Études de fonctions

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Études de fonctions

I. Applications

I.1. Notion d’application

I.1.a) Définition Définition

SoientE etF deux ensembles.

Une applicationf deE dansF (notée f :E →F) est un procédé permet- tant d’associer à chaque élément xde l’ensemble E, un et un seul élémenty de l’ensembleF.

• E s’appelle l’ensemble de départ de l’application.

• F s’appelle l’ensemble d’arrivéede l’application.

• On appelle imagede f et on note Im(f), l’ensemble des élémentsy de F qui admettent des antécédents par f.

Im(f) ={y∈F | ∃x∈E, y=f(x)}

• Par définition, on a toujours Im(f) ⊂ F mais pas forcément égalité.

• On note A(E, F) l’ensemble des applications de E dansF.

Représentation graphique.

SoientE etF deux ensembles etf :E →F.

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y5

y6

E F

f

I.2. Image d’un ensemble par une application Définition

SoientE etF deux ensembles et soit A⊂E.

Soit f :E→F.

• L’image (directe) de l’ensemble A par l’application f, notée f(A), est l’ensemble des images par f des éléments deA. Autrement dit :

f(A) = {y∈F | ∃x∈A, y=f(x)} = {f(x) |x∈A} ⊂ F

• En particulier, on a : f(E) = Im(f)

Soit f :E →F une application. Il ne faut pas confondre :

• Im(f) l’image de l’application f.

(l’ensemble des images :Im(f) ={f(x) |x∈E})

• F l’ensemble d’arrivée de l’applicationf.

Comme déjà précisé : Im(f)⊂F mais pas forcémentIm(f) =F.

(2)

I.3. Restriction Définition

SoientE etF deux ensembles etA une partie deE.

Soit f :E →F une application.

• La restriction def à A, notéef _A, est l’application deA dansF définie par :

f _A : A → F x 7→ f(x)

• Autrement dit, on a : ∀x∈A, f _A(x) = f(x)

• On a alors : Imf _A=f(A)

I.4. Composée de deux applications Définition

SoientE,F etGtrois ensembles.

Soit g:F →Gune application.

• La composéede f parg, notéeg◦f, est l’application : g◦f : E → G

x 7→ g(f(x))

• Autrement dit, on a : ∀x∈E, (g◦f)(x) =g(f(x))

SoientE,F etG des ensembles etf :E→F,g:F →G des applications.

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y5

z1

z2

z3

z4

z5

z6 z7

E F

G f

g

Propriété

SoientE,F,Gtrois ensembles.

Soit f :E→F une application.

Soit h:G→H une application.

On a alors : h◦(g◦f) = (h◦g)◦f (la loi ◦ est associative)

Remarque

Avec les notations précédentes, on a :

• h◦g:F →H,

• g◦f :E →G,

• h◦g◦f :E →H.

(la notation h◦g◦f est autorisée du fait de l’associativité de la loi ◦)

(3)

I.5. Caractère injectif, surjectif, bijectif des applications

I.5.a) Injectivité Définition

• Une applicationf :E →Festinjectivesi tout couple d’éléments distincts de E fournit deux images distinctes parf.

∀(x₁, x2)∈E², x1 6=x2 ⇒ f(x1)6=f(x2)

SoientE,F des ensembles etf :E→F une application.

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

y5

E F

f

Exemple d’application injective et non injective.

1) L’application f : R → R

x 7→ x est injective.

En effet, si x1 et x2 sont deux éléments de E tels que x1 6= x2, alors f(x1) =x1 6=x2=f(x2).

2) L’application g : R → R

x 7→ x² est non injective.

En effet, −16= 1 etg(−1) = 1 =g(1).

3) Par contre,g _R+ est bien injective.

Propriété

f injective ⇔ Tout élément y∈F admet au plus un antécédent parf Démonstration.

On raisonne par double implication.

(⇒) Supposons par l’absurde que f est injective et qu’il existe un élément y∈F admettant strictement plus d’un antécédent parf.

Alors il existe(x₁, x₂)∈E² tel quex₁6=x₂ etf(x₁) =y =f(x₂).

Ceci contredit l’injectivité def.

(⇐) Supposons que tout élément y∈F admet au plus un antécédent parf. Soit(x1, x2)∈E² tel que x1 6=x2. Notons y1 =f(x1)ety2 =f(x2).

Alors on a forcément y₁ 6=y₂ car sinon y₁ posséderait deux antécédents distinctsx₁ etx₂.

Démontrer qu’une application est injective

On peut utiliser la définition équivalente, stipulant qu’une application est injective si et seulement si :

∀(x₁, x2)∈E², f(x1) =f(x2)⇒x1 =x2

Cette définition est l’écriture contraposée de la définition initiale.

(on a même : f(x₁) =f(x₂)⇔x₁ =x₂)

Démontrons que f :E→F injective.

Soit (x₁, x₂)∈E².

On suppose que f(x1) =f(x2). ...démonstration ...

Alors x₁=x₂.

On a donc démontré que f est injective.

(4)

Propriété

SoientE,F,Gdes ensembles.

f est injective gest injective

⇒ g◦f :E →G est injective

Autrement dit, la composée de deux applications injectives est injective.

Démonstration.

Supposonsf etg injectives et démontrons que g◦f :E →Gest injective.

Soit(x₁, x₂)∈E² tel que g◦f(x₁) =g◦f(x₂).

Autrement dit : g(f(x₁)) =g(f(x₂)).

Or, commeg est injective, on en déduit que : f(x1) =f(x2).

Or, commef est injective, on en déduit que : x₁ =x₂. Ainsig◦f est injective.

Propriété

g◦f est injective ⇒ f injective Démonstration.

Supposonsg◦f injective et démontrons quef :E→F est injective.

Soit(x1, x2)∈E² tel que f(x1) =f(x2).

On a alors : g(f(x1)) =g(f(x2)).

(égalité obtenue en composant chaque membre de l’égalité précédente par g) Autrement dit : g◦f(x₁) =g◦f(x₂).

Or, commeg◦f est injective, on en déduit que : x1 =x2. Ainsif est injective.

Propriété

Soit f :R→Rune application.

f strictement croissante ⇒ f est injective Démonstration.

Soit(x1, x2)∈R² tels quex1 6=x2.

Quitte à renommerx₁ etx₂, on peut supposer que : x₁ > x₂.

Or, la fonction f est strictement croissante. On a donc : f(x1)> f(x2).

Ainsi :f(x1)6=f(x2).

On en conclut quef est injective.

I.5.b) Surjectivité Définition

• Une applicationf deE dansF estsurjectivesi tout élément deF admet au moins un antécédent par f.

∀y ∈F,∃x∈E, y=f(x)

• Autrement dit,f surjective si : Im(f) =F Représentation graphique.

SoientE,F des ensembles et f :E→F une application surjective.

x1

x2

x3

x4

x5

y1

y2

y3

y4

E f F

(5)

Exemple d’application surjective et non surjective.

x 7→ x est surjective. En effet, tout élément y de Rest atteint parf puisque y=f(y).

x 7→ x² est non surjective. En effet,−1ne peut s’écrire comme le carré d’un réel (il n’existe pas dex∈Rtel que−1 =x²).

