Équations Différentielles 3M OSpam

Équations Différentielles 3M OS _pam

Gjon Koliqi

Gymnase de Beaulieu

2019

Table des matières

Préface 5

1 Fonctions implicites et notion de différentielle et 7

1.1 Fonctions définies implicitement . . . . 7

1.2 Différentielle d’une fonction . . . . 8

1.3 Exercices . . . . 14

2 Notions de base sur les équations différentielles et exemples de modélisations 15 2.1 Définitions . . . . 15

2.2 Les principaux problèmes de la théorie des équations différentielles . . . . 16

2.3 Quelques modélisations . . . . 17

2.4 Exercices . . . . 21

3 Équations différentielles du premier ordre 23 3.1 Généralités . . . . 23

3.2 Champ des directions . . . . 23

3.3 Résolution d’équations simples . . . . 25

3.4 Trajectoires orthogonales . . . . 31

3.5 Exercices . . . . 34

4 Équations linéaires homogènes à coefficients constants d’ordre deux 37 4.1 Définitions . . . . 37

4.2 Problème Cauchy . . . . 38

4.3 Structure des solutions de l’équation homogène . . . . 38

4.4 Wronskien . . . . 39

4.5 Dimension de l’espace des solutions . . . . 41

4.6 Résolution de l’équation homogène . . . . 42

4.7 Remarques sur les équations d’ordre supérieur . . . . 44

4.8 Exercices . . . . 47

5 Équations linéaires non homogènes à coefficients constants 49 5.1 Définitions . . . . 49

5.2 Problème Cauchy . . . . 49

5.3 Structure des solutions de l’équation non homogène . . . . 50

5.4 Résolution de l’équation non homogène . . . . 50

5.5 Exercices . . . . 56

Réponses des exercices 57

3

Préface

Les équations différentielles constituent un chapitre clef des mathématiques. Elles sont essentielles pour l’analyse et la solution des problèmes les plus complexes des sciences fondamentales, de l’ingénierie, de l’éco- nomie, de la sociologie etc. Le deuxième chapitre contient des exemples de modélisation, extensibles à souhait, aboutissant à de telles équations.

Nous avons essayé de sensibiliser la lectrice à des questions fondamentales de la théorie des équations différentielles, comme par exemple celui de l’existence et l’unicité de la solution du problème Cauchy, l’appli- cation des notions de l’algèbre linéaire aux équations homogènes etc. Tout cela en tenant compte du bagage mathématique des élèves de troisième année gymnase.

Dans chaque chapitre la lectrice trouvera une partie théorique avec les définitions et propositions de base, des nombreux exemples et suffisamment d’exercices afin d’approfondir et mettre à l’épreuve ses acquisitions.

Les réponses de tous les exercices se trouvent en fin de brochure.

5

Chapitre 1

Fonctions implicites et notion de différentielle et

Nous avons l’habitude des fonctions définies explicitement, c’est à dire sous la forme f : X → Y , x 7→ f (x).

Exemple 1.

1. La fonction de R → R définie par x 7→ x

2. La fonction de R\{ 2 } → R définie par x 7→ x

x − 2 3. La fonction de R → R définie par x 7→ sin(x

)

Il existe une autre façon de définir une fonction, dite implicite.

1.1 Fonctions définies implicitement

Considérons la relation xy + x − 2y − 1 = 0. Si l’on considère x 6 = 2 elle définit la variable y comme fonction de la variable x : y(x) = 1 − x

x − 2 ou bien si l’on considère y 6 = − 1 elle définit la variable x comme fonction de la variable y : x(y) = 2y + 1

y + 1 .

Définition 1. On dit que la relation F(x,y) = 0 définit implicitement y comme fonction de x, y(x), dans un ensemble X ⊂ R si :

∀ x ∈ X, F (x,y(x)) = 0

7

8 Chapitre 1. Fonctions implicites et notion de différentielle et

ou bien x comme fonction de y, x(y), dans un ensemble Y ⊂ R si :

∀ y ∈ Y, F (x(y), y) = 0

La situation n’est pas toujours aussi simple.

Exemple 2. La relation x

+ y

+ 1 = 0 ne définit aucune fonction étant donné que cette égalité est impossible.

Exemple 3. La relation y

+ y

+ y

+ y

+ y + x = 0 définit de façon unique y comme fonction de x de R → R mais une écriture explicite d’une telle fonction n’est pas aisée. La même relation définit aussi de façon unique x comme fonction de y et l’écriture explicite est ici facile : x(y) = − (y

+ y

+ y

+ y

+ y) de R → R.

Exemple 4. La relation x

+ y

− 1 = 0 définit, pour x ∈ [ − 1; 1] la fonction y

(x) = √ 1 − x

de [ − 1; 1] → [0; 1] mais aussi la fonction y

(x) = − √

1 − x

de [ − 1; 1] → [ − 1; 0] ou bien la fonction y

(x) =

 



√ 1 − x

si x ∈ [ − 1; 0]

− √

1 − x

si x ∈ ]0; 1]

de [ − 1; 1] → [ − 1; 1].

Ici ∀ x ∈ [ − 1; 1], x

+ [y

(x)]

− 1 = 0 mais aussi ∀ x ∈ [ − 1; 1], x

+ [y

(x)]

− 1 = 0 et ∀ x ∈ [ − 1; 1], x

+ [y

(x)]

− 1 = 0.

Conclusion. Une relation F (x; y) = 0 peut, dans certaines conditions, définir une des variables x ou y comme fonction de l’autre. Cette définition n’est pas toujours unique.

