Antilles Guyane, 2002, Probabilité

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Antilles-Guyane, 2002

SUJET

Pour entretenir en bon état de fonctionnement le chauffage, une société immobilière fait contrôler les chaudières de son parc de logements pendant l’été.

On sait que 20% des chaudières sont sous garantie.

Parmi les chaudières sous garantie, la probabilité qu’une chaudière sois défectueuse est de 1 100^.

Parmi les chaudières qui ne sont plus sous garantie, la probabilité qu’une chaudière sois défectueuse est de 1 10^. On appelle G l’évènement : « la chaudière est sous garantie ».

1. Calculer la probabilité des évènements suivants : A : « la chaudière est garantie et défectueuse » B : « la chaudière est défectueuse »

2. Dans un logement, la chaudière est défectueuse. Montrer que la probabilité qu’elle soit sous garantie est de 1 41^. 3. Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie. Il coûte 80 si la chaudière n’est plus sous garantie et n’est pas défectueuse. Il coûte 280 si la chaudière n’est plus sous garantie et est défectueuse. On note X la variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d’une chaudière.

Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique.

4. Au cours de la période de contrôle, on a trouvé 5 chaudières défectueuses.

Quelle est la probabilité qu’au moins l’une d’entre elles soit sous garantie ?

→Faite un arbre pondéré : en général, les calculs avec des probabilités conditionnelles s’y prêtent.

Par lecture de l’énoncé :

G : « être sous garantie » : p(G) = 20%

B : « être défectueux »

( )

^1%

p BG = et p BG

( )

=^10%

d’où l’arbre suivant : •B 0,01

•G

0,02 0,99 • B

•

0,78 0,1 •B

•

G

0,9

• B

1. →A : « garantie et défectueux » donc A G B= .

On a donc p A^{( )}=p B G

(

∩

)

=p G

( )

×p B_G

( )

=0,2 0,01 0,002 0,2%× = = .

→On utilise alors la formule des probabilités totales puisque G et G forment une partition :

( ) ( ) ( ) ^{( ) ( )} ( ) ^{( )}

0,2 0,01 0,8 0,1 0,082 8, 2%

G G

p B =p B G∩ +p B G∩ =p G p B +p G p B

= × + × = = .

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2.

( )

^{0, 2%} ² ¹

( | )

8, 2% 82 41 p B G

p G B

p B

= ∩ = = = .

3. Contrôle effectué : G → 0

G B → 80

G B → 280 X la v.a. qui désigne le coût du contrôle d’une chaudière.

Déterminer la loi de a v.a. X signifie déterminer la probabilité de chaque valeur possible de X : X prend les valeurs 0 ; 80 et 280.

(

⁰

) ( )

^{0, 2}

p X= =p G =

(

⁸⁰

) ( )

0,8 0,9 0,72

p X = =p G B = × = (à l’aide d’un arbre)

(

²⁸⁰

) ( )

0,8 0,1 0,08

p X = =p G B = × = (à l’aide d’un arbre)

On rappelle que l’espérance de X est donnée par la formule :

( )

i

(

i

)

i

E X = x p X =x Ici, nous avons donc E(X) = 0.p(X=0) + 80.p(X=80) + 280.p(X=280)

Soit E(X) = 80 : en moyenne, le coût de contrôles d’une chaudière est de 80 .

4. Désignons par Y la va qui compte le nombre de chaudières sous garantie : on peut supposer que le fait qu’une chaudière défectueuse soit sous garantie est indépendant du fait qu’une autre chaudière défectueuse soit sous garantie. Y suit donc une loi binomiale de paramètre n=5 et ^{p p G B}⁼

(

^|

)

⁼₄₁¹ . On a donc

( )

⁵5 ⁵5

5 1 40 5 40

41 41 41

k k

p Y k

k k

− −

= = − =

On veut déterminer ^{p Y}

(

^≥¹

)

: passons par l’évènement contraire Y = 0.

p(Y=0) =

40 5 0,884

41 ≈ et donc ^{p Y}

(

^≥¹

)

= 1 – p(Y=0) = 11,6%

Antilles Guyane, 2002, Probabilité

( )

( )

G

(

)

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( ) ( ) ( ) ^{( ) ( )} ( ) ^{( )}