3) Par contre, h : R → R⁺

x 7→ x² est bien surjective. En effet, touty∈R⁺ peut s’écrire sous la formey=h(√

y). On a bien h(R) =R⁺. Démontrer qu’une application est surjective

La propriété définissant la surjectivité fournit le schéma de rédaction suivant.

Démontrons que f :E→F surjective.

Soit y∈F.

Exhibons x∈E tel que y =f(x).

...démonstration ...

Alors y=f(x).

On a donc démontré que f est surjective.

Remarque

• L’élément y nommé au début de la démonstration est un élément de l’en- sembleF. Le but de la démonstration est de démontrer qu’il existe x∈E tel que y=f(x), ce qui signifie quey ∈Im(f) (=f(E)).

• On démontre donc que tout élément y∈F vérifie y∈Im(f).

Autrement dit : F ⊂Im(f).

• Comme on a toujours Im(f)⊂F, on démontre ainsi :Im(f) =F.

On l’a déjà dit : il ne faut pas confondre F etIm(f).

Ces deux ensembles ne sont égaux que si f est surjective.

Propriété

f est surjective g est surjective

⇒ g◦f :E→G est surjective

Autrement dit, la composée de deux applications surjectives est surjective.

Démonstration.

Supposonsf etg surjectives et démontrons que g◦f est surjective.

Soit y∈G.

Démontrons qu’il existex∈E tel que y=f(x).

Comme g:F →Gest surjective, il existeu∈F tel que y=g(u).

Comme f :E →F est surjective, il existex∈E tel queu=f(x).

On a alors : y=g(u) =g(f(x)) =g◦f(x).

Ainsig◦f est surjective.

Propriété

g◦f est surjective ⇒ g surjective Démonstration.

Supposonsg◦f surjective et démontrons queg est surjective.

Soit y∈G.

Démontrons qu’il existex∈E tel que y=g(x).

Comme g◦f est surjective, il existeu∈E tel quey =g◦f(u) =g(f(u)).

Notons x=f(u). Alorsx∈F etx vérifie y=g(x).

Ainsif est surjective.

(6)

Propriété

SoientE etF deux ensembles etf :E→F une application.

Alors l’application f˜ : E → f(E)

x 7→ f(x) est surjective.

Démonstration.

Soit y∈f(E) ={f(x) |x∈E}.

Alors, par définition de f(E), il existex∈E tel que y=f(x) = ˜f(x).

Ainsif˜est surjective.

Remarque

• C’est une manière classique de rendre une fonction surjective.

• Cette propriété est notamment utilisé dans le théorème de la bijection.

Plus précisément, si f : [a, b]→Rest telle que :

× f est strictement croissante sur [a, b],

× f est continue sur [a, b],

alorsf est une bijection de[a, b]surf([a, b]). En effet : a) Commef est strictement croissante, elle est injective.

b) On rend alors cette fonction surjective modifiant son ensemble d’arrivée.

Plus précisément,f : [a, b]→f([a, b]) est surjective.

• Notez que nous n’avons pas eu besoin dans la démonstration précédente du caractère continue de la fonction f. Dès lors, à quoi sert cette hypothèse ? (i) Si f est continue, alors f([a, b]) est l’image d’un intervalle par une

fonction continue. C’est donc un intervalle.

(ii) Sous l’hypothèse de continuité de f on a la propriété : f injective ⇒ f strictement monotone

La réciproque étant toujours vérifiée, on obtient une caractérisation des applications strictement monotones. Sif est continue, on a :

f injective ⇔ f strictement monotone

I.5.c) Bijectivité Définition

• On dit que l’applicationf :E →F estbijectiveou définit unebijection de E dansF sif est injective et surjective.

• Ainsi, l’application f :E →F est bijectivesi tout élémenty∈F admet un et un seul antécédentx∈E parf. Autrement dit :

∀y∈F,∃!x∈E, y=f(x) Remarque

Sif :E →F est une application bijective :

× f est une application : donc à tout élément x de E correspond un et un seul élément y de F,

× f est bijective : donc à tout élémenty deF est associé un unique élément x de E parf (x est l’antécédent dey parf).

On en conclut qu’il y a « autant » d’éléments dans E que dans F.

Définition

Soit f :E→F une applicationbijective.

• La (bijection) réciproque associée àf, notéef⁻¹ :F →E, est l’application de F dansE qui, à chaquey deF, associe son unique antécédentx parf.

• On a alors : ∀x∈E,∀y∈F, x=f⁻¹(y) ⇔ y=f(x) (f⁻¹(y) est l’unique antécédent de y par f)

(7)

SoientE,F des ensembles etf :E→F une application bijective.

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

E f F

f⁻¹

Exemple d’application bijective et non bijective.

x 7→ x est bijective car elle est à la fois injective et surjective.

x 7→ x² n’est pas bijective. En fait, elle n’est ni injective ni surjective.

3) Par contre, t : R⁺ → R⁺

x 7→ x² est bien bijective puisqu’elle est à la fois injective est surjective. Touty∈R⁺ s’écrit d’une unique manière comme un carré :y= (√

y)²=t(y).

Propriétés

Soit f :E →F une application bijective.

a. L’application réciproque f⁻¹ est bijective et f⁻¹−1

=f b. 1) ∀x∈E,∀y∈F, (y=f(x) ⇔ x=f⁻¹(y))

2) ∀y∈F, f(f⁻¹(y)) = y 3) ∀x∈E, f⁻¹(f(x)) = x

Proposition 1.

Soient E et F deux ensembles.

Soit f :E →F et g:F →E des applications.

g◦f = id_E f◦g= idF

⇒ f et g sont bijectives.

De plus : g=f⁻¹ et f =g⁻¹ Démonstration.

a. On sait que g◦f = idE. Or idE est une bijection deE dansE.

Doncg◦f est bijective. On en déduit queg◦f est notamment surjective.

Ainsig est surjective.

De même, f◦g= id_F. Orid_F est une bijection deF dansF.

Doncf ◦g est bijective. On en déduit quef◦g est notamment injective.

Ainsig est injective.

On en déduit que g est bijective.

On démontre de la même manière que f est bijective.

b. La réciproque def est par définition l’application qui ày∈F associe son unique antécédent par f.

Soit y∈F. Alorsf(g(y)) =f ◦g(y) = id_F(y) =y.

L’élément g(y)est un antécédent dey parf.

Comme f est bijective, cet élément est unique. D’oùg(y) =f⁻¹(y).

Ainsi :∀y ∈F, g(y) =f⁻¹(y).

Autrement dit : g=f⁻¹. Proposition 2.

Soient E, F etG des ensembles.

Soit g:F →G une application.

• Si f :E→F etg:F →Gsont deux bijections,

alors la composée g◦f :E →Gest une bijection, et on a : (g◦f)⁻¹ =f⁻¹◦g⁻¹

(8)

Démonstration.