1.2 Différentielle d’une fonction

1.2.1 Cas des fonctions explicites

Commençons par des exemples :

Exemple 5. Posons nous cette question, en apparence simple : De combien varie l’aire d’un cercle de rayon r si son rayon varie d’une petite quantité ∆r ? Par exemple de combien varie l’aire d’un cercle de rayon de 10 cm si son rayon augmente de 0.1 cm ?

Solution. En notant par A(r) = πr

l’aire du cercle de rayon r et par ∆A(r) la variation de l’aire correspondant à la variation du rayon de ∆r, on obtient :

∆A(r) = A(r + ∆r) − A(r) = π(r + ∆r)

− πr

= π(r

+ 2r∆r + (∆r)

) − πr

= 2πr · ∆r + π · (∆r)

1.2. Différentielle d’une fonction 9 Si ∆r est vraiment petit, alors (∆r)

l’est encore plus, par exemple si ∆r = 0.1 alors (∆r)

= 0.01. On comprend alors que pour de telles valeurs de ∆r, pour le calcul de ∆A(r), on peut se contenter du terme linéaire en ∆r, 2πr · ∆r. En effet pour r = 10 cm et ∆r = 0.1 cm on obtient les calculs suivants :

∆A(r) = 0.659734 et 2πr · ∆r = 0.628318, pour le même r et pour ∆r = 0.01 cm on obtient ∆A(r) = 0.063146 et 2πr · ∆r = 0.062832.

Exemple 6. De combien varie le volume d’une sphère de rayon r si son rayon varie d’une petite quantité ∆r ? Solution. Notons par V (r) = 4

3 πr

le volume de la sphère de rayon r et par ∆V (r) la variation de volume correspondant à la variation du rayon de ∆r, on obtient :

∆V (r) = V (r + ∆r) − V (r) = 4

3 π(r + ∆r)

− 4

3 πr

= 4πr

∆r + 4πr(∆r)

+ 4 3 π(∆r)

Pour r = 10 cm et ∆r = 0.01 cm on obtient les calculs suivants ∆V (r) = 12.578941 et 4πr

∆r = 12.566370.

Remarque. Dans les deux cas nous pouvons nous contenter de la partie linéaire de la variation de l’aire ou du volume. En plus dans les deux exemples le coefficient de ∆r dans la partie linéaire de l’expression pour

∆A(r) et ∆V (r) est la dérivée de A(r) ou bien V (r).

Exemple 7. La situation peut être plus compliquée. De combien varie la valeur de la fonction y = ln(x) si sa variable x varie de ∆x ?

Solution. Comme précédemment, on peut écrire :

∆y(x) = ln(x + ∆x) − ln(x)

Malheureusement nous n’avons plus de formules simples pour continuer le calcul comme dans les cas précé- dents. En essayant de généraliser la remarque on peut écrire :

∆y(x) = ln(x + ∆x) − ln(x) ≈ (ln(x))

∆x = 1 x ∆x Pour x = 2 et ∆x = 0.01 on obtient ∆y ≈ 1

2 · 0.01 = 0.005. La valeur exacte est ∆y = 0.00498754.

Ce résultat n’est pas dû au hasard. Considérons les cas général d’une fonction y : X → Y qu’on va supposer dérivable en x ∈ X. De l’égalité bien connue :

y

(x) = lim

∆x→0

∆y

∆x on peut écrire, pour ∆x petit :

y

(x) ≈ ∆y

∆x ou encore :

∆y ≈ y

(x)∆x

Définition 2. Soit y : X → Y une fonction dérivable en x ∈ X. La fonction linéaire de la variable ∆x définie par :

∆x 7→ y

(x)∆x de R → R

est appelée différentielle de la fonction y. Elle est notée par dy(x) ou dy.

On peut donc écrire : dy = y

(x)∆x

La différentielle de la fonction identité, y(x) = x, est facile à déterminer : d(y(x)) = dx = (x)

· ∆x = ∆x

GK, Beaulieu, 2019

10 Chapitre 1. Fonctions implicites et notion de différentielle et

Ceci nous permet de dire que la différentielle dx de la variable indépendante x est égale à sa variation ∆x : dx = ∆x

En utilisant ce dernier résultat on peut écrire la définition de la différentielle d’une fonction comme : dy = y

(x)dx

et donc la dérivée d’une fonction comme :

y

(x) = dy dx

L’égalité dy

dx = lim

∆x→0

∆y

∆x par sa symétrie, peut aider à mémoriser tout cela.

Les règles de dérivation donnent immédiatement des règles de différentiation (u et v sont des fonctions) :

1. d(ku) = kd(u) 2. d(u ± v) = du ± dv 3. d(uv) = udv + vdu 4. d( u

v ) = vdu − udv v

5. d(u(v)) = u

(v)dv

La dernière propriété est très importante. En effet l’égalité d(u(v)) = u

(v)dv comparée à l’égalité d(u(x)) = u

(x)dx montre que de la différentielle reste invariante par rapport au fait que v est la va- riable indépendante ou bien fonction d’une autre variable. Par exemple considérons la fonction de la variable x, u(x) = sin(x). Sa différentielle est :

du = cos(x)dx

Si l’on considère maintenant la variable x comme fonction d’une autre variable, disons t, x = v(t) alors on peut considérer u comme fonction composée de t, u(t) = sin(v(t)). Sa différentielle est alors :

du = [sin(v(t))]

dt = cos(v(t))v

(t)dt = cos(v(t))(v

(t)dt) = cos(v(t))dv(t) = cos(x)dx

Exemple 8. Trouver dy dans chaque cas :

1. y = x

, dy = 2xdx.

