S’entrainer plus
Conditionnement et indépendance
Exercice 1 : Une agence de voyage propose à sa clientèle deux formules : -une formule hôtel comportant transport et hébergement.
-une formule club comportant transport, hébergement, circuit et animation.
Une étude montre que30% des clients choisissent la formule hôtel et70%la formule club. D’autre part, parmi les clients ayant choisi la formule hôtel,80%effectue leur voyage en France et20%à l’étranger.Enfin, parmi ceux ayant choisi la formule club,40%
effectuent leur voyage en France et60%à l’étranger.
Un client se présente à l’agence.
1. Calculer la probabilité pour qu’il choissise un voyage à l’étranger.
2. Le client demande un voyage à l’étranger ; calculer la probabilité pour qu’il prenne la formule club.
Exercice 2 :
Lors d’une épidémie,35%des animaux d’un élevage sont atteints par une maladie. Un test est effectué :
La probabilité pour qu’un animal malade ait une réaction positive est0.9et la probabilité pour qu’un animal sain ait une réaction négative est0.8.
Pour un animal considéré au hasard, on note :
M l’événement « être atteint par la maladie» etRl’événement « Avoir une réaction positive»
1. (a) Déterminer la probabilité qu’un animal ait une réaction positive .
(b) Déterminer la probabilité qu’un animal ayant une réaction positive soit malade.
(c) Déduire la probabilité pour qu’un animal ayant une réaction positive soit sain.
2. Déterminer la probabilité pour qu’un animal ayant une réaction négative soit malade.
Exercice 3Antilles-Guyanne, Juin 2005
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est exacte.
On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant â la réponse choisie.
Un lecteur d’une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies.
40 % des écrivains de romans policiers sont français et 70 % des écrivains de biographies sont français.
Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.
1. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :
a. 0,4 b. 0,75 c. 1
150 2. Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l’auteur soit français est :
a. 0,3 b. 0,8 c. 0,4
3. La probabilité que Ie lecteur choisisse un roman policier français est
a. 1,15 b. 0,4 c. 0,3
4. La probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un écrivain français est :
a. 0,9 b. 0,7 c. 0,475
5. La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l’écrivain est français est : a. 4
150 b. 12
19 c. 0,3
6. Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque ; la probabilité qu’il ait choisi au moins un roman policier est : a. 1−(0,25)20 b. 20×0,75 c. 0,75×(0,25)20
Exercice 4 :(Antilles-Guyane, Juin 2002 ACO3p41 )
Pour entretenir en bon état de fonctionnement le chauffage, une société immobilière fait contrôler les chaudières de son parc de logements pendant l’été. On sait que20%des chaudières sont sous garantie.
Parmi les chaudières sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse est de 1 100.
Parmi les chaudières qui ne sont plus sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse est de 1 10. On appelleGl’événement suivant : « la chaudière est sous garantie».
1. Calculer la propabilité des événements suivants : A: « la chaudière est garantie et est défectueuse».
B: « la chaudière est défectueuse ».
2. Dans un logement, la chaudière est défectueuse. Montrer que la probabilité qu’elle soit sous garantie est de 1 41.
3. Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie. Il coûte 80 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et n’est pas défectueuse. Il coûte 280 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et est défectueuse. On noteXla variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d’une chaudière. Déterminer la loi de probabilité deXet son espérance mathématique.
Exercice 5 :
Des observations d’un gardien de but permettent d’estimer que lors d’une séance de tir : - La probabilité pour que le 1er tir soit arrêté est0.7.
- La probabilité pour que, le n-ième tir étant arrêté, le(n+ 1)ièmeest arrêté, est0.8.
- La probabilité pour que, le n-ième tir n’étant pas arrêté, le(n+ 1)ièmeest arrêté, est0.6.
On noterapnla probabilité de l’événementAn:« lenièmetir est arrêté».
1. (a) Donner les probabilités déduites de l’énoncé.
(b) Exprimer en fonction depnla probabilité pour que lenièmetir et le(n+ 1)ièmetir soient arrêtés.
(c) Exprimerpn+1en fonction depn.
2. On considère la suite(Un)définie pourn≥1parUn=pn−0.75.
(a) Démontrer que(Un)est une suite géométrique.
(b) Exprimerpnen fonction den.
(c) Etudier la limite de la suite(pn).
Exercice 6 :(Asie, juin 2002 ACO3p56 )
Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l’avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores.
