser une table de la loi normale

(97)

On va utiliser une table de la loi normale

(98)

P (Z  1, 64)

(99)

P (Z  1, 64)

(100)

P (Z  1, 64)

(101)

P (Z  1, 64) ⇡ 0, 9495

(102)

P (Z  a)

(103)

P (Z  a) P (Z a)

(104)

P (Z  a) P (Z a)

(105)

P (Z  a) P (Z a) = 1 P (Z  a)

(106)

P (Z  a) P (Z a) = 1 P (Z  a)

P (a  Z  b)

(107)

P (Z  a) P (Z a) = 1 P (Z  a)

P (a  Z  b)

(108)

P (Z  a) P (Z a) = 1 P (Z  a)

P (a  Z  b) = P (Z  b) P (Z  a)

(109)

Exemple

On achète une citrouille au marché. Son poids en livre suit une loi normale _X _⇠ _N _(5, ₃₎

(110)

Exemple

Quelle est la probabilité qu’une citrouille prise au hasard ait un poids entre 6 et 7 livres?

(111)

Exemple

P (6  X  7)

(112)

Exemple

P (6  X  7) = P

✓ 6 5

3  X 5

3  7 5 3

◆

(113)

Exemple

P (6  X  7) = P

✓ 6 5

3  X 5

3  7 5 3

◆

(114)

Exemple

P (6  X  7) = P

✓ 6 5

3  X 5

3  7 5 3

◆

(115)

Exemple

P (6  X  7) = P

✓ 6 5

3  X 5

3  7 5 3

◆

= P

✓ 1

3  Z  2 3

◆

(116)

Exemple

P (6  X  7) = P

✓ 6 5

3  X 5

3  7 5 3

◆

= P

✓ 1

3  Z  2 3

◆

= P

✓

Z  2 3

◆

P

✓

Z  1 3

◆

(117)

Exemple

P (6  X  7) = P

✓ 6 5

3  X 5

3  7 5 3

◆

= P

✓ 1

3  Z  2 3

◆

= P

✓

Z  2 3

◆

P

✓

Z  1 3

◆

= P (Z  0, 67) P (Z  0, 33)

(118)

Exemple

P (6  X  7) = P

✓ 6 5

3  X 5

3  7 5 3

◆

= P

✓ 1

3  Z  2 3

◆

= P

✓

Z  2 3

◆

P

✓

Z  1 3

◆

= P (Z  0, 67) P (Z  0, 33)

= 0, 7486 0, 6293

(119)

Exemple

P (6  X  7) = P

✓ 6 5

3  X 5

3  7 5 3

◆

= P

✓ 1

3  Z  2 3

◆

= P

✓

Z  2 3

◆

P

✓

Z  1 3

◆

= P (Z  0, 67) P (Z  0, 33)

= 0, 7486 0, 6293

(120)

Exemple

P (6  X  7) = P

✓ 6 5

3  X 5

3  7 5 3

◆

= P

✓ 1

3  Z  2 3

◆

= P

✓

Z  2 3

◆

P

✓

Z  1 3

◆

= P (Z  0, 67) P (Z  0, 33)

= 0, 7486 0, 6293 = 0, 1193

(121)

Faites les exercices suivants

# 3.49 à 3.59

(122)

Approximation d’une loi binomiale à l’aide de la loi normale.

X ⇠ B(n, p)

(123)

Approximation d’une loi binomiale à l’aide de la loi normale.

X ⇠ B(n, p) avec suffisamment grandn

(124)

Approximation d’une loi binomiale à l’aide de la loi normale.

X ⇠ B(n, p)

E(X) = np

avec suffisamment grandn

(125)

Approximation d’une loi binomiale à l’aide de la loi normale.

X ⇠ B(n, p)

E(X) = np Var(X) = npq

(126)

Approximation d’une loi binomiale à l’aide de la loi normale.

X ⇠ B(n, p)

E(X) = np = µ Var(X) = npq

(127)

Approximation d’une loi binomiale à l’aide de la loi normale.

X ⇠ B(n, p)

E(X) = np = µ Var(X) = npq = ²

(128)

Approximation d’une loi binomiale à l’aide de la loi normale.

X ⇠ B(n, p)

Le théorème central limite.

(129)

Approximation d’une loi binomiale à l’aide de la loi normale.

X ⇠ B(n, p)

X ⇡ N (np, p

npq)

Le théorème central limite.

(130)

X ⇠ B(n, p) avec suffisamment grandn

(131)

X ⇠ B(n, p) avec suffisamment grandn Habituellement on utilise cette approximation si

(132)

n 30

(133)

n 30 np 5

(134)

n 30 np 5 nq 5

(135)

X ⇠ B(n, p)

X ⇡ N (np, p

npq)

avec suffisamment grandn Habituellement on utilise cette approximation si

n 30 np 5 nq 5

(136)

Correction de continuité.