2. y = sin(x), dy = cos(x)dx

3. y = x

+ 4x

− 5x + 6, dy = d(x

) + 4d(x

) − 5dx = (3x

+ 8x − 5)dx

4. y = (2x

+ 5)

, dy =

(2x

+ 5)

d(2x

+ 5) =

(2x

+ 5)

· 6x

dx = 9x

(2x

+ 5)

dx 5. y = ln( 1

x ), dy = 1

1 x

d( 1

x ) = x( − 1

x

)dx = − 1

x dx = − dx x

La différentielle d’une fonction possède une interprétation géométrique simple :

1.2. Différentielle d’une fonction 11

La différentielle d’une fonction y(x) au point x n’est rien d’autre que la variation, correspondant à ∆x, de la fonction affine passant par le point (x; y(x)) et de pente y

(x), ou bien de façon équivalente, la partie linéaire de la variation de la fonction y(x) lors d’une variation ∆x de la variable indépendante x.

La notion de différentielle permet des calculs approchés des valeurs de fonctions dérivables. En effet, de l’égalité approximative ∆f (x) = f (x + ∆x) − f (x) ≈ f

(x) · ∆x on obtient :

f (x + ∆x) ≈ f (x) + f

(x) · ∆x

Ainsi dans les cas où f (x) et f

(x) sont connues, ou bien faciles à calculer, pour une certaine valeur de x, on peut rapidement évaluer la valeur de la fonction pour une valeur de sa variable proche de x.

Exemple 9.

1. Calculer une valeur approchée de tan( 11π 40 ).

On remarque d’abord que 11π 40 = π

4 + π

40 . On peut donc trouver une valeur approchée de tan( 11π 40 ) en calculant approximativement la variation de la fonction tan(x) autour du point x = π

4 correspondant à la variation de la variable x de ∆x = π

40 . En effet de tan(x + ∆x) ≈ tan(x) + tan

(x) · ∆x = tan(x) + (1 + tan

(x)) · ∆x, on obtient :

tan( 11π

40 ) = tan( π 4 + π

40 ) ≈ tan( π

4 ) + (1 + tan

( π 4 )) · π

40 = 1 + 2 · π

40 = 1.15708 La valeur exacte étant 1.17085.

2. Établir la formule approchée pour t « petit » : (1 + t)

≈ 1 + α · t.

Comme ci-dessus, on considère la fonction f (x) = x

. Nous avons donc que : (x + ∆x)

≈ x

+ αx

· ∆x

En appliquant ceci pour x = 1 et ∆x = t on obtient : (1 + t)

≈ 1 + α · t

Cette formule est très utilisée. Pour α = 2, 1

2 et − 1 on obtient : (1 + t)

≈ 1 + 2t, √

1 + t ≈ 1 + 1

2 t, 1

1 + t ≈ 1 − t.

GK, Beaulieu, 2019

12 Chapitre 1. Fonctions implicites et notion de différentielle et

1.2.2 Cas des fonctions implicites

Afin de déterminer la dérivée ou bien la différentielle d’une fonction y(x) définie implicitement par une relation F (x; y) = 0 on peut utiliser une des méthodes suivantes :

1. On écrit y(x) explicitement, si cela est possible, et ensuite on détermine sa dérivée ou sa différentielle.

Cette méthode n’est pas recommandée.

2. En considérant y fonction de x on dérive la relation F (x; y) = 0 par rapport à x après quoi on définit y

. Cette méthode est appelée dérivation implicite. Cette méthode exige la décision préalable consistant à considérer une des variables comme fonction de l’autre.

3. En vertu de l’invariance de la différentielle on différencie la relation F (x; y) = 0 sans devoir décider laquelle des variables est fonction de l’autre. Cette méthode est la plus recommandée.

Exemple 10. Reprenons l’exemple de la fonction définie implicitement par la relation : xy + x − 2y − 1 = 0

et cherchons la dérivée et la différentielle de la fonction y(x) avec les trois méthodes.

Méthode 1. On explicite y(x) : y(x) = 1 − x

x − 2 , il vient donc : y

(x) = ( − 1) · (x − 2) − (1 − x) · 1

(x − 2)

= 1

(x − 2)

et :

dy = 1 (x − 2)

dx

Méthode 2. On dérive la relation xy + x − 2y − 1 = 0 en pensant à y comme une fonction de x : 1 · y(x) + x · y

(x) + 1 − 2 · y

(x) = 0

De cette dernière égalité nous pouvons isoler y

(x) :

y

(x) = − y + 1 x − 2 et la différentielle est :

dy = − y + 1 x − 2 dx

Méthode 3. On différencie la relation xy + x − 2y − 1 = 0 sans choisir si considérer y comme fonction de x ou x comme fonction de y, après quoi on obtient :

ydx + xdy + dx − 2dy = 0 d’où :

(x − 2)dy = − (y + 1)dx (*) et enfin :

dy = − y + 1 x − 2 dx De cette dernière égalité on peut retrouver la dérivée : y

= dy

dx = − y + 1 x − 2 .

Note importante : De toutes les égalités obtenues dans cet exemple celle ( ∗ ) est de loin la plus souple

parce que :

1.2. Différentielle d’une fonction 13

— Elle est la plus facile à obtenir.

— Elle est symétrique vis à vis des variables x et y. En effet dans cette égalité on peut voir y comme fonc- tion de x mais aussi x comme fonction de y. Nous ne somme donc pas obligés de décider préalablement laquelle des variables sera considérée fonction de l’autre. Ceci va s’avérer important pour la suite.