Pour tout entier natureln≥1, on noteEnl’événement : « Amélie est arrêtée par le nièmefeu rouge ou orange » etEnl’événement conraire. Le feu orange est considéré comme un feu rouge.
Soitpnla probabilité deEnetqncelle deEn. La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou orange vaut 1 8. On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées :
•la probabilité que len+ 1ièmefeu tricolore soit rouge ou orange, si lenièmefeu est rouge ou orange vaut 1 20.
•la probabilité que len+ 1ièmefeu tricolore soit rouge ou orange, si lenièmefeu est vert vaut 9 20. 1. On s’intéresse, tout d’abord, aux deux premiers feux tricolores.
(a) Faire un arbre pondéré illustrant la situation.
(b) On noteXla variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces deux premiers feux tricolores. Déterminer la loi de probabilité deX.
(c) Calculer l’espérance deX.
2. On se place maintenant dans le cas général.
(a) En remarquant queEn+1= (En+1∩En)∪(En+1∩En), montrer que, pour toutn≥1,pn+1= 1 20pn+ 9
20qn. (b) En déduire l’expression depn+1en fonction depn.
3. Soit la suite(un)de nombres réels définie pour tout entier natureln≥1par :un= 28pn−9.
(a) Montrer que(un)est une suite géométrique et déterminer sa raisonk.
(b) Exprimerunpuispnen fonction den.
(c) Déterminer la limite, si elle existe, depn, quandntend vers+∞. Donner une interprétation de ce résultat.
Exercice 7 :(Liban, juin 2003 ACO4p153 )
Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches.
Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 2. On répètenfois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants.
On notepnla probabilité de tirer exactement une boule blanche lors desn−1premiers tirages et une boule blanche lors dun-ième tirage.
1. Calculer les probabilitésp2, p3etp4. 2. On considère les événements suivants :
Bn: « On tire une boule blanche lors du n-ième tirage»,
Un: « On tire une boule blanche et une seule lors desn−1premiers tirages », (a) Calculer la probabilité de l’événementBn.
(b) Exprimer la probabilité de l’événementUnen fonction den.
(c) En déduire l’expression depnen fonction denet vérifier l’égalité :pn= n−1
4 ×
2 3
n
. 3. On poseSn=p2+p3+· · ·+pn.
(a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à2, on a Sn= 1−(n
2 + 1)×2 3
n
.
(b) Déterminer la limite de la suite(Sn).
S’entrainer plus Les combinaisons
Exercice 8 :(D’après Hyperbole p392)
On tire au hasard5cartes dans un jeu de32cartes. On appelle « main » l’ensemble des 5 cartes obtenues.
1. Quel est le nombre de « mains » différentes ? 2. Quel est le nombre de « mains » contenant4as ?
3. Quel est le nombre de « mains » contenenant un as exactement ? Exercice 9 :(D’après Hyperbole p392)
Une association est formée de 35 personnes dont 15 hommes et 20 femmes. On se propose de former un bureau de5personnes, dans lequel doivent se trouver au moins 2 femmes et 2 hommes.
De combien de façons peut-on former ce bureau ?
Exercice 10 :(D’après Hyperbole p392)
L’équipe de basket d’un lycée doit disputer un match. 8 élèves ont été selectionnés parmi lesquels figure Jean. Pour un match, l’entraîneur choisit au hasard5joueurs parmi les 8 selectionnés. On appellera «cinq» cet ensemble de 5 joueurs.
1. Combien l’entaineur peut-il former de « cinq» différents ?
2. Démontrer que la probabilité que Jean fasse partie du «cinq» est égale à 5 8. Exercice 11 :(Groupe IV, Juin 1995-ACO4-p351)
Dans tout l’exercice, on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
Partie A :
Dans une urneU1on a placé 4 jetons portant le nombre100et 3 jetons portant le nombre200.
On extrait simultanément au hasard 3 jetons deU1et on note la somme des nombres inscrits sur ces 3 jetons.
1. Montrer que la probabilité d’obtenir une somme égale à400vaut 18 35.
2. SoitX la variable aléatoire associant à chaque tirage de 3 jetons la somme obtenue.
(a) Déterminer la loi de probabilité deX.
(b) Calculer l’espérance mathématique deX.
Partie B :
On considère l’urneU1de la première question et une autre urneU2contenant 3 jetons marqués 100 et 2 jetons marqués 200.
Un tirage consiste à extraire un jeton deU1puis un jeton deU2. 1. Calculer la probabilité d’obtenir 2 jetons portant le même nombre.