Le caractère associatif de la loi ◦ (parenthésage comme bon nous semble) nous permet d’écrire :

(g◦f)◦(f⁻¹◦g⁻¹)

= g◦f◦f⁻¹◦g⁻¹

= g◦(f ◦f⁻¹)◦g⁻¹

= g◦idF ◦g⁻¹

= (g◦id_F)◦g⁻¹

= g◦g⁻¹ = idG

(f⁻¹◦g⁻¹)◦(g◦f)

= f⁻¹◦g⁻¹◦g◦f

= f⁻¹◦(g⁻¹◦g)◦f

= f⁻¹◦idF ◦f

= (f⁻¹◦id_F)◦f

= f⁻¹◦f = idE

D’après la proposition1,g◦f est bijective, de réciproque f⁻¹◦g⁻¹. Méthodologie : déterminer la réciproque d’une application

• Par une étude théorique : via la proposition 1.

Exercice

Soit f :E →E une application vérifiant f◦f◦f = id_E. Montrer que f est bijective et déterminer son inverse.

• Par calcul : en inversant l’égalité y=f(x) Exercice

On considère l’application :

g: R\{−5} → R\{2}

x 7→ 2x−3 x+ 5

a. Démontrer que gest une bijection et déterminer sa réciproque.

b. Répondre aux mêmes questions pourh:

R → ]−1,1[

x 7→ x

1 +|x|

Exercice. (HEC 2018 - Oral) Justifier que la fonction f : x 7→ ln

1 +x 2x

définit une bijection de ]0,1]

sur[0,+∞[et trouver sa bijection réciproque.

Exercice

Soitf :E→E une application vérifiantf ◦f ◦f = id_E. Montrer quef est bijective et déterminer son inverse.

Démonstration.

Il suffit de remarquer que : (f ◦f)◦f = id_E f◦(f ◦f) = idE

.

Par la proposition1, on en conclut quef est bijective et quef⁻¹ = f◦f.

Le cas particulier des fonctions réelles d’une variable réelle Proposition 3.

Soit f :I →R.

1) Si f est strictement monotone sur I, alorsf est injective de I sur R. 2) Si f est strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I

sur f(I).

Démonstration.

On fait la démonstration dans le cas de la croissance (autre cas analogue).

1) Supposons f strictement croissante. Soit (x1, x2) ∈ I² tel que x1 6= x2. Quitte à renommer x1 et x2, supposons x1 < x2. Par stricte croissance de f, on a :f(x₁)< f(x₂) et donc :f(x₁)6=f(x₂).

2) L’image def coïncide avec son ensemble d’arrivée. La fonctionf est donc surjective. Étant de plus injective (cf précédent), elle réalise une bijection de I surf(I).

(9)

II. Propriétés générales des fonctions f : I → R

Dans la suite,I sera un intervalle (même si la plupart des opérations restent vraies sur une réunion d’intervalles).

II.1. Fonctions paires / impaires Définition

Soit I un intervalle symétrique par rapport à0.

• Une fonction f :I →R estpairesi : ∀x∈I, f(−x) = f(x)

• Une fonction f :I →R estimpairesi : ∀x∈I, f(−x) = −f(x) Remarque

• La courbe représentative d’une fonction paire (resp. impaire) est symé- trique par rapport à l’axe des ordonnées (resp. par rapport à l’origine).

• SiI =R, on peut écrire la propriété de parité comme suit : f :R→Rest paire ⇔ f◦(−id_R) = id_R◦f f :R→Rest impaire ⇔ f◦(−id_R) = (−id_R)◦f Propriété (jouons avec la définition . . .)

Soientf etgdeux fonctions définies sur R. 1) f paire ⇒ g◦f paire

2) f etg impaires ⇒ g◦f impaire 3) f impaire et gpaire ⇒ g◦f paire

II.2. Bornes d’une fonction

II.2.a) Notion de minorant / majorant Définition

Soit f :I →R.

1) f est minorée(sur I) si elle admet un minorant :

∃m∈R,∀x∈I, m6f(x) 2) f est majorée(surI) si elle admet un majorant :

∃M ∈R,∀x∈I, f(x)6M

3) f est bornée(sur I) si elle est à la fois majorée et minorée :

∃(m, M)∈R²,∀x∈I, m6f(x)6M ce qu’on peut aussi écrire sous la forme :

∃M ∈R⁺,∀x∈I, |f(x)|6M Remarque

Si une fonctionf admet un majorantM (resp. un minorantm) alors elle en admet une infinité. En effet, tout élément plus grand queM (resp. plus petit quem) est un majorant (resp. minorant) def.

Les bornes metM évoquées dans ces définitions ne sont pas forcé- ment des valeurs prises par f.

Par exemple, la fonctionf :x 7→ e^x−e^−x

e^x+e^−x est majorée par 1 (donc par1.1, 1.5, e,37,10¹⁸. . .) mais 1 n’est pas atteint par f.

(10)

II.2.b) Notion de minimum / maximum global Définition

Soit f :I →R.

1) f admet un minimumsur l’intervalle I si :

∃x₀ ∈I,∀x∈I, f(x)>f(x₀)

Si tel élément existe, on dit quef atteint son minimum au pointx0. 2) f admet un maximumsur l’intervalleI si :

∃x₀ ∈I,∀x∈I, f(x)6f(x0)

Si tel élément existe, on dit quef atteint son maximumau point x₀. Remarque

• S’il existe, le maximum (resp. minimum) d’une fonction sur I est unique.

Cependant, ce maximum peut être atteint en plusieurs points de I.

• Le maximum (resp. minimum) def surI, s’il existe, est un majorant (resp.

minorant) def qui est atteint parf.

x y

x₀ x₁

f(x₀) f(x₁)

La fonctionf admet le minimum−³₂. Ce minimum est atteint en les deux pointsx₀ etx₁ :

• f(x₀) =−³₂.

• f(x₁) =−³₂.

II.2.c) Notion de minimum / maximum local Définition

Soit f :I →Retx0 ∈I.

1) On dit que f admet unmaximum localen x₀ si :

∃α >0,∀x∈I, |x−x0|6α ⇒ f(x)6f(x0) 2) On dit que f admet unminimum local enx0 si :

∃α >0,∀x∈I, |x−x0|6α ⇒ f(x0)6f(x) Remarque

• Une fonction f peut admettre plusieurs maxima (resp. minima) locaux.

• Un maximum (resp. minimum) local d’une fonction f est un majorant (resp. minorant) local de f.

x y

x₀

x₁ x₂

f(x₀)

f(x₁)

f(x₂)

La fonction f admet :

• un minimum local enx0.

• un maximum local enx1.

• un minimum local enx2. La fonction f :

• n’admet pas de maximum.

• admet un minimum (global) au pointx₀.

La fonctionfn’admet pas de majorant. Elle admet une infinité de minorants : tout réelm∈Rtel quem6f(x0)est un minorant def. Parmi ses minorants, on peut distinguer celui qui a le plus d’intérêt.