— Selon le besoin, nous pouvons immédiatement calculer :

y

(x) = dy

dx = − y + 1

x − 2 , dy = − y + 1

x − 2 dx, x

(y) = dx

dy = − x − 2

y + 1 , dx = − x − 2 y + 1 dy Exemple 11.

1. Trouver y

(x) et x

(y) des fonctions définies implicitement par : x

y − xy

+ x

+ y

= 0

En différenciant la relation on trouve :

2xydx + x

dy − (y

dx + 2xydy) + 2xdx + 2ydy = 0 D’où :

(x

− 2xy + 2y)dy = (y

− 2xy − 2x)dx Donc :

y

(x) = dy

dx = y

− 2xy − 2x

x

− 2xy + 2y et x

(y) = dx

dy = x

− 2xy + 2y y

− 2xy − 2x 2. Trouver y

(x) et x

(y) au point ( − 1; 1) des fonctions définies implicitement par :

x

y + 3y − 4 = 0 En différenciant la relation on trouve :

2xydx + x

dy + 3dy = 0 ou bien

(x

+ 3)dy = − 2xydx ou bien encore (en évaluant au point donné) :

2dy = dx Donc :

y

( − 1) = dy dx = 1

2 et x

(1) = dx dy = 2

GK, Beaulieu, 2019

14 Chapitre 1. Fonctions implicites et notion de différentielle et

1.3 Exercices

1

Les relations y

16x = 0 et 4x +

xy = 0 défi- nissent implicitement y comme fonction de x. Déter- miner dans les deux cas l’ensemble de définition et leur forme explicite. Les fonctions sont-elles identiques ?

Les relations 9y−4x

= 0 et 3

y = 2x définissent im- plicitement y comme fonction de x. Déterminer dans les deux cas l’ensemble de définition et leur forme ex- plicite. Les fonctions sont-elles identiques ?

3

Écrire sous forme explicite trois fonctions définies par la relation : x

+ y

= 1.

4

Écrire sous forme explicite deux fonctions définies par la relation : (x

+ y

)

= x

y

.

5

En utilisant la dérivation implicite, calculer y

(x) pour chaque cas :

1. x

y

xy

+ x

+ y

= 0 2. x

xy + y

= 3 3. x

y + xy

= 2

4. y

+ 3y

4x

5x + 1 = 0 5. (x

+ y

)

= x

y

6

En utilisant la dérivation implicite, calculer y

(1) et y

(1), étant donné x

y + xy

= 2.

7

Montrer que les courbes 5y

2x + y

x

y = 0 et 2y + 5x + x

x

y

= 0 se coupent perpendiculaire- ment à l’origine.

8

Pour les courbes suivantes chercher l’équation de la tangente au point M indiqué.

1. x

+ xy + y

= 3, M (1; 1) (ellipse) 2. x

+ 2xy

y

+ x = 2, M (1; 2) (hyperbole) 3. x

+ y

= (2x

+ 2y

x)

, M(0;

) (cardioïde) 4. x

+ y

= 4, M (

2

2; 2

2) (astroïde) 5. 2(x

+ y

)

= 25(x

y

), M(3; 1) (lemniscate) 6. y

(y

4) = x

(x

5), M (0;

2) (courbe du

diable)

9

Calculer les différentielles des fonctions suivantes : 1. f(x) = (5

x)

2. g(x) = e

3. h(x) = sin(x)

x 4. i(x) = cos(bx

) 5. j(x) = arccos(2x)

6. k(x) = ln(tan(x)) 7. l(x) = x

+ 2x + 1

x

+ 3

8. m(x) = cos

(2x) + sin(3x) 9. n(x) = e

+ arcsin(2x)

Différencier les relations suivantes et mettre le résul-

tat sous la forme P (x; y)dy + Q(x; y)dx = 0.

1. xy + x

2y = 5

2. x

y

2x

y + 3xy

8xy = 6 3. 2x

y

3y x = 8 4. 2xy

+ 3x

y = 1 5. xy = sin(x

y)

6. arctan(y/x) = ln(x

+ y

) 7. x

ln(y) + y

ln(x) = 2

11

Utiliser la différentielle pour calculer la valeur appro- chée de :

1.

17 2.

1020 3. (5.01)

4. 1 0.98 5. cos(59

) 6. tan(44

)

12

Si un aviateur fait le tour de la terre en avion, à une hauteur 2 km au dessus de l’équateur, combien de ki- lomètres parcourt-il plus qu’une personne qui voyage le long de l’équateur ?

13

Une plaque circulaire de diamètre 25 cm se dilate sous l’influence de la chaleur jusqu’à avoir un diamètre de 25.3 cm. Trouver la valeur approchée de l’augmenta- tion de l’aire.

14

Une sphère de glace d’un rayon de 10 cm fond jusqu’à

avoir un rayon de 9.8 cm. Calculer la valeur approchée

de la diminution du volume et de l’aire.

Chapitre 2

Notions de base sur les équations différentielles et exemples de

modélisations

2.1 Définitions

Définition 3. Une équation différentielle est une équation, dont l’inconnue est une fonction, comportant au moins une des dérivées de la fonction inconnue.

Exemple 12. Les équations suivantes sont des équations différentielles.

dy

dx = 5x + 3 e

y

+ 2(y

)

= 1 4y

+ (sin(x))y

+ 5xy = 0 (y

)

+ 3(y

)

+ y

(y

)

= 5x

Définition 4. L’ordre d’une équation différentielle est le plus grand parmi les ordres des dérivées de la fonction inconnue figurant dans l’équation.

