Vendredi 18 septembre 2008.
MATHEMATIQUES. TS1 et TS2.
3 h.
Calculatrice autorisée.
le barème est donné à titre indicatif
EXERCICE 1. (4 points)
u est la suite définie par u0 = 1 et pour tout entier n, un+1 = -1 2un +3 1. Calculer u1 et u2.
2. v est la suite définie, pour tout entier n, par vn = un − 2
− Montrer que v est géométrique
− En déduire vn puis un en fonction de n.
− Déterminer la limite de u quand n tend vers +∞.
3. Calculer, en fonction de n les sommes Sn = v0 + v1 + … + vn et S’n = u0 + u1 + … + un . EXERCICE 2. (2 points)
Sur la figure ci-dessous sont tracées quatre courbes C1, C2, C3 et C4.
Ces courbes représentent, dans un repère orthonormal, des fonctions f, g, h et j.
L'exercice consiste à associer à chaque courbe le nom de la fonction qu'elle représente, sachant que les fonctions f, g, h et j sont dérivables et que :
f' = g, g' = h et h' = j.
Présenter les étapes essentielles d'un raisonnement permettant d'aboutir au résultat.
O
→j
→i C1
C3
C4
C2
EXERCICE 3. (4 points)
f est la fonction numérique définie par : f(x) = 3x + 1
2x + 3 . On désigne par Cf sa courbe représentative dans un repère (O ; i→ , j→ ).
1. Etudier les limites de f aux bornes de son domaine de définition, en déduire d’éventuelle(s) asymptote(s).
2. Etudier les variations de f sur son domaine et dresser son tableau de variation.
3. Déterminer l’équation de la tangente (T) à Cf au point d’abscisse 2.
EXERCICE 4. (4 points)
Pour chacune des questions suivantes, les propositions données sont−elles vraies ou fausses ? Justifier à l’aide de résultats de cours ou de contre−exemples
Q1. Soit f une fonction polynôme du second degré.
a. Si quelque soit x, f(x) < 0 alors le discriminant est strictement négatif.
b. Si quelque soit x, f(x) > 0 alors le discriminant est strictement positif.
Q2. Soit f une fonction définie et dérivable sur IR.
a. Si la dérivée f’ s’annule en a, alors f admet un extremum local en a.
b. f change de signe si et seulement si f s’annule.
Q3. Soient f et g deux fonctions affines définies sur IR par f(x) = 2x + 3 et g(x) = 5x – 2.
a. (g o f)(x) = 10x + 1 b. (g o f)(x) = 10x + 13 c. (g × f)(x) = 10x² − 6 d. (g × f)(x) = 10x² + 11x – 6
Q4. E est l’ensemble des points M(x ; y) du plan tels que x² + y² − 2x + 4y – 11 = 0.
a. E est l’équation du cercle de centre C(2 ; −4) et de rayon 31 . b. E est l’équation du cercle de centre C(1 ; −2) et de rayon 4.
c. E est l’équation du cercle de centre C(−1 ; 2) et de rayon 4.
d. E est l’ensemble vide.
EXERCICE 5. (6 points)
On considère la suite (un) définie par u0 = 5 et, pour tout entier n ≥ 1 : un =
1 + 2
n un−1 + 6 n. 1. a. Calculer u1 .
b. Les valeurs de u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 sont respectivement égales à : 45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621.
à partir de ces données, conjecturer la nature de la suite (dn) définie sur IN par dn = un+1 – un . c. Exprimer d0 + d1 + … + dn−1 en fonction de un.
2. On considère la suite arithmétique (vn) de raison 8 et de premier terme v0 = 16.
Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n² + 12n.
3. Montrer que : si (dn) est arithmétique de raison 8 et de premier terme d0 = 16 alors un = 4n² + 12n + 5.
4. Montrer que : si un = 4n² + 12n + 5 alors (dn) est arithmétique.
Corrigé du DS EXERCICE 1.
1. On a : u1 = − 1
2 u0 + 3 = 5
2 u2 = − 1
2 u1 + 3 = − 1 2 × 5
2 + 3 = 7 4 2.
