TM1 et TM2
Devoir surveillé de Mathématiques. (2 heures)
I
Les résultats seront donnés au franc près.
Le jour anniversaire de ses 18 ans, un jeune possédant 13 000 F d'économies décide de placer son argent. Une banque lui propose deux sortes de placement :
• placement A : la totalité du capital est placé sur le livret A au taux de 3,5 % par an à intérêts composés ;
• placement B : 10 000 F sont placés sur un livret « Jeune » au taux de 4,5 % par an à intérêts composés, et les 3 000 F restants sur un compte courant non rémunéré.
Par la suite, on suppose qu'il ne fait plus aucun retrait ni versement.
1°) 0n note Cn le capital qu'il aura acquis au bout de n années s'il choisit le placement A.
a. Calculer C1 et C2.
b. (Cn) étant une suite géométrique, exprimer Cn en fonction de n.
2°) On note Tn le capital qu'il aura acquis au bout de n années s'il choisit le placement B.
a. Calculer T1 et T2.
b. Exprimer Tn en fonction de n.
3°) Le livret « Jeune » n'étant possible que jusqu'à l'âge de 25 ans : a. Compléter le tableau suivant :
n 1 2 3 4 5 6 7
C
nT
nb. En déduire, en fonction du nombre d'années, le placement le plus avantageux.
D’après BAC STG 1997
II
Partie A
Dans cette partie on fait une étude graphique.
Une entreprise fabrique des jouets qu'elle vend par lots.
On admet que le coût de fabrication en francs d'un nombre x de lots, x appartenant à l'intervalle [0 ; 18], est donné par la fonction dont la courbe C est jointe.
Chaque lot est vendu 125 F.
La recette est donc donnée par R(x) = 125x.
1°) Tracer la droite D d'équation y = 125x dans le même repère que C (Voir graphique ci-après).
2°) L’entreprise ne vend que des nombres entiers de lots.
Déterminer graphiquement les valeurs du nombre x de lots pour lesquelles l'entreprise réalise un bénéfice. Justifier la réponse.
3°) a. On appelle M le point d'abscisse 8 qui est sur C. Donner une valeur approchée de son ordonnée.
b. On appelle N le point d'abscisse 8 qui est sur D. Calculer son ordonnée.
c. Mesurer sur le graphique la longueur MN. Que représente-t-elle ?
4°) En s'inspirant de la méthode graphique qui précède, donner en le justifiant, le nombre de lots à vendre pour réaliser le bénéfice maximal.
Partie B
L'entreprise désire faire une étude plus précise de son bénéfice. On étudie la fonction
f
définie sur l'intervalle [0 ; 18]par:
f x ( ) = 4 x
3− 96 x
2+ 576 x + 100
1°) Calculer
f x '( )
oùf '
désigne la fonction dérivée de la fonctionf .
2°) Vérifier, que pour tout x de [0 ; 18]:
f x '( ) 12 = ( x − 4 )( x − 12 ).
Étudier le signe de
f x '( )
pour x élément de [0 ; 18]. ,4°) Établir le tableau de variations de la fonction
f
sur [0 ; 18]. La fonctionf
a pour représentation graphique la courbe C.5°) Recopier et compléter le tableau suivant :
x 12 13 14
( ) ( ) R x − f x
6°) Que représente la différence R(x)-f(x) ?
Les résultats obtenus dans le tableau de la question 5°) sont-ils conformes à ce qui a été constaté graphiquement à la question 4°) de la Partie A ? Justifier.
D’après BAC STG 1999
NOM :
A rendre avec la copie
Devoir surveillé de Mathématiques Corrigé
EXO I
1a. L’augmentation annuelle de 3.5 % se traduit par une multiplication par 1.035 d’une année sur l’autre.
Comme C0 =13000, on a C1=13000 1.035× =13455 et C2 =13455 1.035× =13925.9 soit 13926 francs arrondi au franc.
1b. Pour passer d’un terme au suivant, on multiplie donc par 1.035 : la suite est (Cn) est bien géométrique de raison 1.035 . On sait alors que Cn =13000 1.035× n.
2a. L’augmentation annuelle de 4.5 % se traduit par une multiplication par 1.045 d’une année sur l’autre.
Comme T0 =10000, on a 1 10000 1.045 3000 13450
non rémunéré
T = × + = et 2 10450 1.045 3000 13920.3
non rémunéré
T = × + = soit 13920 francs
arrondi au franc.
2b. De même qu’en 1b, on a n 10000 1.045n 3000
non rémunéré
T = × + .
2c. Les résultats sont arrondis à l’euro, mais à la dernière étape du calcul, pour ne pas cumuler les erreurs d’arrondi.
n 1 2 3 4 5 6 7
C
n 13455 13926 14413 14918 15440 15980 16540T
n 13450 13920 14412 14925 15462 16023 166092c. C’est donc à partir de la 4ème année que le placement B devient plus rentable, jusqu’à 3 années mieux vaut utiliser le placement A.
EXO II
Partie A
1. Pour tracer la droite D d'équation y = 125x, deux points suffisent : par exemple A(0 ;0) et B(10 ;1250).
2. L'entreprise réalise un bénéfice lorsque la courbe recette (D) est au dessus de la courbe coût (C) : cela a lieu pour un nombre de jouets compris entre 7 et 17 objets.
3a. M a pour ordonnée environ 600.
3b. N a pour ordonnée environ 1000.
3c. MN représente la différence entre coût et recette : c’est donc le bénéfice réalisé pour 8 objets produits.
Il est d’environ 400 francs.
4. Pour déterminer graphiquement le bénéfice maximal, on cherche pour quel x compris entre 7 et 17, la distance entre les deux courbes est maximale. Visiblement, cela a lieu pour x = 12, et le bénéfice est de 1400 francs.
Partie B
1. On a f x'( )=12x2−192x+576.
2. De plus,
12 ( x − 4 )( x − 12 ).12(
x−4)(
x−12)
=12(
x2−16x+48)
=12x2−192x+576 : on reconnaît bien l’expression de
f’(x) donc on a f '(x)=2(
x−4)(
x−12) .
Dressons le tableau de signe de f ’ :
4. Le signe de f’ donnant le sens de variation de f, on a :
x 0 4 12 18
x - 4- 0 + |
+ x - 12- | - 0 +
f ‘(x)+ 0 - 0 +
x 0 4 12 18
f ’(x) + 0 - 0 + f (x)
100
ր 1124
ց 100
ր
2692
5. Recopier et compléter le tableau suivant :
x 12 13 14
( ) ( )
R x − f x 1400 1473 1426
6. De manière générale, Bénéfice = Recette – Coût, par conséquent, R(x)-f(x) représente le bénéfice suite à la production et à la vente de x unités.
Cela est conforme à la lecture graphique question 4, où nous avions estimé un bénéfice maximal à 12 unités produites.
Le tableau de valeurs ci-dessus nous permets d’affirmer, qu’il a en fait lieu pour 13 unités produites.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 -1
-2 -3
200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400
-1000 1 100
x y
M N