Exemple 13. Les équations de l’exemple précédent sont respectivement d’ordre 1, 2, 3 et 2.

Notation. Pour les dérivées on utilise souvent les notations suivantes : y

, y

, y

, y

, y

, ... etc.

ou bien

dy dx , d

y

dx

, d

y dx

, d

y

dx

, d

y

dx

, ... etc.

Les parenthèses sont utilisée afin d’éliminer la confusion avec les puissances.

Définition 5. Une solution dans un intervalle I d’une équation différentielle de fonction inconnue y de la variable x est une fonction y : I → R vérifiant l’équation pour chaque x ∈ I.

Résoudre une équation veut dire trouver toutes les solutions de l’équation.

15

16 Chapitre 2. Notions de base sur les équations différentielles et exemples de modélisations Exemple 14.

1. La fonction y(x) = Asin(2x) + Bcos(2x), A,B ∈ R est-elle une solution de l’équation y

+ 4y = 0 ? Par calcul direct on obtient :

y

(x) = 2Acos(2x) − 2Bsin(2x), y

(x) = − 4Asin(2x) − 4Bcos(2x).

D’où, ∀ x ∈ R , nous avons :

y

(x) + 4y(x) = ( − 4Asin(2x) − 4Bcos(2x)) + 4(Asin(2x) + Bcos(2x)) = 0

La fonction y(x) = Asin(2x) + Bcos(2x), A,B ∈ R vérifie donc l’équation sur R . Cette équation admet une infinité de solutions étant donné que A et B peuvent être quelconques.

2. On considère l’équation (y

)

+ y

= 0. Il est évident que cette équation admet uniquement la solution y(x) = 0.

3. La fonction y(x) = x

+ 1 est-elle solution de l’équation (y

)

+ y

+ 1 = 0 ? On voit immédiatement que l’équation ne peut admettre aucune solution étant donné que son côté gauche ne peut s’annuler dans R .

2.2 Les principaux problèmes de la théorie des équations différen- tielles

Définition 6. On appelle problème à conditions initiales (ou problème Cauchy) la recherche des solutions d’une équation différentielle d’ordre n satisfaisant les conditions :

y(x

) = y

, y

(x

) = y

, · · · , y

(x

) = y

(x

, y

, y

, · · · , y

∈ R )

A noter que la fonction y(x) et toutes ses dérivées sont évaluées au même point, x

.

On appelle problème à conditions aux limites (ou problème Dirichlet) la recherche des solutions d’une équation différentielle d’ordre n satisfaisant les conditions :

y(x

) = y

, y(x

) = y

, · · · , y(x

) = y

(x

, x

, · · · , x

, y

, y

, · · · , y

∈ R) Exemple 15.

1. Le problème suivant :

Résoudre l’équation y

+ 2y

= e

avec les conditions y(0) = 1 et y

(0) = 2 est un problème à conditions initiales (problème Cauchy).

2. Le problème suivant :

Résoudre l’équation y

+ 2y

= e

avec les conditions y(0) = 1 et y(1) = 2 est un problème à conditions aux limites (problème Dirichlet).

Remarques.

1. Le problème Cauchy trouve son origine dans les équations d’ordre 2 de la mécanique. Il s’agit de

déterminer la trajectoire d’un point matériel connaissant les forces auxquelles il est soumis à tout

moment, sa position (y(x

) = y

) et la vitesse (y

(x

) = y

) à un moment considéré comme moment

initial (x

). Le problème Cauchy admet très souvent une solution unique.

2.3. Quelques modélisations 17 2. Le problème Dirichlet a une origine plutôt géométrique, on cherche des solutions de l’équation dont le graphe passe par des points déterminés ((x

; y

), (x

; y

), etc.). Le problème Dirichlet peut ne pas admettre de solutions ou bien plusieurs en fonction des conditions aux limites.

2.3 Quelques modélisations

Les équations différentielles trouvent des d’applications dans presque tous les domaines. Ceci parce que beaucoup de phénomènes peuvent se modéliser au moyen de telles équations. Nous allons voir ici quelques exemples des plus simples.

Problème 1. Évolution d’une population avec le temps.

On suppose d’habitude que le taux de variation instantané du nombre d’individus dans une population d’êtres vivants (bactéries par exemple) à un moment donné est proportionnel au nombre d’individus vivants au même moment.

Comment modéliser l’évolution d’une telle population avec le temps ?

Solution : Soit N (t) la fonction cherchée. Considérons un moment fixé t et un moment très proche de t, t + ∆t. Pendant ce petit laps de temps de ∆t, la variation de N est de :

N (t + ∆t) − N (t) La variation moyenne pendant l’intervalle [t; t + ∆t] est :

N (t + ∆t) − N (t)

∆t

Plus ∆t est petit et mieux ce dernier rapport caractérise le taux de variation instantané au moment t. Il est logique donc de considérer que le taux de variation instantanée au moment t est :

∆t

lim

N (t + ∆t) − N (t)

∆t = N

(t)

D’après notre supposition ceci est proportionnel à N (t). Nous avons donc pour N (t) l’équation :

N

(t) = K · N (t)

K étant un coefficient de proportionnalité dépendant de la population concrète étudiée.

Il est évident que le nombre d’individus au moment quelconque t est influencé aussi par le nombre initial (t = 0) d’individus. En notant ce nombre par N

, nous devons donc résoudre le problème suivant :

Chercher les solutions de l’équation différentielle N

(t) = KN (t) avec la condition initiale N (0) = N

. Il s’agit d’un problème à valeur initiale ou problème Cauchy.