> Pour montrer que (vvnn) est géométrique on peut montrer que vn+1=qvn : 1 1
( )
1 1 1
2 1 2
2 2 2
n n n n n
v+ =u + − = − u + = − u − = − v . donc v est géométrique de raison −1/2 et de premier terme v0 = u0 − 2 = −1
> Par conséquent, vn = − (−1/2)n et puisque un = vvnn + 2, un = − (−1/2)n + 2.
> Enfin, quand n tend vers +∞, (−1/2)n → 0 car −1 < −1/2 < 0 donc − (−1/2)n → 0 d’où limn→+∞ un = 2
3.
Calcul de Sn : Sn est la somme des n + 1 premiers termes de la suite géométrique v donc Sn = v0 × 1 - qn+1 1 - q Sn = −1× 1 - (-1/2)n+1
1 + 1/2 = − 2
3 × (1 – (−1/2)n+1) Calcul de S’n
Puisque un = vn + 2, on a S’n = v0 + 2+ v1 + 2+ … + vn + 2= Sn + 2(n + 1) où Sn a été calculée ci-dessus.
EXERCICE 2.
Méthode : Il faut faire le lien entre signe de la dérivée (donné par la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses) et les variations de la fonction et le lien entre les valeurs pour lesquelles la dérivée s’annule et les extremums relatifs.
Remarque : pour alléger le raisonnement, nous nous autoriserons de nombreux abus de notation…
Notons a, b, c et d les réels remarquables pour lesquels les courbes se coupent ou présentent des extrémums.
Pour faciliter les explications, donnons le même nom à la courbe et la fonction qu’elle représente.
A ce stade du raisonnement, on a donc :
(C1)’ = C4 et (C4)’= C2 et (C2)’ = C3 et (C3)’= C1 , soit f →C1,g→C4,h→C2, j→C3
OU f →C2,g→C3,h→C1, j→C4 OU f →C3,g →C h1, →C4, j→C2 OU f →C4,g→C2,h→C3, j→C1. Précisons maintenant le raisonnement.
Rappel : le nombre dérivée d’une fonction en un point est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point.
Prenons, par exemple, x = 1, on lit avec les abus de notation déjà utilisés, C1(1) ≈ −0,25.
Or, au point d’abscisse 1 de C3, la tangente a une pente que l’on ne connaît pas précisément, mais visiblement < −1.
Donc C1 n’est pas la dérivée de C3 et comme elle n’est la dérivée d’aucune autre, C1 représente f.
On a donc : C1 pour f, C4 pour g, C2 pour h et C3 pour j.
EXERCICE 3.
1. Etudier les limites de f aux bornes de son domaine de définition. En déduire d’éventuelle(s) asymptote(s).
f(x) est définie dans Df = ]−∞ ; −3/2[ ∪ ]−3/2 ; +∞[ pour que 2x + 3 ≠ 0.
limites en ±∞ : f, fonction rationnelle se comporte à l’infini comme 3x/2x c'est à dire 3/2. Donc limx→-∞ f(x) = 3/2 = limx→+∞ f(x) On en déduit que la droite (D) d’équation y = 3/2 est asymptote (horizontale) à Cf
limites en −3/2 : quand x → −3/2, 3x + 1 → −7/2 et 2x + 3 → 0 donc f(x) → ∞ (à préciser suivant le signe de 2x + 3) Un tableau de signe de la fonction affine g(x) = 2x+3 nous permet alors d’obtenir limx→-(3/2)- f(x) = +∞ et limx→-(3/2)+ f(x) = −∞.
On en déduit que la droite (D’) d’équation x= −3/2 est asymptote (verticale) à Cf 2. f est une fonction rationnelle donc dérivable dans son domaine Df .
On a f’(x) = (3x + 1)'(2x + 3) - (3x + 1)(2x + 3)'
(2x + 3)² = 3(2x + 3) - (3x + 1)2 (2x + 3)² = 7
(2x + 3)² Il est évident que f’(x) > 0 dans Df , donc f est croissante sur ]−∞ ; −3/2[ et sur ]−3/2 ; +∞[.
3. La tangente (T) à Cf au point d’abscisse 2 a pour équation y = f’(2)(x – 2) + f(2) : comme f’(2) = 1/7 et f(2) = 1, (T) a pour équation y = (1/7)x + 5/7.
EXERCICE 4.
Pour chacune des questions suivantes, les propositions données sont−elles vraies ou fausses ? Justifier.