X ⇠ B(n, p) Y ⇠ N (np, p

npq)

(137)

X ⇠ B(n, p) Y ⇠ N (np, p

npq)

P (X = a) ⇡ P

✓

a 1

2  Y  a + 1 2

◆

(138)

X ⇠ B(n, p) Y ⇠ N (np, p

npq)

P (X = a) ⇡ P

✓

a 1

2  Y  a + 1 2

◆

P (X  a) ⇡ P

✓

Y  a + 1 2

◆

(139)

X ⇠ B(n, p) Y ⇠ N (np, p

npq)

P (X = a) ⇡ P

✓

a 1

2  Y  a + 1 2

◆

P (X  a) ⇡ P

✓

Y  a + 1 2

◆

P (X < a) ⇡ P

✓

Y  a 1 2

◆

(140)

Exemple

Une variable aléatoire compte le nombre de piles lors d’une série de 40 jets. On veut la probabilité

d’obtenir 20 piles.

(141)

Exemple

X ⇠ B(40; 0, 5)

(142)

Exemple

X ⇠ B(40; 0, 5) E(X) = np = 20

(143)

Exemple

X ⇠ B(40; 0, 5) E(X) = np = 20

Var(X) = npq = 10

(144)

Exemple

X ⇠ B(40; 0, 5) E(X) = np = 20

X ⇠ N (20, p

10)

Var(X) = npq = 10

(145)

Exemple

X ⇠ B(40; 0, 5) E(X) = np = 20

X ⇠ N (20, p

10)

P (X = 20) = P (19, 5  X  20, 5)

Var(X) = npq = 10

(146)

Exemple

X ⇠ B(40; 0, 5) E(X) = np = 20

X ⇠ N (20, p

10)

P (X = 20) = P (19, 5  X  20, 5)

= P

✓ 19, 5 20

p10  X 20

p10  20, 5 20 p10

◆ Var(X) = npq = 10

(147)

Exemple

X ⇠ B(40; 0, 5) E(X) = np = 20

X ⇠ N (20, p

10)

P (X = 20) = P (19, 5  X  20, 5)

= P

✓ 19, 5 20

p10  X 20

p10  20, 5 20 p10

◆

= P ( 0, 16  Z  0, 16)

Var(X) = npq = 10

(148)

Exemple

X ⇠ B(40; 0, 5) E(X) = np = 20

X ⇠ N (20, p

10)

P (X = 20) = P (19, 5  X  20, 5)

= P

✓ 19, 5 20

p10  X 20

p10  20, 5 20 p10

◆

= P ( 0, 16  Z  0, 16)

= P (Z  0, 16) P (Z  0, 16)

Var(X) = npq = 10

(149)

Exemple

X ⇠ B(40; 0, 5) E(X) = np = 20

X ⇠ N (20, p

10)

P (X = 20) = P (19, 5  X  20, 5)

= P

✓ 19, 5 20

p10  X 20

p10  20, 5 20 p10

◆

= P ( 0, 16  Z  0, 16)

= P (Z  0, 16) P (Z  0, 16) = 0, 1272 Var(X) = npq = 10

(150)

Faites les exercices suivants

# 3.60 et 3.61

(151)

Aujourd’hui, nous avons vu

(152)

Aujourd’hui, nous avons vu

X ⇠ N (µ, )

(153)

Aujourd’hui, nous avons vu

X ⇠ N (µ, ) E(X) = µ

(154)

Aujourd’hui, nous avons vu

X ⇠ N (µ, )

Var(X) E(X) = µ

(155)

Aujourd’hui, nous avons vu

X ⇠ N (µ, )

Var(X) = ² E(X) = µ

(156)

Aujourd’hui, nous avons vu

X ⇠ N (µ, )

Var(X) = ² E(X) = µ

Z = X µ

(157)

Aujourd’hui, nous avons vu

X ⇠ N (µ, )

Var(X) = ² E(X) = µ

Z = X µ

Z ⇠ N (0, 1)

(158)

Aujourd’hui, nous avons vu

X ⇠ N (µ, )

Var(X) = ² E(X) = µ

Z = X µ

Z ⇠ N (0, 1)

(159)

Aujourd’hui, nous avons vu

X ⇠ N (µ, )

Var(X) = ² E(X) = µ

Z = X µ

Z ⇠ N (0, 1)

X ⇠ B(n, p) X ⇡ N (np, p

npq)

=)

(160)

Devoir:

3.49 à 3.61