La solution en est simple. Tout d’abord on écrit l’équation sous la forme : dN

dt = KN ou bien

dN N = Kdt

GK, Beaulieu, 2019

18 Chapitre 2. Notions de base sur les équations différentielles et exemples de modélisations En intégrant les deux côtés on obtient

ln(N ) = Kt + C ou bien

N(t) = e

= e

e

En utilisant la condition initiale on obtient

N(0) = e

= N

d’où la solution finale est :

N(t) = N

e

D’autres problèmes, comme par exemple la radioactivité, la transmission de la chaleur, les intérêts composés etc., se modélisent mathématiquement d’une façon très similaire.

Problème 2. Écoulement d’un liquide d’un récipient

Imaginons un récipient cylindrique de section horizontale S rempli jusqu’à une certaine hauteur H

d’un liquide. Au moment t = 0, sur la base du récipient, on ouvre une petite ouverture d’aire s (par exemple un ro- binet). Comment modéliser mathématiquement la baisse du niveau du liquide dans le récipient avec le temps ? Solution : Soit H(t) la fonction cherchée. Considérons un moment fixé t et un moment très proche de t, t + ∆t. Pendant ce petit laps de temps de ∆t le niveau du liquide est descendu de H (t) à H (t + ∆t) et le volume du liquide dans le récipient à diminué de H(t) · S − H(t + ∆t) · S. Nous avons donc une diminution du volume de (H (t) − H (t + ∆t)) · S. Cette même quantité de liquide s’est écoulée de la petite ouverture d’aire s. Or d’après la loi de Torricelli la vitesse d’écoulement du liquide au moment t dans la petite ouverture est v(t) = p

2 · g · H (t). Pendant le laps de temps ∆t le volume de liquide écoulé par l’ouverture est donc de v(t) · s · ∆t = p

2 · g · H (t) · s · ∆t.

On doit avoir :

(H (t) − H (t + ∆t)) · S = p

2 · g · H (t) · s · ∆t ou bien :

H (t + ∆t) − H (t)

∆t = − s

S

p 2 · g · H(t)

Toutes les égalités ont été écrites avec la supposition que ∆t est petit. En effet tacitement nous avons accepté que H(t) et donc v(t) reste constante pendant l’intervalle de temps [t; t + ∆t]. De ce fait la dernière égalité n’est que approximative et elle est autant plus juste que ∆t est petit. Pour avoir une égalité exacte on passe à la limite pour ∆t → 0.

Mais :

lim

∆t→0

H (t + ∆t) − H (t)

∆t = H

(t)

2.3. Quelques modélisations 19 et nous obtenons :

H

(t) = − s S

p 2 · g · H(t)

Cette équation avec la condition initiale H(0) = H

nous donne un problème Cauchy.

Pour résoudre ce problème écrivons l’équation comme :

√ dH H = − s

S

p 2 · g · dt

En intégrant on obtient :

2 √

H = − s S

p 2 · g · t + C

La condition initiale donne :

C = 2 p H

donc :

2 √

H = − s S

p 2 · g · t + 2 p H

et finalement :

H (t) = H

− s S

p 2gH

· t + gs

2S

· t

Si l’on désire, on peut trouver le temps que met le récipient à se vider complètement :

T = S s

s 2H

g

Problème 3. Chute d’un parachutiste.

On se pose le problème de déterminer la vitesse de chute d’un parachutiste en fonction du temps sachant que la résistance de l’air est proportionnelle au carré de la vitesse de chute et que la vitesse du parachutiste au moment de l’ouverture du parachute (t = 0) est v(0) = v

.

Solution : Soit v(t) la fonction cherchée, m la masse totale du parachutiste et du parachute et kv

la force de résistance de l’air (k est un coefficient de proportionnalité).

D’après la deuxième lois de Newton on trouve l’équation suivante : mv

= mg − kv

ou bien :

v

+ k m v

= g

avec la condition initiale v(0) = v

. Il s’agit bien d’un problème Cauchy.

La solution de ce problème est plus difficile que dans les cas précédents. On trouve :

v(t) = v

+

r mg k · tanh(

r kg m · t) 1 +

r k

mg · v

· tanh(

r kg m · t)

Problème 4. Circuit RLC série sous régime sinusoïdal.

GK, Beaulieu, 2019

20 Chapitre 2. Notions de base sur les équations différentielles et exemples de modélisations

Il s’agit de trouver la fonction donnant le courant dans le circuit en fonction du temps.

Solution : Pour cela on applique la loi d’Ohm généralisée (voir figure) : E = u

+ u

+ u

= L di

dt + Ri + u

Étant donné que pour le condensateur i = C du

dt , nous allons dériver les deux côtés de l’égalité précédente pour obtenir :

dE

dt = L d

i dt

+ R di

dt + 1 C i ou bien :

L d

i dt

+ R di

dt + 1

C i = − Eωsin(ωt)

En associant à cette équation des conditions initiales, établies conformément au problème que l’on souhaite

étudier, on obtient un problème Cauchy. Bientôt nous allons voir les méthodes de résolution d’une telle

équation.