(11)

II.2.d) Notion de borne supérieure / inférieure Définition

Soit f :I →R.

1) Sif est minorée sur I, on appelle borne inférieure de f surI le plus grand des minorants de f surI. Cet élément est notéinf

I f ou inf

x∈I f(x).

2) Sif est majorée sur I, on appelleborne supérieure de f surI, le plus petit des majorants def surI. Cet élément est notésup

I

f ousup

x∈I

f(x).

3) Sif est bornée sur I, on peut donc définir sup

I

|f|.

La borne supérieure (resp. inférieure) de f n’est pas forcément une valeur atteinte par f. Si c’est le cas il s’agit du minimum (resp.

maximum) de la fonction.

• siinf

I f ∈f(I), alors inf

x∈I f(x) = min

x∈I f(x)

• sisup

I

f ∈f(I), alors sup

x∈I

f(x) = max

x∈I f(x)

• Considérons la fonction f :x7→e^x.

x y

• La fonction f n’admet pas de minimum sur R.

• Elle est minorée par tout réel m60.

• Sa borne inférieure est : inf

R

f = 0.

• La fonction g:x7→ e^x−e^−x

e^x+e^−x n’admet pas de minimum / maximum.

x

y • La fonction g n’admet pas

de minimum / maximum.

• Elle est minorée par tout réel m6−1.

• Elle est majorée par tout réel M >1.

• inf

R

g=−1 etsup

R

g= 1.

II.3. Fonctions monotones Définition

Soit f :I →R.

1) La fonction f estcroissante surI si :

∀(x, y)∈I², x6y ⇒ f(x)6f(y) 2) La fonction f eststrictement croissante surI si :

∀(x, y)∈I², x < y ⇒ f(x)< f(y) 3) La fonction f estdécroissante surI si :

∀(x, y)∈I², x6y ⇒ f(x)>f(y) 4) La fonction f eststrictement décroissante surI si :

∀(x, y)∈I², x < y ⇒ f(x)> f(y) 5) La fonction f estmonotone surI si :

(f est croissante surI) OU(f est décroissante surI) On définit de même la notion de stricte monotonie.

(12)

Théorème 1. (théorème de la limite monotone) Soit f une fonction monotone sur I = ]a, b[ (a < b).

(avec a∈R∪ {−∞}et b∈R∪ {+∞})

1) Si x₀ ∈I : f admet une limite finieà gauche et à droite en x₀. 2) Si x0 =a : f admet une limite dans R∪ {−∞,+∞} enx0.

a) si f est croissante, lim

x→af(x) = ( inf

x∈I f(x) sif est minorée

−∞ sinon

b) sif est décroissante, lim

x→a f(x) = ( sup

x∈I

f(x) sif est majorée

+∞ sinon

3) Si x0 =b : f admet une limite dansR∪ {−∞,+∞}enx0.

a) si f est croissante, lim

x→b f(x) = ( sup

x∈I

f(x) si f est majorée

+∞ sinon

b) si f est décroissante, lim

x→b f(x) = ( inf

x∈I f(x) si f est minorée

−∞ sinon

Démonstration. (CULTURE)

Pour faire la démonstration, il faut connaître la notion de borne supérieure (et inférieure) d’une partie de Ret sa caractérisation.

SiE ⊂R alors le plus petit des majorants deE, lorsqu’il existe, est appelé borne supérieure de E et est noté M = supE.

On peut caractériser cette borne supérieureM de la façon suivante.

• ∀x∈E, x6M (M est un majorant)

• ∀ε >0,∃x∈E, M−ε < x (M−εn’est jamais un majorant)

On se limite ici au cas où f est croissante (cas f décroissante analogue) et on s’intéresse au casx0 =b. On distingue alors deux cas :

× soit f est majorée.

On note alors M = sup

x∈I

f(x) = sup {f(x) |x∈I}.

Soit ε > 0. De par la caractérisation précédente, on sait que M−εn’est pas un majorant de {f(x) |x∈I}.

Ainsi, il existe u∈I (i.e. a < u < b) tel que :M −ε < f(u)6M. Pour tout x tel que u6x < b, on a, par croissance de f :

M−ε < f(u)6f(x)6M En notant α=b−u >0, on a donc :

∀x∈I,(b−α6x < b ⇒ |f(x)−M|6ε)

× soit f est non majorée.

Soit A∈R.

Comme f non majorée, il existeu∈I (i.e. a < u < b) tel que :f(u)> A.

Pour tout x tel que u6x < b, on a, par croissance de f : A < f(u)6f(x)

En notant α=b−u >0, on a donc :

∀x∈I,(b−α6x < b ⇒ f(x)> A)

Ceci ne signifie pas qu’une fonction monotone admet une limite en tout point de ]a, b[. Par exemple, on peut considérer la fonction

f : [0,+∞[ → R

x 7→







√x si 06x <3 3 si x= 3 1

3x+ 3 si x >3

qui est (strictement) croissante mais n’admet pas de limite en 3.

(13)

III. Continuité sur un intervalle

III.1. Continuité globale Définition

Soit f :I →Rune fonction définie sur un intervalle I.

• La fonction f est continue sur I si elle est continue en tout point deI.

• Autrement dit, f est continue sur I si elle admet une limite finie en tout point de I. Ceci s’écrit :

∀x₀∈I,∃`∈R,∀ε >0,∃α >0,∀x∈I,(|x−x₀|6α ⇒ |f(x)−`|6ε) Rappel : notion de limite d’une fonction

Dire quef :R→R(définie sur un intervalleI) admet la limite`enx0∈I, c’est dire quef(x) peut approcher`aussi près que l’on veut pour peu que x soit suffisamment proche dex₀. Cela s’exprime comme suit :

∀v ∈ V_`,∃U ∈ V_x₀,∀x∈I∩U, f(x)∈V ou encore : ∀v∈ V_`,∃U ∈ V_x₀,∀x∈I, x∈U ⇒ f(x)∈V .

Il est à noter que cette définition est valable pourx0 (resp.`) fini ou non.

Soitf :I →Rdéfinie sur un intervalle I. Soient x0 ∈I et`∈R.

