Chapitre 9
Applications de la d´ erivation
9.1 Lien entre la d´ erivation et sens de variation d’une fonction
Dans le chapitre 5, on a vu que la d´erivation est utile dans la recherche d’une tangente `a la courbe. Nous allons voir qu’elle est aussi utile dans la recherche du sens de variation d’une fonction.
Th´eor`eme 1
Si une fonction f est d´erivable et monotone sur l’intervalle I alors sa d´eriv´ee est de signe constant surI.
•Sif est d´erivable et croissante surI alors f0 est positive ou nulle surI.
•Sif est d´erivable et d´ecroissante sur I alorsf0 est n´egative ou nulle surI. Justification :
Supposons quef soit une fonction d´erivable et croissante sur l’ intervalleI. La fonctionf ´etant croissante surI, pour tous les r´eels distinctsaet a+hdeI, les r´eelshet f(a+h)−f(a) sont de mˆeme signe donc f(a+h)−f(a)
h ≥0.
f0(a) est la limite en 0 de la fonctionx 7−→ f(a+h)−f(a)
h .
Etant donn´e que le r´eel f(a+h)−f(a)
h positif est ausssi proche que l’on veut def0(a), on con¸coit et l’on admet que f0(a)≥0. Ainsi, sif est une fonction d´erivable et croissante sur un intervalleI alors pour tout r´eeladeI,f0(a)≥0.
Mˆeme raisonnement pour f une fonction d´erivable et d´ecroissante sur l’intervalleI.
On s’int´eresse `a la r´eciproque, et nous admettons le r´esultat suivant : Th´eor`eme 2
Si une fonction f est d´erivable et monotone sur l’intervalle I alors sa d´eriv´ee est de signe constant surI.
• Si f0 est strictement positive sur I sauf en un nombre fini de r´eels de I o`u f0 s’annule, alors f est strictement croissante sur I.
• Si f0 est strictement n´egative sur I sauf en un nombre fini de r´eels de I o`u f0 s’annule, alors f est scritement d´ecroissante surI.
Exercice Etudier les variations de la fonction f d´efinie surR− {1}parf(x) = x2+ 1
x−1. La fonctionf est une fraction rationnelle, elle est donc d´erivable surR− {1}et on a :
f0(x) =2x(x−1)−(x2+ 1)
(x−1)2 = x2−2x−1 (x−1)2 . On ´etudie le signe de x2−2x−1. Puisque (x−1)2 >0 surR− {1}, la fonction d´eriv´ee f0 est du signe dex2−2x−1.
x −∞
f0(x)
f
0 1−√
2
2−2√ 2
+
EE
–
;
;;
;;
;;
;;
;;
1
0 1 +√
2
2 + 2√ 2
–
4
44 44 44 44 4
+∞
+
CC
1
9.2 Extremum d’une fonction
Th´eor`eme 3
f est une fonction d´erivable sur l’intervalle ouvertI.
Si f admet un extremum en un r´eel x0 de I, alorsf0(x0) = 0.
Remarques :
•Il est indispensable que l’intervalleI soit un ouvert. Consid´erons par exemple la fonction f : x7−→x2 surI= [0; 1],
f(1) = 1 est le maximum de la fonctionf surI et pourtantf0(1) = 26= 0.
y=x2
0
~j
~i
•La r´eciproque est fausse. Sif0(x0) = 0, la fonctionf n’admet pas n´ecessairement un extremum en x0. Consid´erons par exemple la fonctionf : x7−→x3surI =]−1; 1[, on a f0(0) = 0 et pourtantf(0) n’est pas un extremum de f.
y=x3
0
~j
~i
La r´eciproque du th´eor`eme 2 est fausse mais lorsque le tableau de variation d’une fonction est de l’un des types suivants, on peut conclure que f(x0) est un extremum def.
x a
f0(x)
f
0 x0
f(x0)
–
6
66 66 66 66 6
b
+
BB
f(x0) est un minimum de f.
On remarque quef0 s’annule en changeant de signe enx0.
x a
f0(x)
f
0 x0
f(x0)
+
DD
b
–
:
:: :: :: :: ::
f(x0) est un maximum def.
On remarque quef0 s’annule en changeant de signe enx0. On admet le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 4
f est une fonction d´erivable sur l’intervalle ouvertI.
Si f0 sannule enx0 de I en changeant de signe, alorsf admet un extremum enx0.