2.4. Exercices 21

2.4 Exercices

15

Donner l’ordre des équations différentielles suivantes : 1. xy

y

= 0

2. e

y

+ e

(y

)

= 1 3. (y

+ y)

= sin( y

x

) 4. y

y

y = x

16

Démontrer que la fonction donnée y(x) est une solu- tion de l’équation :

1. y

3y

+ 2y = 0 y = 3e

2e

2. y

+ 3y = 0 y =

7e

3. 2xy

+ 3x

y

y

= ln(x) y =

(

ln(x)

1 x

)¹₃

4. x

y

+ x

y

3xy

3y = 0 y = 3x

Démontrer que les relations données à droite sont so-

lutions des équations suivantes :

1. (x

2y)y

= 2x

y x

xy + y

= C 2. (x

y + 1)y

= 1 y = x + e

3. y

=

x = ye

4. y

(x + y) = y x = yln(Cy) 5. (x

2y)y

+ 2x + y = 0 y

x

xy = 1

6. yy

= x x

y

= 1

18

Trouver la solution du problème Cauchy : y

= 2x(y

+ 9)

avec les conditions y(0) = 0 sachant que toute solu- tion de l’équation est de la forme : y(x) = 3tan(3x

+ C), C

.

19

Trouver la solution du problème Cauchy : yy

= e

avec les conditions y(0) = 1 sachant que toute solution de l’équation est de la forme : y

= 2e

+ C, C

.

1. Trouver la solution du problème Cauchy :

y

y = 0

avec les conditions y(0) = 3, y

(0) =

sachant que toute solution de l’équation est de la forme : y(x) = C

e

+ C

e

, C

,C

.

2. Pour la même équation trouver la solution du problème Dirichlet avec les conditions y(0) = 0, y(1) = 1

21

1. Trouver la solution du problème Cauchy : y

+y = 0 avec y(0) = 2, y

(0) =

sachant que toute solution de l’équation est de la forme : y(x) = C

cos(x) + C

sin(x), C

,C

.

2. Pour la même équation trouver la solution du pro- blème Dirichlet avec les conditions y(0) = y(π) = 0. Que concluez-vous ?

22

Déterminer l’équation différentielle des courbes telles que la longueur du segment de la tangente entre le point de la tangence et son intersection avec l’axe Oy a une longueur constante égale à 2.

23

Que signifie l’égalité : I = dQ dt ?

Q(t) étant la quantité de charge électrique passée à travers une section d’un fil conducteur pendant l’in- tervalle de temps [0; t].

24

Cinq rats d’une population de rats de laboratoire com- posée de 500 individus sont infectés volontairement par une maladie infectieuse dont on veut étudier la rapidité de propagation. On suppose qu’à chaque mo- ment le taux instantané d’augmentation du nombre de rats infectés est proportionnel au produit du nombre de rats infectés avec celui de rats encore sains (le co- efficient de proportionnalité sera noté k). Modéliser l’évolution du nombre de rats infectés avec le temps.

25

Pendant une réaction chimique, la quantité X d’une composante diminue avec un taux instantané inverse- proportionnel au cube de la différence entre la quantité initiale M de la substance et la quantité restante X . Modéliser l’évolution de la quantité X de la substance en fonction du temps.

26

Soit M (t) la masse d’une substance au moment t. On suppose que cette masse diminue avec un taux instan- tané proportionnel à la racine carrée de la masse de la substance restante. Modéliser l’évolution de la masse de la substance en fonction du temps sachant que la masse initiale était M

.

27

D’après la loi de Newton, la rapidité de refroidisse- ment d’un corps dans l’air est est proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle de l’air.

Modéliser le refroidissement d’un corps dans l’air sa- chant qu’au moment t = 0 la température du corps était T

. La température de l’air reste constante T

.

GK, Beaulieu, 2019

Chapitre 3

Équations différentielles du premier ordre

3.1 Généralités

La forme standard d’une équation différentielle du premier ordre de fonction inconnue y(x) est : y

= F (x; y)

La forme différentielle d’une équation différentielle du premier ordre est : P (x; y)dx + Q(x; y)dy = 0

Bien que les deux formes soient équivalentes (y

= F (x; y) ⇒ dy

dx = F (x; y) ⇒ F(x; y)dx − 1 · dy = 0 et P (x; y)dx + Q(x; y)dy = 0 ⇒ y

= dy

dx = − P(x; y)

Q(x; y) ) la forme différentielle est plus souple étant donné qu’elle est complètement symétrique en ce qui concerne les variables x et y.

Beaucoup d’équations du premier ordre peuvent être mises sous la forme standard (différentielle), néan- moins il ne faut pas penser que ceci est toujours possible.

Exemple 16. Mettre les équations suivantes sous la forme standard et différentielle : 1. xy

− y

= 0

2. (y

+ y)

= sin(y

/x) Solution :

1. En isolant y

on obtient : y

= y

/x (forme standard, F(x; y) = y

/x) ou bien y

dx − xdy = 0 (forme différentielle, P(x; y) = y

et Q(x; y) = − x).

2. Étant donné que dans cette équation il est impossible d’isoler y

, elle ne peut être mise sous la forme standard ou différentielle.

3.2 Champ des directions

Le champ de directions est une représentation graphique d’une équation différentielle. Considérons l’équa- tion :

y

= F (x; y)

23

24 Chapitre 3. Équations différentielles du premier ordre Nous pouvons alors, théoriquement, construire en chaque point (x

; y

) du plan en lequel F (x

; y

) est définie, un petit segment de droite centré sur le point (x

; y

) et de pente F(x

; y

). Ce segment représenterait alors la tangente à la courbe intégrale de l’équation passant par le point (x

; y

). L’ensemble de tous les segments construits est appelé champ de directions. Il est évident que la construction décrite ci-dessus est théorique, néanmoins on peut la réaliser pratiquement si on se limite à un nombre fini de points choisis convenablement.