• Limites finies en un point

a. lim

x→x0

f(x) =`si :

∀ε >0, ∃α >0, ∀x∈I, (|x−x0|6α ⇒ |f(x)−`|6ε) b. lim

x→x⁻₀

f(x) =` si :

∀ε >0, ∃α >0, ∀x∈I, (x₀−α 6x < x₀ ⇒ |f(x)−`|6ε) c. lim

x→x⁺₀

f(x) =`si :

∀ε >0, ∃α >0, ∀x∈I, (x0 < x6x0+α ⇒ |f(x)−`|6ε)

• Limites infinies en un point Limite +∞

a. lim

x→x₀ f(x) = +∞si :

∀B >0, ∃α >0, ∀x∈I, (|x−x₀|6α ⇒ f(x)>B ) b. lim

x→x⁻₀

f(x) = +∞ si :

∀B >0, ∃α >0, ∀x∈I, (x₀−α6x < x₀ ⇒ f(x)>B ) c. lim

x→x⁺₀

f(x) = +∞si :

∀B >0, ∃α >0, ∀x∈I, (x0< x6x0+α ⇒ f(x)>B )

Limite −∞

d. lim

x→x0

f(x) =−∞si :

∀B >0, ∃α >0, ∀x∈I, (|x−x₀|6α ⇒ f(x)6−B ) e. lim

x→x⁻₀

f(x) =−∞ si :

∀B >0, ∃α >0, ∀x∈I, (x₀−α6x < x₀ ⇒ f(x)6−B ) f. lim

x→x⁺₀

f(x) =−∞si :

∀B >0, ∃α >0, ∀x∈I, (x0< x6x0+α ⇒ f(x)6−B )

(14)

• Limites en l’infini Limites en +∞

a. lim

x→+∞f(x) =` si :

∀ε >0, ∃A >0, ∀x∈I, (x>A ⇒ |f(x)−`|6ε) b. lim

x→+∞f(x) = +∞ si :

∀B >0, ∃A >0, ∀x∈I, (x>A ⇒ f(x)>B ) c. lim

x→+∞f(x) =−∞ si :

∀B >0, ∃A >0, ∀x∈I, (x>A ⇒ f(x)6−B ) Limites en −∞

d. lim

x→−∞ f(x) =` si :

∀ε >0, ∃A >0, ∀x∈I, (x6−A ⇒ |f(x)−`|6ε) e. lim

x→−∞ f(x) = +∞ si :

∀B >0, ∃A >0, ∀x∈I, (x6−A ⇒ f(x)>B ) f. lim

x→−∞ f(x) =−∞ si :

∀B >0, ∃A >0, ∀x∈I, (x6−A ⇒ f(x)6−B )

III.2. Opérations algébriques sur les fonctions continues Théorème 2.

Soient f, g :I →Rdeux fonctions continues sur I. Soitλ∈R.

Alors les fonctions f+g, λf, f×g sont des fonctions continues surI. De plus, si g ne s’annule pas sur I, 1

g et f

g sont aussi continues surI.

III.3. Composée de deux fonctions continues Proposition 4.

Soit f :I →R continue sur un intervalle I.

Soit g:J →Rcontinue sur un intervalle J.

On suppose de plus que :f(I)⊂J (pour queg◦f :I →Rsoit bien définie).

Alorsg◦f :I →R est continue sur I.

Démonstration.

Encore une fois, ce résultat global est un corollaire direct du résultat du chapitre précédent sur la limite en un point de la composéeg◦f.

III.4. Fonctions continues par morceaux Définition (continuité par morceaux sur un segment)

Soit aetbdeux réels tels que a < b.

On dit quef estcontinue par morceauxsur[a, b]s’il existe une subdivision a₀=a < a₁<· · ·< a_n=b telle que pour touti∈J0, n−1K:

1) f _]a_i_,a_i+1_[ est continue(i.e. continue sur ]a_i, a_i+1[),

2) f _]a_i_,a_i+1_[ est prolongeable par continuité sur l’intervalle fermé [a_i, a_i+1].

Définition (équivalente)

La fonctionf est continue par morceaux sur[a, b]s’il existe une subdivision a₀=a < a₁<· · ·< a_n=b telle que pour touti∈J0, n−1K:

• f est continue sur ]a_i, a_i+1[,

• f admet une limite finie à droite ena_i,

• f admet une limite finie à gauche en a_i+1.

(et ces limites ne sont pas forcément égales et peuvent aussi être différentes def(a_i) et f(a_i+1))

(15)

IV. Fonction partie entière

IV.1. Définition Définition

On appelle fonction partie entièrela fonction suivante.

b .c : R → Z

x 7→ bxc = le pus grand entier n∈Ztel que n6x Remarque

On peut aussi définirbxccomme l’unique entier relatif vérifiant la propriété : n6x < n+ 1.

IV.2. Propriétés Propriété fondamentale 1) De par la définition :

∀u∈R,∀n∈Z, (buc=n ⇔ n 6 u < n+ 1)

2) ∀u∈R, u−1<buc6u Propriété

• Pour tout k∈Z, on a :

× sur tout intervalle[k, k+ 1[, la fonctionx7→ bxcest constante égale àk,

× sur tout intervalle]k, k+ 1[, la fonction x7→ bxcest continue.

• On a : lim

x→−∞bxc=−∞ et lim

x→+∞bxc= +∞

IV.3. Représentation graphique

x y y=x

y=x−1

Fonctionx7→ bxc

x y y=x+ 1

y=x

Fonction x7→ dxe

Exercice

Tracer la courbe représentative de la fonctionx7→x− bxc.

Quelle est cette fonction ?

x y

Fonctionx7→x− bxc

Remarque

• Cette fonction est appelée partie fractionnaire (ou parfois mantisse).

• La fonction partie entière est à l’origine d’exercices sur les v.a.r. à densité et discrètes. On peut par exemple demander dans un premier temps l’étude de la loi d’une v.a.r.X à densité. Puis demander la loi deY =bXc (v.a.r.

discrète car d’ensemble image Y(Ω)⊂Z dénombrable).

(16)

V. Les grands théorèmes de la continuité sur I

V.1. Théorème des valeurs intermédiaires Théorème 3. (Théorème des Valeurs Intermédiaires)

Soit f :I →R une fonction continue sur un intervalleI. Si a etb sont deux points deI (a < b) tels que : f(a)f(b)60.

Alors il existe c∈[a, b] tel que f(c) = 0.

Démonstration.

a) Cas f(a) =f(b) = 0 : trivial. Prendrec=a.

b) Cas f(a)60 etf(b)>0(l’autre cas est analogue)

La démonstration se base sur une méthode dite « de dichotomie » qu’on peut résumer par le schéma suivant.

a₀ b₀

a1 b1

a2 b2

a₃ b₃ a₄ b₄

On construit une suite de segments emboîtés [a_n, b_n]tels que :

• f(a_n)60,

• f(bn)>0.

On définit les suites (an) et(bn) par récurrence.

0) Initialement, on posea₀ =a,b₀ =b etc₀ = a+b 2 . 1) Sif(c0)60, on posea1=c0 etb1 =b.

Sif(c₀)>0, on posea₁=a₀ etb₁=c₀. 2) . . .

...

n+1) On notecn= an+bn

2 .

Sif(cn)60, on posean+1=cn etbn+1 =bn. Sif(cn)>0, on posean+1=an etbn+1=cn.

Les suites (an) et(bn) ainsi construites sont adjacentes. En effet :

• an+1>an,

• b_n+1 6b_n,

• bn−an= bn−1−an−1

2 =· · ·= b₀−a₀

2ⁿ −→

n→+∞0.

Ainsi, (an) et (bn) sont convergentes et convergent vers la même limite c= supan= infbn. On note au passage quea=a06c6b0 =b.

