Corrigé DS 1I –

Corrigé DS 1

I – Limites : 1.

a . lim

x∞

3x²−5x1 x²−2x2 =lim

x∞

3x²

x² =3 . On en déduit que y=3 est asymptote horizontale en ∞. b . lim

x∞



^{4x2−4x3−2x−1=lim}

x∞



^{4x2−4x3−2x−1}



^{4x2−4x32x−1}





^{4x2−4x32x−1 .}

= lim

x∞

4x²−4x3−2x−1²



^{4x2−4x32x−1}

= lim

x∞

4x²−4x3−4x²4x−1



^{4x2−4x32x−1}

= lim

x∞

2



^{4x2−4x32x−1}

=0 .

On en déduit que y=0 est asymptote horizontale en ∞. 2. Soit f la fonction définie sur ℝ par f x=2x²−7x8

x−1 .

a . lim

x±∞

2x²−7x8

x−1 −2x−5=lim

x±∞

2x²−7x8−2x−5x−1

x−1

=lim

x±∞

2x²−7x8−2x²7x−5 x−1

=lim

x±∞

3 x−1

=0

d'où la droite  d'équation y=2x−5 est asymptote à la courbe représentative de f en l'infini.

b . 2x²−7x8

x−1 −2x−5= 3

x−1 du signe de x−1 .

x −∞ 1 ∞

x−1 ^{― +}

Position de C_f par rapport à 

C_f en dessous de ^. C_f au dessus de ^.

II – Complexes ( Formes algébriques )

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct O ,u ,v (unité graphique : 3 cm).

On désigne par A le point d'affixe 1 .

À tout point M du plan, distinct de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' défini par : z '=3z−5

z−1 . 1. L'affixe du point B ' 'image du point Bi est

z_{B '}=3i−5

i−1 =5−3i

1−i =5−3i1i

1−i1i =82i 2 =4i

L'affixe du point C dont l'image C ' a pour affixe i. vérifie : i=3z_C−5 z_C−1 .

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i=3z_C−5

z_C−1 ⇔iz_C−1=3z_C−5⇔i z_C−i=3z_C−5⇔z_Ci−3=i−5⇔z_C=5−i 3−i

⇔z_C=5−i3i

3−i3i=162i 10 =8

51 5i.

2. Déterminer le(s) affixe(s) du (des) point(s) M (z) confondu (s) avec leur image M' (z') revient à résoudre z '=z.

z '=z⇔z=3z−5

z−1 ⇔z²−z=3z−5⇔z²−4z5=0

=16−20=−40 , l'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées.

z₁=4−2i

2 et z₂=42i

2 soit z₁=2−i et z₂=2i.

Il y a donc deux points invariants : les points d'affixes z₁=2−i et z₂=2i.

3. Étant donné un complexe z distinct de 1, on pose : z=xiy et z '=x 'iy ' avec x, y, x', y' réels.

a . z '=3z−5

z−1 =3xi y−5

xi y−1 =3x−53i y

x−1i y =3x−53i yx−1−i y

x−1i yx−1−i y .

=3x−5x−13y²i



3yx−1−3x−5y



x−1²y²

=3x²−8x53y²

x−1²y² i 2y

x−1²y² , d'où x'=3x²−8x53y²

x−1²y² et y '= 2y

x−1²y²

b . Les points M de E vérifie x'=0 soit 3x²−8x53y²

x−1²y² =0 . 3x²−8x53y²

x−1²y² =0⇔3x²−8x53y²=0

⇔3



^{x2−83xy253}



⁼⁰

⇔x²−8

3xy²5 3=0

⇔



^x−43



^{2−169 y2159 =0}

⇔



^x−43



^{2y2=19 .}

L'ensemble E est donc le cercle de centre 



⁴³



et de rayon 1 3 . c . Les points M de F vérifie y '=0 soit 2y

x−1²y²=0 , c'est à dire y=0 . L'ensemble F est donc la droite d'équation y=0 privé du point A.

III - Complexes ( Équations )

Pour tout nombre complexe Z on pose : PZ=Z⁴−4 1. PZ=Z²−2Z²2=Z−



^2Z



^{2Z22}

2. Z²2=0⇔Z²=−2⇔Z=i



^{2 ou Z=−i}



^{2 .}

3. On déduit de 1. et de 2. que PZ=0 admet



^2;−



^2;i



^{2 et −i}



2 comme solution.

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4. Afin de résoudre



^zz1−1



⁴⁼4 , on pose Z=z1 z−1 . D'après les questions précédentes z vérifie z1

z−1=



2 ou z1

z−1=−



2 ou z1 z−1=i



²

ou ^z1

z−1=−i



2.

et donc z∈

{

^32

^

^2;3−2

^

^2;132i

^

^32;13−2i

^

³²

}

IV – (Suites arithmético-géométrique)

On considère la suite ^un_n0 définie par u₀=1 et la relation de récurrenceu_n1=1

3u_n2. 1. Représentation graphique : voir annexe.

2. u₁=1

32=7

3 et u₂=1 3×7

32=25 9 .

3. On considère la suite v_n_n0 définie par v_n=u_n−3 . a . v_n1=u_n1−3=1

3u_n2−3=1

3u_n−1=1

3



^un−3



⁼¹₃^vn, d'où v_n est une suite géométrique de raison 1

3 et de premier terme v₀=−2 . b . On a donc v_n=−2



¹³



^{n et comme −1131} alors lim

n∞

v_n=0 .

c .

∑

k=0 n

v_k=−2

1−



¹³



^n1

1−1 3

=−3



¹⁻

^

¹³

^

^n1



^.

4. a . u_n=v_n3=−2



¹³



^n3 et donc la limite de u_n en ∞ est 3.

b . On a :

∑

k=0 n

u_k=

∑

k=0 n

v_k3=−3



¹⁻

^

¹³

^

^n1



^{3n1=3n}

^

¹³

^

^n.

V - (Récurrence)

On considère la suite S_n_n1 définie par S_n=2²4²6²⋯2n². Notons P_n la propriété : S_n=2nn12n1

3 .

a . On a S₁=4 et 2×1112×11

3 =4 , d'où la propriété est vraie au rang 1.

b. Supposons la propriété vraie à un certain rang n, S_n1=2²4²6²⋯2n²2n1²

=S_n2n2²

=nn12n112n1²

3 (Hypothèse de récurrence)

=n14n²14n12

3

2n1n22n3

3 d'où la propriété est vraie au rang n+1.

Conclusion : Par récurrence la propriété est vraie pour tout n1

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Annexe

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