Q1. Soit f une fonction polynôme du second degré.
a. Si quelque soit x, f(x) < 0 alors le discriminant est strictement négatif. C’est vrai.
si f(x) < 0 alors le trinôme n’a pas de racines et donc ∆ < 0
b. Si quelque soit x, f(x) > 0 alors le discriminant est strictement positif. C’est faux.
si f(x) > 0 alors le trinôme n’a pas de racines et donc ∆ < 0
Q2. Soit f une fonction définie et dérivable sur IR.
a. Si la dérivée f’ s’annule en a, alors f admet un extremum local en a. C’est faux.
soit f(x) = x3, f’(x) = x² qui s’annule en 0 mais ne change pas de signe donc il n’y a pas d’extremum.
b. f change de signe si et seulement si f s’annule. C’est faux.
« SI f change de signe ALORS f s’annule » est vrai d’après le théorème des valeurs intermédiaires puisque f est définie et dérivable (donc continue [pour bientôt…]) sur IR.
« SI f s’annule ALORS f change de signe » est faux. Par exemple f : x → x² s’annule en 0 mais ∀ x ∈ IR, f(x) ≥ 0.
Q3. Soient f et g deux fonctions affines définies sur IR par f(x) = 2x + 3 et g(x) = 5x – 2.
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) = 5(2x + 3) – 2 = 10x + 15 – 2 = 10x + 13 a. (g o f)(x) = 10x + 1. c’est faux.
b. (g o f)(x) = 10x + 13. C’est vrai.
(g × f)(x) = g(x) × f(x) = (5x – 2)(2x + 3) = 10x² + 15x – 4x – 6 = 10x² + 11x − 6 c. (g ×××× f)(x) = 10x² − 6. C’est faux.
d. (g ×××× f)(x) = 10x² + 11x – 6. C’est vrai.
Q4. E est l’ensemble des points M(x ; y) du plan tels que x² + y² − 2x + 4y – 11 = 0.
x² + y² − 2x + 4y – 11 = 0 ⇔ (x – 1)² − 1 + (y + 2)² − 4 – 11 = 0
⇔ (x – 1)² + (y + 2)² = 16 ⇔ IM² = 4² ⇔ IM = 4 avec I(1 ; −2) a. E est l’équation du cercle de centre C(2 ; −4) et de rayon 31 . Faux.
b. E est l’équation du cercle de centre C(1 ; −2) et de rayon 4. Vrai.
c. E est l’équation du cercle de centre C(−1 ; 2) et de rayon 4. Faux.
d. E est l’ensemble vide. Faux
EXERCICE 5.
On considère la suite (un) définie par u0 = 5 et, pour tout entier n ≥ 1 : un =
1 + 2
n un−1 + 6 n. 1a. On a u1 =
1 + 2 1 u0 + 6
1 = 3u0 + 6 = 21.
1b. Il semblerait que la suite (dn) soit arithmétique de raison 8 et de premier terme d0 = 16.
1c. On a dn = un+1 – un donc d0 + d1 + … + dn−1 = u1 – u0 + u2 – u1 + u3 – u2 + … + un – un−1 = − u0 + un = un − 5 2. v est arithmétique de raison 8 et 1er terme v0 = 16 donc pour tout entier n, vn = 16 + 8n
Calculons Sn = v0 + v1 + … + vn−1 (le 1er terme étant v0 , le nième est vn−1 ).
On a donc : Sn = v0 + vn-1
2 × n = 16 + 16 + 8(n - 1)
2 × n = (12 + 4n)n = 4n² + 12n.
3. Supposons que (dn) est arithmétique de raison 8 et de premier terme d0 = 16.
On a alors : d’après 1. c. d0 + d1 + … + dn−1 = un – 5 et d’après 2. d0 + d1 + … + dn−1 = 4n² + 12n On en déduit que un – 5 = 4n² + 12n et donc que un = 4n² + 12n + 5
4. Montrer que : si un = 4n² + 12n + 5 alors (dn) est arithmétique.
Supposons que un = 4n² + 12n + 5.
On a alors dn = un+1 – un = 4(n+1)² + 12(n+1) + 5 – 4n² − 12n – 5 = 8n + 4 + 12 = 8n + 16, expression d’une suite arithmétique de raison 8.