Or, par définition de a_n etb_n, on a : f(a_n)60etf(b_n)>0.

Comme f est continue,f(an) etf(bn)sont convergentes de limite f(c).

Par passage à la limite dans les inégalités précédentes, on obtient : f(c)60 et f(c)>0

Ainsi, on a bien exhibé c∈[a, b]tel que f(c) = 0.

(17)

Théorème 4. (TVI - énoncé(s) bis)

Soit f :I →R une fonction continue sur un intervalle I.

Soit (a, b)∈I² tel que a < b.

1) Alors toute valeur comprise entref(a)etf(b)est atteinte parf sur[a, b].

2) Ce théorème peut aussi s’énoncer sous la forme suivante :

« L’image par une fonction continue d’un intervalle est un intervalle ».

Démonstration.

1) On suppose (par exemple) f(a)6f(b). Soit z∈[f(a), f(b)].

Il suffit alors d’appliquer le TVI à la fonction g=f −z.

2) Soit f :I →Rcontinue sur un intervalleI.

Soientu etv deux éléments de f(I) ={y∈R | ∃x∈I, y=f(x)}.

On suppose (quitte à renommer ces éléments) que : u < v.

Pour montrer que f(I)est un intervalle, il suffit de démontrer que toute valeur comprise entre uetv est dans f(I).

Par définition de f(I), il existea∈I, tel que : u=f(a).

De même, il existe b∈I tel que v=f(b).

Or, par le TVI, pour tout z ∈ [f(a), f(b)] il existe α ∈ [a, b] tel que z=f(α). Ainsi, z∈f(I).

L’image par une fonction continue d’un intervalle est un intervalle qui n’est pas forcément de même nature.

(considérer g:x→x² et I = ]−1,1[par exemple)

Cette propriété est vérifiée si l’on suppose de plus que f est strictement monotone sur l’intervalle dont on cherche l’image.

V.2. Théorème de compacité Théorème 5. (théorème des bornes)

• Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

• L’image par une fonction continue d’un segment est un segment.

Ce qu’on écrit sous la forme : «f([a, b]) = [m, M]».

Démonstration.

La démonstration requiert des outils dont nous ne disposons pas en ECE.

Admis.

V.3. Théorème de la bijection Théorème 6.

Soit f :I →R une fonction : 1) continue sur I,

2) strictement monotone sur I.

On a alors :

• f(I) est un intervalle de même nature que I,

• f :I →f(I) est une application bijective,

• f⁻¹:f(I)→I est continue et strictement monotone sur f(I).

Plus précisément, f⁻¹ possède le même sens de monotonie quef. Démonstration.

• f(I) est un intervalle car c’est l’image d’un intervalle par une fonction continue (TVI - ter).

• La fonction f :I →f(I)est bijective (résultat de la Proposition 3).

• Montrons alors que f⁻¹ :f(I)→I est aussi strictement monotone.

Supposonsf strictement croissante (le casf décroissante est similaire).

Il s’agit de montrer : ∀(u₁, u₂)∈(f(I))², u₁ < u₂ ⇒f⁻¹(u₁)< f⁻¹(u₂).

Soientu1 etu2 deux éléments de f(I). Ainsi :

× il existex₁ ∈I tel que u₁ =f(x₁),

× il existex₂ ∈I tel que u₂ =f(x₂).

D’où f⁻¹(u1) =f⁻¹(f(x1)) =x1 et f⁻¹(u2) =f⁻¹(f(x2)) =x2. L’implication à montrer s’écrit donc :f(x1)< f(x2)⇒x1< x2. On la démontre par contraposée :

si x1 >x2 alorsf(x1)>f(x2) carf est croissante.

• Il reste à démontrer que f⁻¹ est continue sur f(I). Admis.

(18)

VI. Dérivabilité sur un intervalle

VI.1. Dérivabilité en un point

Dans la suite, on noteraI ⊂Run intervalle et on noterax₀ un point de I.

Définition

Soit f :I →Ret soit x0 ∈I.

On appelle taux d’accroissementde f en x0 la fonction : τx0(f) : I\ {x₀} → R

x 7→ f(x)−f(x₀) x−x0

Interprétation graphique

NotonsM(x, f(x))etM0(x0, f(x0))points de la courbe représentative de f.

Alorsτx0(f)(x)est la pente de la cordeM0M.

x x0

f(x)

f(x0)

Définition

Soit f :I →Ret soit x₀ ∈I.

• On dit que f est dérivable en x₀ lorsque la fonction τ_x₀(f) admet une limite finie enx₀.

• Lorsque cette limite existe, elle est appelée nombre dérivé de f en x₀ et est noté f⁰(x0). Autrement dit :

f⁰(x₀) = lim

x→x₀

f(x)−f(x₀) x−x₀ = lim

h→0

f(x₀+h)−f(x₀) h

Interprétation graphique

x x0 x

(19)

VI.2. Propriétés des fonctions dérivables en un point Théorème 7.

Soit f :I →R et soit x₀ ∈I.

f est dérivable en x0 ⇒ f est continue en x0

Démonstration.

Supposons que f est dérivable enx0 ∈I et soit x6=x0. Par définition, on a : τx0(f)(x) = f(x)−f(x0)

x−x₀ . Ainsi :f(x) =f(x0) + (x−x0)τx0(f)(x).

On en déduit que f est continue enx₀ car somme de :

× x7→f(x₀) continue en x₀ car constante.

× x7→(x−x₀)τ_x₀(f)(x) continue en x₀ car produit de : (i) x7→x−x₀ continue en x₀ car polynomiale,

(ii) x7→τ_x₀(f)(x) continue enx₀ carf est dérivable enx₀. Remarque

La réciproque est fausse. Contre-exemples à cette réciproque :

• La fonction x7→ |x|qui est continue en0 mais pas dérivable en0.

• Les fonctions x7→ √ⁿ

x(n >1) continues en0mais pas dérivables en0.

Théorème 8.

Soit f :I →R et soit x0 ∈

◦

I.

(x₀ n’est pas une extrémité de I : c’est un point intérieur à I) f est dérivable en x0

f admet un extremum local en x0

⇒ f⁰(x0) = 0

Remarque

La réciproque est fausse.

Le contre exemple classique est la fonction x 7→ x³ qui est de dérivée nulle en 0 mais qui n’atteint pas de maximum (resp. minimum) en ce point.

x y

VI.3. Tangente de f en x₀ Définition

Soit f :I →Retx₀ ∈I.

• Sif est dérivable enx₀, on appelletangente def enx₀la droite passant par(x₀, f(x₀))de cœfficient directeurf⁰(x₀).

• Autrement dit, c’est la droite d’équation : y=f(x0) +f⁰(x0) (x−x0) Définition (Tangente de la forme x=x₀)

Soit f :I →Retx0 ∈I.

Supposons que :

× f est continue enx₀

× lim

x→x0

τ_x₀(f)(x) = +∞(resp. −∞) (f est donc non dérivable enx₀)

• On appelletangente verticale de f enx0 la droite verticale passant par le point (x₀, f(x₀)).