2. En déduire la probabilité pour que la somme des nombres tirés soit égale à 300.
3. Calculer la probabilité d’avoir extrait deU1un jeton marqué 100 sachant qu’on a obtenu une somme égale à 300.
Exercice 12 :
1. Construire le triangle de Pascal jusqu’à la lignen= 7. Donner alors les valeurs de 7
5
; 5
3
. 2. Développer avec la formule du binôme :(1 + 2i)6 ; (3x−2)4.
3. Démontrer que
5
X
k=0
5 k
= 32.
S’entrainer plus
Lois discrètes et lois continues
Exercice 13 :
Un joueur mise 10 euros puis tire simultanément 3 cartes d’un jeu dont on a conservé seulement les personnages.Il recoit 9 euros par roi obtenu. On noteXla va égale au nombre de rois tirés etGcelle égale au gain du joueur.
1. (a) Déterminer la loi de probabilité deX.
(b) Déterminer la probabilité pour que le joueur tire au moins un roi.
2. (a) Déterminer la loi de probabilité deG.
(b) Le jeu est-il équitable ?
3. Le joueur effectue 5 parties. On noteY la va égale au nombre de parties où le joueur a tirés 3 rois.
(a) Déterminer la loi de probabilité deY.
(b) Déterminer la probabilité pour que le joueur obtienne au moins 4 fois 3 rois.
(a) Déterminer la probabilitépnpour que le joueur obtienne au moins une fois 3 rois.
(b) Déterminer la limite de la suite(pn).
(c) Déterminer le plus petit entiernpour quepn≥0.99.
Exercice 14 :(Antilles-Guyane, Juin 2003, AC04 p56)
Une entrepriseAest spécialisée dans la fabrication en série d’un article. Un contrôle de qualité a montré que chaque article produit par l’entrepriseApouvait présenter deux types de défaut : un défaut de soudure avec une probabilité égale à0.03et un défaut sur un composant électronique avec une probabilité égale à0.02. Le contrôle a montré aussi que les deux défauts étaient indépendants.
Un article est dit défectueux s’il présente au moins l’un des deux défauts.
1. Montrer que la probabilité qu’un article fabriqué par l’entrepriseAsoit défectueux est égale à0.049 4.
2. Une grande surface reçoit800articles de l’entrepriseA. SoitXla variable aléatoire qui à cet ensemble de800articles associe le nombre d’articles défectueux.
(a) Définir la loi deX.
(b) Calculer l’espérance mathématique deX. Quel est le sens de ce nombre ? 3. (a) Un petit commerçant passe une commande de25articles à l’entrepriseA.
Calculer, à10−3près, la probabilité qu’il y ait plus de 2 articles défecueux dans sa commande.
(b) Il veut que sur sa commande la probabilité d’avoir au moins un article défectueux reste inférieure à50%. Déterminer la valeur maximale du nombrend’articles qu’il peut commander.
4. La variable aléatoire, qui à tout article fabriqué par l’entreprise associe sa durée de vie en jours, suit une loi exponentielle de paramètre0.000 7.
Calculer la probabilité, à10−3 près, qu’un tel article ait une durée de vie comprise entre700et1000jours.
Exercice 15 :(La Réunion, Juin 2003, AC05 p346)
Cet exercice comporte 3 questions indépendantes. Une question comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c, d. Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n’est demandée pour cet exercice.
Une réponse exacte rapporte 0.75 point ; une réponse inexacte enlève 0.5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point 1. Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. L’expérience élémentaire consiste à tirer une boule. Les boules ont
toutes la même probabilité d’être tirées. On effectuentirages indépendants et avec remise,ndésignant un nombre entier supérieur à 10.
SoitX la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées.
Affirmations Vrai ou faux
a.X suit une loi binomiale de paramètresnet1 4
b.P(X= 0) = 1 22n
c.P(X <5) = 1−P(X >5)
d.E(X) = 0.75n
2. Une maladie atteint1%d’une population donnée. Un test de dépistage de cette maladie a les caractéristiques suivantes :
•Chez les individus malades,99%des tests sont positifs et1%négatifs.
•Chez les individus non malades,98%des tests sont négatifs (les autres étant positifs).
Un individu est choisi au hasard dans cette population et on lui applique le test.
On noteM l’événement : " l’individu est malade " etT l’événement : "le test pratiqué est positif ".