Considérons, à titre d’exemple, l’équation simple : dy dx = x

La figure suivante montre le champs des directions et une courbe intégrale :

Et ici certaines des courbes intégrales (y = 1

3 x

+ C, C ∈ R ) et un seul segment construit au point M (1; 7/3) dont la pente est donc 1

= 1 :

Voici le champ des directions et quelques courbes intégrales pour l’équation y

= x + y.

3.3. Résolution d’équations simples 25

3.3 Résolution d’équations simples

Il existe une grande variété d’équations différentielles. Nous allons voir les plus simples.

3.3.1 Équations à variables séparables

Une équation différentielle du premier ordre que l’on peut mettre sous la forme standard y

= P (x) Q(y) ou bien sous la forme différentielle Q(y)dy = P (x)dx est appelée à variables séparables. Il s’agit d’une des équations les plus simples à résoudre.

En effet, après avoir mis l’équation sous sa forme différentielle et en intégrant directement l’égalité : Q(y)dy = P (x)dx

on obtient : Z

Q(y)dy = Z

P (x)dx + C, C ∈ R Remarques.

1. La solution obtenue l’est sous forme implicite. D’habitude il n’est pas nécessaire de la mettre sous forme explicite. On parle alors, par abus de langage, de courbes intégrales.

2. La solution de l’équation n’est pas, en général, unique. A chaque valeur de la constante d’intégration C correspond une solution de l’équation. Il s’agit en vérité d’un ensemble de solutions, on parle aussi de solution générale.

3. Des conditions supplémentaires, comme par exemple des conditions initiales, permettent de trouver une solution unique correspondant à un problème précis.

Exemple 17. Résoudre les équations suivantes : 1. dy

dx = 2xy

Solution : On écrit l’équation sou la forme :

ydy = 2xdx

d’où, en intégrant : Z

ydy = Z

2xdx + C

, C

∈ R ou bien :

y

2 = x

+ C

, C

∈ R

GK, Beaulieu, 2019

26 Chapitre 3. Équations différentielles du premier ordre

que l’on peut écrire aussi comme (C = 2C

) :

y

= 2x

+ C, C ∈ R

Ceci est la solution générale de l’équation. Voici les courbes intégrales.

2. x dy

dx + y = 0

Solution : On écrit l’équation sous la forme : dy

y = − dx x

d’où, en intégrant :

ln | y | = − ln | x | + C

, C

∈ R ou bien :

| y | = e

· 1

| x | ou encore

y = ± e

· 1 x En notant ± e

par C, C ∈ R

on obtient :

y = C

x , C ∈ R

Il est facile de voir que la fonction obtenue pour C = 0 est aussi solution de l’équation.

Conclusion, la solution générale est :

y = C

x , C ∈ R 3. 2y + (xy + 3x) dy

dx = 0

Solution : On écrit l’équation sous la forme : (1 + 3

y )dy = − 2 x dx

d’où, en intégrant :

y + 3ln | y | = − 2ln | x | + C

, C

∈ R

3.3. Résolution d’équations simples 27 ou bien :

e

| y |

= 1 x

e

ou encore

y

e

= ± e

· 1 x

En notant ± e

par C, C ∈ R

on obtient :

x

y

e

= C, C ∈ R

Il est facile de voir que la courbe intégrale obtenue pour C = 0 est aussi solution de l’équation.

Conclusion, la solution générale est :

x

y

e

= C, C ∈ R Voici quelques courbes intégrales :

4. y

e

+ dy dx = 0

Solution : On écrit l’équation sous la forme : dy

y

= − e

dx d’où, en intégrant :

− 1 3y

= − 1

2 e

+ C

, C

∈ R La solution générale est donc :

3

2 y

e

+ Cy

= 1, C = − 3C

∈ R Voici quelques courbes intégrales :

GK, Beaulieu, 2019

28 Chapitre 3. Équations différentielles du premier ordre

3.3.2 Équations linéaires du premier ordre

Une équation linéaire du premier ordre est une équation que l’on peut mettre sous la forme :

a

(x)y

+ a

(x)y = r(x)

où a

(x), a

(x) et r(x) sont des fonctions connues qui peuvent aussi être des constantes. Il est plus pratique d’écrire une telle équation sous la forme appelée forme générale de l’équation du premier ordre :

y

+ P (x)y = Q(x)

P (x) et Q(x) étant des fonctions connues obtenues après division par a

(x).

Dans le cas où Q(x) = 0 elle est appelée équation homogène et en plus elle est à variables séparables de solution générale :

y · e

∫P(x)dx

= C

On peut écrire cette solution sous la forme explicite :

y = C · e

Passons maintenant à la résolution de l’équation sous sa forme générale.

Méthode de la variation de la constante

On commence par trouver la solution générale de l’équation homogène y

+ P(x)y = 0. Comme vue plus haut, elle est :

y = C · e

On cherche alors la solution générale de l’équation non homogène sous la même forme mais en considérant que « C » n’est pas une constante mais une fonction de x. C’est à dire, on cherche les solutions sous la forme :

y = C(x) · e

la fonction C(x) restant à déterminer. Pour cela on injecte cette fonction dans l’équation, et l’on obtient :

C

(x) · e

− C(x)P(x)e

+ P (x)C(x)e

= Q(x) où bien :

C

(x) · e

= Q(x) que l’on peut écrire aussi sous la forme :

C

(x) = Q(x) · e

Ceci permet de trouver C(x) :

C(x) = Z

Q(x) · e

dx + C, C ∈ R

Et la solution générale de l’équation non homogène s’écrit alors :