• Autrement dit, c’est la droite d’équation x=x0. Représentation graphique

x y

x0

Tangente

x y

x0

Demi-tangentes

x y

Tangente verticale

(20)

VI.4. Dérivabilité globale

VI.4.a) Notion de fonction dérivable sur un ensemble Définition

Soit f :I →R.

• La fonction f est dite dérivable sur I si elle est dérivable en tout point deI. On appelle alorsfonction dérivéeet on notef⁰ la fonction suivante.

f⁰ : I → R x 7→ f⁰(x)

• Une fonction est dite dérivable sur une réunion finie d’intervalles Dsi elle est dérivable sur chacun des intervalles composantD.

(la fonction x7→ |x| est dérivable sur]− ∞,0[∪ ]0,+∞[: en effet, elle est dérivable sur ]− ∞,0[ et sur ]0,+∞[.) VI.4.b) Dérivabilité et opérations algébriques Théorème 9.

Soient f :I →Ret g:I →R et soitλ∈R. Supposons que f etg sont dérivables sur I.

Alors les fonctions f+g, λf, f×g sont dérivables sur I.

Si de plus, g ne s’annule pas sur I, alors 1 g et f

g sont dérivables sur I. VI.4.c) Dérivabilité des fonctions composées

Théorème 10.

Soient h:J →Ret g:I →Ravec g(I)⊂J.

Supposons g est dérivable surI et que h est dérivable sur J.

Alorsh◦g:I →R est dérivable surI et (h◦g)⁰ = (h⁰◦g)×g⁰

VI.4.d) Dérivabilité des fonctions réciproques Théorème 11.

Soit f :I →R (oùI est un intervalle).

Supposons que f réalise une bijection deI sur f(I).

Supposons que f est dérivable surI. Supposons que f⁰ ne s’annule pas sur I.

Alorsf⁻¹ :f(I)→I est dérivable sur f(I), et : f⁻¹0

= 1

f⁰◦f⁻¹ Remarque

• L’hypothèse de bijectivité est généralement obtenue par le théorème de la bijection. On rappelle que sif est continue et strictement croissante surI, alorsf réalise une bijection de I surf(I).

• On peut retrouver la formule du théorème via l’égalitéf ◦f⁻¹ = id.

En effet, en dérivant formellement cette égalité, on obtient : f⁰◦f⁻¹

× f⁻¹0

= 1 Interprétation géométrique

x y

• La formule : (f⁻¹)⁰(y₀) = 1

f⁰(x0) signifie que le coefficient directeur de la tangente eny0 de f⁻¹ est l’inverse de la tangente enx0 de f.

• Les tangentes de f⁻¹ en y₀ et def en x₀ sont symétriques par rapport à l’axe y=x.

(21)

VI.5. Dérivées successives

VI.5.a) Définition Définition

Soit f :I →R.

Supposons que f est dérivable sur I.

• On dit que f est n fois dérivablesurI si :

× f estn−1 fois dérivable sur I,

× f⁽ⁿ⁻¹⁾ est dérivable surI.

On note alors : f⁽ⁿ⁾= (f⁽ⁿ⁻¹⁾)⁰:I →R.

• On dit quef estindéfiniment dérivablesurI si, pour toutn∈N,f est n fois dérivable surI.

VI.5.b) Caractère Cⁿ et C^∞ Définition

Soit f :I →R.

• On dit que f est declasse Cⁿ sur I si

× f estn fois dérivable surI,

× f⁽ⁿ⁾ est continue sur I.

• Ainsi, on dit que f est de classe C⁰ surI sif est continue surI.

• Enfin, on dit que f est de classeC^∞surI si, pour toutn∈N,f estnfois dérivable sur I.

VI.5.c) Opérations algébriques sur les fonctions de classe Cⁿ Théorème 12.

Soient f, g:I →R, soit λ∈Ret soit n∈N.

Supposons que f etg sont nfois dérivables (resp. Cⁿ/C^∞) surI.

• Les fonctions f+g,λf,f×g sont nfois dérivables (resp. Cⁿ/C^∞) sur I.

• Si la fonctiongne s’annule pas surI alors le quotient f

g estnfois dérivable (resp. Cⁿ/C^∞) sur I.

De plus, sif etgsontnfois dérivables, on a la formule suivante, dite formule de Leibniz : (f ×g)⁽ⁿ⁾ =

Pn k=0

n k

f^(n−k)×g^(k)

VI.5.d) Composées de fonctions de classe Cⁿ Théorème 13.

Soient h:J →R et g:J →R avecg(I)⊂J.

Supposons que h estn fois dérivable (resp. Cⁿ/C^∞) sur J. Supposons que g estn fois dérivable (resp. Cⁿ/C^∞) sur I.

Alorsh◦g:I →R estn fois dérivable (resp. Cⁿ/C^∞) surI.

(22)

VII. Les grands théorèmes de la dérivabilité sur un intervalle

VII.1. Théorème de Rolle Théorème 14.

Soient a et bdeux réels tels que a < b.

Soit f : [a, b]→R.

• f continue sur[a, b]

• f dérivable sur ]a, b[

• f(a) =f(b)







⇒ il existec∈]a, b[tel quef⁰(c) = 0

On peut aussi opter pour la formulation (légèrement différente) suivante.

Soit f :I →R et(a, b)∈I² oùI est un intervalle.

• f dérivable sur un intervalleI

• f(a) =f(b)

)

⇒ il existe c ∈ ]a, b[ tel que f⁰(c) = 0

Interprétation géométrique.

f(a) f(b)

a b

c1 c2 c3

La courbe représentative de f possède (au moins) une tangente parallèle à l’axe des abscisses (et donc parallèle à la corde joignant (a, f(a)) à (b, f(b))).

Démonstration.

• Tout d’abord, on sait qu’une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

Ainsi, f([a, b]) = [m, M]où m = min

[a,b] f =f(c1) et M = max

[a,b] f =f(c2) avec c₁ ∈[a, b]etc₂∈[a, b].

• Le but est alors de démontrer que l’un de ces deux extrema est atteint sur ]a, b[. Si c’est le cas, on conclut par le théorème8 quef⁰(c) = 0.

• On distingue alors deux cas :

1) Sim=M alors pour toutx∈[a, b],m6f(x)6M =m.

Donc f est constante sur[a, b].

Ainsif⁰ = 0 sur[a, b]et tout c∈ ]a, b[est tel quef⁰(c) = 0.

2) Sim6=M, trois cas se présentent :

× soit c1=a: on démontre dans ce cas que c2∈ ]a, b[.

Commec₁=a, on am=f(c₁) =f(a). Rappelons que M =f(c₂).

c₂ 6=a(sinon f(c₂) =f(a) et alorsM =f(a) =m), c₂ 6=b(sinon f(c₂) =f(b) et alorsM =f(b) =f(a) =m).