Affirmations Vrai ou faux
a.PM(T) +PM(T) = 1.01
b.PM(T) +PM(T) =P(T)
P(T) = 2.97.10−2
d. Sachant que le test est positif, il y a deux chances sur trois pour que l’individu testé ne soit pas malade.
3. La durée d’attente en secondes à la caisse d’un supermarché est une variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle de paramètre0.01. Alors
Affirmations Vrai ou faux
a. La densité de probabilité deY est la fonctionf définie sur[0 ; +∞[parf(t) =e−0.01t.
b. Pour tout réeltpositif,P(Y ≤t) = 1−e−0.01t.
c. La probabilité d’attendre moins de 3 minutes à cette caisse est, à0.01près, égale à0.16.
d. Il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à cette caisse soit supérieure à une minute.
Exercice 16 :Polynésie, Juin 2005
Une usine d’horlogerie fabrique une série de montres.
Au cours de la fabrication peuvent apparaître deux types de défauts, désignés paraetb.
2 % des montres fabriquées présentent le défautaet 10 % le défautb.
Une montre est tirée au hasard dans la production. On définit les évènements suivants : A : « la montre tirée présente le défauta» ;
B : « la montre tirée présente le défautb» ;
C : « la montre tirée ne présente aucun des deux défauts » ; D : « la montre tirée présente un et un seul des deux défauts ».
On suppose que les évènements A et B sont indépendants.
1. Montrer que la probabilité de l’évènement C est égale à 0,882.
2. Calculer la probabilité de l’évènement D.
3. Au cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq montres.
On considère que le nombre de montres fabriquées est assez grand pour que l’on puisse supposer que les tirages se font avec remise et sont indépendants.
SoitX la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq montres, associe le nombre de montres ne présentant aucun des deux défautsaetb.
On définit l’évènement E : « quatre montres au moins n’ont aucun défaut ».
Calculer la probabilité de l’évènement E. On en donnera une valeur approchée à10−3 près.
Exercice 17 :
Dans un aéroport, la durée d’attenteX en minutes pour l’enregistrement des bagages suit une loi exponentielle de paramètre 1 10. 1. (a) Déterminer la probabilité pour que l’attente soit inférieures à une demi-heure.
(b) Déterminer la probabilité pour que l’attente soit comprise entre un quart d’heure et trois quarts d’heures sachant qu’elle est supérieure à un quart d’heure.
2. (a) Déterminer la probabilité pour que l’attente soit supérieure à 30 minutes.
(b) Déterminer la probabilité pour que l’attente étant supérieure à 15 minutes, elle dépasse 45 minutes.
Exercice 18 : (La Réunion-Juin 2004, AC05 p126)
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.
Vous indiquerez le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandé.
Partie A :Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques de données : B1contenant6 000adresses, dont120sont erronées et5 880sont exactes,
B2contenant4 000adresses, dont200sont erronées et3 800sont exactes,
1. On prélève au hasard, avec remise, 10 étiquettes parmi les6 000réalisées à l’aide deB1. La probabilité qu’exactement trois de ces étiquettes comportent une adresse erronée est :
a.
120 3
+
5 880 7
6 000 10
b. 3
120 c.
10 3
× 120
6 000 3
× 5 880
6 000 7
d.
10 3
× 3
120 3
× 7
5 880 7
2. Parmi les 10 000 étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l’étiquette comporte une adresse exacte, la probabi- lité qu’elle ait été réalisée à l’aide deB1est :
a.0.98 b. 0.4×0.95
0.6×0.98 + 0.6×0.02 c.0.6×0.98 d. 0.6×0.98 0.6×0.98 + 0.4×0.95 Partie B :
la durée de vie, exprimée en heures, d’un robot jusqu’à ce que survienne la première panne est modélisée par une loi de probabilitép de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle[0 ; +∞[( loi exponentielle de paramètreλ= 0.000 5).Ainsi la probabilité
1. La probabilité qu’un robot ait une durée de vie supérieure à2 500heures est : a.e−2 500/2 000 b.e5/4 c.1−e−2 500/2 000 e−2 000/2 500 2. La durée de vie moyenne d’un robot ménager est donnée par la formule :E= lim
x→t+∞
Z t
0
λxe−λxdx.
•L’intégrale Z t
0
λxe−λxdxest égale à : a.λt2
2e−λt b.−te−λt−e−λt λ +1
λ c.λte−λt−λe−λt−λ d.te−λt−e−λt λ .
•La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures, est : a.3 500 b.2 000 c.2 531.24 d.3 000