Ainsi, c₂ ∈ ]a, b[. Enfin, comme f est dérivable en c₂ ∈ ]a, b[ et y atteint son maximum, on af⁰(c₂) = 0.

× soit c₁∈ ]a, b[: comme f est dérivable enc₁ ∈ ]a, b[et y atteint son minimum, on af⁰(c1) = 0.

× soitc1 =b: on démontre, comme dans le premier cas que c2∈]a, b[.

Commec1=b, on a m=f(c1) =f(b). Rappelons queM =f(c2).

c2 6=a(sinon f(c2) =f(a) et alorsM =f(a) =f(b) =m), c2 6=b(sinon f(c2) =f(b) et alorsM =f(b) =m).

Ainsi, c2 ∈ ]a, b[. Enfin, comme f est dérivable en c2 ∈ ]a, b[ et y atteint son maximum, on af⁰(c₂) = 0.

(23)

VII.2. Théorème des accroissements finis Théorème 15.

Soient a et bdeux réels tels que a < b.

• f dérivable sur ]a, b[ ⇒

il existe c∈ ]a, b[ tel que f⁰(c) = f(b)−f(a)

b−a Démonstration.

Il s’agit de comparerf à sa corde passant par(a, f(a))et(b, f(b)).

Cette corde a pour équationy=g(x)où g est définie par : g:x7→f(a) +f(b)−f(a)

b−a (x−a) appliquer le théorème de Rolle à la fonction h=f−g.

Interprétation géométrique.

f(a)

f(b)

a b

c₁ c₂ c₃

La courbe représentative de f possède (au moins) une tangente parallèle à sa corde passant par (a, f(a))et(b, f(b)).

VII.3. Inégalité des accroissements finis Théorème 16.

Soient a etb deux réels tels que a < b.

• f dérivable sur ]a, b[

• il existe m et M tels que

∀u∈ ]a, b[, m6f⁰(u)6M











⇒ m 6 f(b)−f(a) b−a 6 M

On peut aussi opter pour la formulation suivante.

Soit f :I →R et(x, y)∈I² oùI est un intervalle.

• f dérivable sur I

• il existe M >0,

∀u∈I, |f⁰(u)|6M







⇒ ∀(x, y)∈I², |f(y)−f(x)| 6 M |y−x|

Application à l’étude de suites de type un+1 =f(un) Théorème 17 (le redémontrer dans chaque exercice).

Soit f :I →R avecI intervalle.

On considère la suite(un) définie par :

u0 ∈I

∀n∈N, u_n+1=f(u_n) Supposons que f est dérivable surI.

Supposons qu’il existe M >0 tel que : ∀u∈I, |f⁰(u)|6M. Supposons que I est stable par f (i.e. f(I)⊂I).

Supposons que f admet un point fixe `∈I (i.e. f(`) =`).

1) ∀n∈N, u_n∈I 2) ∀n∈N, |u_n+1−`| 6 M |u_n−`|

3) ∀n∈N, |u_n−`| 6 Mⁿ |u₀−`|

4) Si on sait de plus que06M <1, alors(u_n)est convergente, de limite `.

(24)

VIII. Dérivation et sens de variation

VIII.1. Caractérisation des fonctions monotones par le signe de la dérivée

Théorème 18.

Soit f :I →R une fonction dérivable sur I (oùI intervalle deR).

a) f est croissante sur I ⇔ f⁰ est positive ou nulle sur I b) f est décroissante sur I ⇔ f⁰ est négative ou nulle sur I c) f est constante sur I ⇔ f⁰ est nulle surI

d) f⁰ strictement positive surI ⇒ f strictement croissante surI e) f⁰ strictement négative surI ⇒ f strictement décroissante surI Remarque

Il n’y a pas équivalence. Pour s’en convaincre, on peut considérer par exemple la fonction f : x 7→ x³, strictement croissante sur R mais dont la dérivée f⁰ :x7→3x² n’est pas strictement positive surR (carf⁰(0) = 0).

Théorème 19.

a) f⁰ >0 sur I et f⁰ ne s’annule qu’en

un nombre fini de points ⇒ f strictement croissante sur I b) f⁰ 60 sur I et f⁰ ne s’annule qu’en

un nombre fini de points ⇒ f strictement décroissante sur I

VIII.2. Extremum local d’une fonction dérivable Théorème 20.

Soit x₀ ∈

◦

I.

f⁰ s’annule en changeant de signe enx₀∈

◦

I ⇒ f admet un extremum

local en x₀ ∈

◦

I Démonstration.

Supposons quef⁰ s’annule en changeant de signe enx0. Il existe doncα >0tel que (par exemple) :

× f⁰ 60 sur[x₀−α, x₀[.

La fonction f est donc décroissante sur [x₀−α, x₀[.

× f⁰ >0 sur]x₀, x₀+α].

La fonction f est donc croissante sur]x0, x0+α].

Ainsi, elle admet un minimum enx0.

x f⁰(x)

f

x0−α x0 x0+α

+ 0 +

f(x0) f(x0)

(25)

IX. Fonctions convexes

IX.1. Définition et premières caractérisations Définition

Soit f :I →R.

• La fonction f est diteconvexesur l’intervalle I si :

∀(x₁, x2)∈I²

∀(t₁, t2)∈[0,1]² tels que t₁+t₂= 1,







f(t1x1+t2x2) 6 t1f(x1) +t2f(x2)

• De manière équivalente, f est convexesurI si

∀(x₁, x₂)∈I²

∀λ∈[0,1]

f(λx1+ (1−λ)x2) 6 λf(x1) + (1−λ)f(x2)

• La fonction f est diteconcavesur l’intervalle I si−f est convexe surI. Autrement dit,f est concave surI si :

∀(x₁, x₂)∈I²

∀λ∈[0,1]

f(λx1+ (1−λ)x2) > λf(x1) + (1−λ)f(x2) (permet de traduire les propriétés de convexité pour les fonctions concaves) Remarque

• De manière générale, si (u, v)∈R² avec v > u, alors {λu+ (1−λ)v |λ∈[0,1]}= [u, v]

• Ceci se démontre facilement par double inclusion :

(⊆) Si z = λu+ (1−λ)v pour λ ∈ [0,1], alors z > λu+ (1−λ)u = u et z6λv+ (1−λ)u=v.

(⊇) Siz∈[u, v], il suffit de poser λ= z−v u−v.

Interprétation graphique.

• L’inégalité de convexité correspond donc à comparer l’image par f d’un point de[x1, x2]avec un point de[f(x1), f(x2)].

• Plus précisément, cette inégalité signifie que siAetB sont deux points de la courbe représentative def alors l’arc de courbe joignantAàB est situé en dessous de la corde de f joignantA à B.

x z y

f(z)

λf(x) + (1−λ)f(y) f(x)

f(y)

Proposition 5.

Soit f :I →R.

f est convexe sur I si et seulement si pour tout x₀ ∈I :

la fonction

τx0(f) : I\ {x₀} → R x 7→ f(x)−f(x₀)

x−x₀

est croissante